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圆锥曲线的离心率的求法2 数学篇 ·思路·方法·技巧· 《数理化解题研究》 2005年第12期圆锥曲线的离心率的求法湖南省永州市一中 (425006) 蒋明权 ☆ 湖南省永州职业技术学院 (425006) 张继定 △ 各种考试中，常常出现求圆锥曲线的离心率方面的题目．本文特将各种题型进行适当分类，希望能给同学们一些启迪．一、与圆锥曲线定义相关的题型圆锥曲线的第二定义：圆锥曲线上的点 M ，y) 与定点f(c．0)的距离和它到定直线 f的距离的比是常数 e．当01时，点 M(x，Y)的轨迹是双曲线． ...

数学篇 ·思路·方法·技巧· 《数理化解题研究》 2005年第12期圆锥曲线的离心率的求法湖南省永州市一中 (425006) 蒋明权 ☆ 湖南省永州职业技术学院 (425006) 张继定 △ 各种考试中，常常出现求圆锥曲线的离心率方面的题目．本文特将各种题型进行适当分类，希望能给同学们一些启迪．一、与圆锥曲线定义相关的题型圆锥曲线的第二定义：圆锥曲线上的点 M ，y) 与定点f(c．0)的距离和它到定直线 f的距离的比是常数 e．当01时，点 M(x，Y)的轨迹是双曲线．例 1 已知椭圆的离心率为e，两个焦点是F1、F ，抛物线 C以为顶点，以 F，为焦点，P为两曲线的一个交点，若 lPF!l=lPF l，则椭圆的离心率是( ) (A) 2 (B)丁1 (c) (D 的解如图，根据椭圆的定 = 川 PS1．再根据题设 PI I=IPF，I，有 IPNI=I I，这就是说椭圆的准线也是抛物线的准线． J ／ P z x ＼ · 。 · IF1KI I 1 2I 2c， - IOKl=lF1KI+IOFl1=3c，． · ．：三：卑．即应选(c)．二、与定比分点相关的题型、例2 双曲线nx -一芳=l(a>O，6>0)的两个例2 双曲线n 一寺，6>0)的两个焦点是 F 、F2，它的一条准线 x=了a-与 x轴相交于点舌[(10一1)+(10 一1)+(10 一1)+⋯+(10 一1)】 = 音(10+10 +10 +⋯+10 一，1) 舌(10 L 0—9，1)· l4．利用等比(或等差)数列的性质法例 l4 在等差数列{an)中，已知a1+a2+a3+ ⋯ +alo=P，a 一9+a 一 8+⋯+a =q，则其前，l项和 = — — ．解析第二个等式各项倒序，然后与第一个等式相加得(al+a )+(n2+a 一1)+⋯(nl0+口一9)=P+q．由等差数列等和性有 a1+a =a2+a 一1⋯ 一 a1o+a 一 9，则 lO(a1+a )=P+q．． — n(al+a ) 一 n(p+q) 一一——厂一— l5．递推法例 l5 求和 S =1 +2 +3 +⋯+，l ．解析由(n+1) 一n =3n +3n+1，令 n=1， 2，3，⋯，l，分别代人上式，得 2 一1 =3·1 +3·1+1． 3 一2 =3·2 +3·2+1． 4 一3 =3·3 +3·3+1． (，l+1) 一，l =3n +3n+1．各式相加，得 (，l+1) 一1=3(1 +2 +⋯+，l )+ 3(1+2+3+⋯+n)+n，．。．12+22+．． ={ +1) 一1一一州=÷n(n+1)(2n+1)．注：类似的利用递推法及本题结论可推出正整数的三次方幂和公式． 16．利用正整数方幂和公式法常用的正整数方幂和公式有：1+2+3+⋯+，l= ， l +2 +3 + ⋯ +，l2：， Z O l +2 +3 +⋯+，l3：[ 】． 1歹9 l6 求和：S =1·2 +2·3 +⋯+n(n+1) ．解析由a =n(n+1) =I1 +2n +I1，得 S =(1 +2 +3 +⋯+n 3)+2(1 +2 +3 +’·’+，l ) +(1+2+3+⋯ +H)．将正整数方幂和公式代人得，l(，l+1)(，l+2)(3n+5)．维普资讯 http://www.cqvip.com 数学篇《数理化解题研究》2005年第72期 P，点P分 F1、所成的比是 3：1，则此双 f¨1线的禹心率 e是 ( ) (A) +1 0~)2,／5+4(C)导 ([)) 解IF1F I_2c l Pl=等+c， l一 +c_ 依题意，lFI Pl=31PF I，则等+c 3(一等+c)，即 2口2=c2，所以 e= ．即应选 (D)．三、与三角形相关的题型， 2 例3 双曲线一告 =l(a>0， cl o 6>o)的两个焦点是，I、，以为边作正三角形，若该双曲线与交于点 P，且 P是的中点，则此双曲线的离心率 e是( ) (A)√3+1 (B)2√3+4 (c)2√3—2 (D)2√3+2 ’ ．解由于 F21=2c，IAF21=2c，IAOI=J3c， c， c)，在吾一告=· 0 ( 1 c) (牟 c) — 一 — — 一 =1．以 b2=c2一代入化简得 a b ’ ” ’ 。 ‘ 。 c4+4a 一8a~d=0，即e4—8e~+4=0．解得e=1+√ ，故选(A)．四、与圆相关的题型例4 双曲线专一告 =l(a>0，b>0)的一条口‘ D‘ 准线与两条渐近线交于A、B两点，相应焦点为F，若以 AB为直径的圆恰过点，，则此双曲线的离心率 e是 ( ) (A),／5 o3x／5 (C)43+1(D +1 解圆的半径是 c一一a2 ：一 b2 一条渐近线的方程是y=鲁x，当x=等时，y=鲁·等=等．由题意得了b2= ab ，则口=6，e=詈=,／5．即应选(B)．例5 i_~F1、为椭圆 + y2=l(0

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