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关于抛物线的十个最值问题

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关于抛物线的十个最值问题 2002年 第 8期 数学通报 21 关于抛物线的十个最值问题 李迪淼 (湖南师大附中 长沙410006) 本文用初等方法讨论 了与抛物线有关 的若 干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论.为方便 读者摘用,现用定理形式叙述如下 : 定理 1 抛物线 的所有焦半径 中,以过顶点 的焦半径为最短. 证明 不妨设抛物线 的极坐标方程为 l0= ,则显然有 10≥ ,其中等号成立当且仅 当 0:2k丌+丌(k(--Z)即焦半径通过抛物线的 顶点时. 定理 2 抛物线的过焦点的所有弦 中,以抛...
关于抛物线的十个最值问题
2002年 第 8期 数学通报 21 关于抛物线的十个最值问 李迪淼 (湖南师大附中 长沙410006) 本文用初等方法讨论 了与抛物线有关 的若 干几何最值问题 ,得到了十个有趣的.为方便 读者摘用,现用定理形式叙述如下 : 定理 1 抛物线 的所有焦半径 中,以过顶点 的焦半径为最短. 证明 不妨设抛物线 的极坐标方程为 l0= ,则显然有 10≥ ,其中等号成立当且仅 当 0:2k丌+丌(k(--Z)即焦半径通过抛物线的 顶点时. 定理 2 抛物线的过焦点的所有弦 中,以抛 物线的通径为最短. 证 明 设 抛 物 线 极 坐 标 方 程 为 l0 = ,焦点弦为 AB,且设 |4(10I,0),B(102,0+ I — COSU 丌),则有 l AB l=10I+102=南 + =一 ≥ 2p=通径长,1 一 一 (c0s ) 一~ 。一 ’ 其中等号成立当且仅 当 = krr+丌/2( ∈ z)即弦 AB为通径时. 定理 3 设 A(0,0)是抛物线 Y =2px(P> 0)的对称轴上的定点 ,M( ,Y)是抛物线上的动 点 ,则 ⋯ f 1 0 l (当 0≤P时), 。 m i 当。≥P时). 证明 由 l MA l :( 一0) +Y =( 一 0)2+2px= 2—2(o—P) +02= [ 一(0一 P)] +p(2a—P),注意到 ∈ [0,+∞),知结论 成立 . 定理 4 设 /4(0,b)是抛 物线 Y :2px(P>0)内一定 点,F是焦点 , 是抛 物线上 的动点,则 (1 MA l+l F 1) i = 0 + p/2. 证明 如图 1所示 ,作 AQ_l_准线 L: =一p/2于 Q,则知 图 1 (1 MA l+l MF 1) i =l AQ = 0一(一p/2)= 0+p/2. 定理 5 设线段 AB是抛 物线 Y =2px(P>0)的过焦 点的弦,分别以 A、B为切点的 抛物线 的两条切线相交于点 ,则三角形 ABM 的面积的最 小值为 P . 证 明 设 A( l,Y1), - ● x " \ ~ 图 2 B(x2,Y2),则由 A、F、B三点共线可得 : l Y2一x2yl=p/2·(Y2一Y1) (1) 于是利用(1)式及两切线方程 AM :yl Y = P( +X1), BM :Y2Y = P( +X2), 易得 的坐标( ,Y)适合 : = 一p/2, 【Y =P(一p/2+X1)/Y1. 因为 ·ka,:一1,所以 MF_l_AB,即 l MF l是 △MAB的AB边上的高. 因为 l MF l≥l FK l(焦点 F到准线 =一 p/2的距离):P, 又由定理 2知 l AB I≥2p(通径长), 所 以 S△ = 1/2·l AB 1.1 MF l ≥ 1/2 ·2p ’P = P , 因其中等号当且仅当AB_l_ 轴时成立,故三 角形 MAB的最小值为P .证毕. 定理 6 过抛物线 Y2= 2px的顶点 0引两条互相垂直 的动弦 OA和 OB,则三 角形 OAB的面积的最小值为4p . 证 明 设 A( l,Y1), 8(x2,Y2),贝0由 0A j_0B得 J 一 () B 、———~ Xl X2+yl y2:0 (1) 图 3 将 Y{=2pxl,Y;=2px2代入(1)立得: l 2=4p (2) 于是 (S/x04B) = 1/4·l OA l ·l OB l = 1/4·( }+y})·( ;+),;) 维普资讯 http://www.cqvip.com 22 2002年 第 8期 数学通报 : 1/4·( }+2px1)·( ;+2px2) = 1/4 ·[( l X2)2+2pxl 2( l+X2)+ 4p l 2] ≥ 1/4 ·[(Xl X2) +2pxI x2(2~/Xl X2+ 4p2 l 2] (3) 将(2)式代./k(3)则得(5△ ) ≥ 16p ,从而 S△ ≥4p ,因其中等号当 l= 2=2p时取 到,故三角形 OAB的面积的最小值为 4p . 定理7 抛物线 Y :2px的内接等腰直角三 角形的面积的最小值为 4p . 证明 设 RtAABC内接 于抛物线 Y :2px,点 C为直 角顶 点 ,设 A( l,Y1),B( 2, Y2),C( 3,Y3),根据抛物线的 对称性以及其开 口方向,不妨 设 Yl>0,Y2I Al l知 ZAMAl> 图5 Al AM = 丌/2一 AMA1, 所 以 AMAl> 丌/4; 同理 BMBl> 丌/4,故有 AMB <丌/2. 定理 9 设 AB是抛物线Y=ax (a>0)的 长为 m的动弦,则 I.当 m≥1/a(通径长)时,AB的中点 到 轴的距离的最小值为(2ma一1)/4a; Ⅱ.当 m <1/a(通径长)时,AB的中点 到 轴的距离的最小值为 am /4. iY_~fl 设 M( o,Yo),将直线 AB的参数方程 : c其中z为 参数 ,倾斜角 a≠ rr/2) 代人 Y= ax 并整理得 a(cosa) ·t +(2axoCOSOt— 。 、’ A () 图 6 sina)·t+(ax5一Yo)=0,故由韦达定理和参数 t的几何意义以及 l AB l=m立得 t1+t2=一(2axocosa—slna)/a(cosa) =0 tlt2=(ax6一Yo)/a(cosa) =一(m/2) ② 由 ① 解出 o并代人 ② 整理得 y0= (seca) +Tam2(c⋯ ) 一 1 ③ 对 ③ 右边前两项利用基本不等式则得 y。≥ 2 。 m 一 1 = (2,m 一1)/4口.于是 ,令 (seca) = a4m2( sa) ,得(c蝴 ) = 1 . 因此 ,当 am ≥ 1时,(Yo) i =(2ma一1)/4a; 当0
现形式:一种是特殊才能的创新性 ,如科学 家、发明家 、艺术家等特殊人物在发现新事物、揭 示新规律 、获取新成果、建立新理论 、创造新方法 、 发明新技术 、研制新产品、解决新问题 、创出新成 绩的过程中所表现出来 的创新性(也称真创造 ); 另一种是 自我实现的创新性 ,是指相对于个体开 发的可能性和 自我潜在能力的创新性 ,如学生通 过对已掌握的知识的 、重组 、联想 、猜测等思 维过程产生的 自己从未有过的想法 、见解和解决 问题的方法(也称类创造).无论是真创造还是类 创造,其过程本质上都是一种思维活动,就其思维 性质而言是一样的,即都必须具备新颖 、独特和有 意义三个特征.“新颖”是指从纵向看 ,历史上(对 学生来说主要是指他个人 的经历)前所未有的; “独特”是指从横 向看 ,思考是与众不 同,别出心 裁(在教学中是相对于一定的学生群体而言的); “有意义”则是指有社会价值或个人价值. 数学解题的创新主要是就上述中后一意义而 言的.这是因为教学中的数学解题 ,就其过程来看 往往并不具备数学 问题解决 的严谨性和规范性; 就其结果来看,一般是已有数学结论的运用或“再 发现”.尽管如此 ,但从教育价值的角度来看 ,学习 者在数学解题中通过对数学研究的思维方式 、研 究方法的学习运用和探索性 问题 的创造性解决, 来亲身体验数学家研究和解决问题过程中的思维 活动和心理活动,完全能达到有效培养创新意识 和创新能力的目的.就这一意义而言 ,数学解题中 的创新更多地是指在解题教学过程中学生所表现 出来的探索精神 、求异思维和非常规想象等.创新 在某种意义上就是超越和突破,它在数学解题中 的外显特征就是别出心裁和标新立异. 2 数学解题创新的教学原则 2.1 主体性原则 传统的注入式的解释性教学 ,一是导致学生 主体精神的弱化 ,二是创新所需的问题意识 、探究 能力因没有开发训练而萎缩.科学研究表明,有创 造性的人具有主体性人格特征,指 向创造性培养 的教学必须以学生的主体性发展为条件和最终 目 的,因而主体性原则是实施解题创新教学时首先 要考虑的.这一原则包括 了人们常说的民主性原 则、知情协调原则和 自主选择原则等.贯彻这一原 则,一是要让学生成为课堂教学的主人 ,充分调动 其学习的积极性 、主动性和创造性;二是要让课堂 教学焕发出生命色彩,有充满激情的课堂教学氛 围;三是要发扬教学民主,给学生一定的 自主选择 的权力.具体到数学解题教学中,要求教师在进行 教学时,要注意:凡是能由学生提的问题就不 要 由教师给;凡是能由学生解的例题就不要教师 定理 lO 设 A 是抛物线 Y :2px的焦点 弦,0为坐标 原点 ,则三 角形 OAB的面积的最小值为p /2. 证明 (1)当 AB上 轴 时,显然有 S/"A册 =p2/2; (2)当 AB不垂直 轴时 , 设 AB:Y: k( —p/2),代入 Y :2px并整理得k 一(pk 厂 一 rJ F J 、 — ~ 图 7 +2p) +kZp /4:0.于是设 A(x1,Y1), ( 2, Y2),则由弦长公式和韦达定理得 : AB I:~/(1+k2)[( 1+X2) 一4xl 2] : 一 卫! ±墨 j k 又顶点 0到弦AB的距离 d :』 . 2√ k + 1 故此时SAA∞:{I A 卜d 一 . . 卫( ±墨 . !盘L卫 一 2 k 2 ~/k +1 卫 一 . _±一 、 维普资讯 http://www.cqvip.com
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