立体几何思维受阻

2 克服思维受阻的教学建议 (1)总结型，注重通性 ，关注通法． 解析几何问题的解题思路有很强的程序性．综观 近几年高考试题，不难发现，解析几何的综合题主要 集中在以下几个方面 ：弦长问题、中点弦问题 、动点轨 迹的探求问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的 取值范围问题等等．对于每类问题及其处理，在 复习过程中都必须进行认真归纳小结，力求做到胸有 成竹． (2)明确目标，按步思维，程序解答． 在求解解析几何综合题时，应该养成“记账式翻 译”的习惯，即“读题一句，思考一句；结合 目标，翻译 一 句”．同时，要尽可能地将题设中的条件全部融人图 形中去，以便随时调用和整合信息，切实做到数学的 文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化．一般 情况下，解析几何的综合题都属于圆锥曲线和直线的 位置关系讨论问题，在制定具体解题策略时，应该首 先 回答下述三个问题 ：①在解答直线和圆锥 曲线过程 中，整个解题过程如果看成一篇文章，那么将其分成 几段呢?②段落大意又是什么?③每一段的特点是什 么?在这个基础上，可将整个解题过程分成 三段 ：第 一 段，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与 韦达定理正确写出；第二段，用两个交点的同一类坐 标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关 系，当这两段做完后，把结果综合起来就进入第三段； 第三段，求解转化而来的纯粹代数问题，并将答案 回 归到原几何问题中． (3)数形结合，注重定义，强化运算． 解析几何不仅仅是运用代数方法研究几何关系， 更是“数”与“形”的统一．因此，应充分挖掘图形的几 何结论，灵活运用曲线本身的知识(曲线的定义、性质 以及焦半径、曲线系等)，这往往是解决问题的突破口 和简化解题过程的关键点．在求解时，一定要善于挖 掘几何图形的几何性质，特别是涉及圆锥曲线的焦半 径时，要注意灵活运用圆锥曲线的第一定义与第二定 义；涉及圆的问题时，一定要注意运用 圆 的相关几何 性质 ，对于线 圆关系、圆圆关 系要强化几何处理 ，淡化 代数处理． 另外，解析几何的繁杂运算主要集中在解方程、 求交点等方面．如果我们能够充分挖掘几何曲线的代 数含义，紧扣目标，灵活运用代数方程知识(包括消元 思想、整体思想、函数思想、同解原理以及方程的轮换 对称、韦达定理、判别式、实根分布等)，回避这些运 算，则往往可以相对容易地解决问题． 另外，坐标系的建立是应用解析法的前提和基 础．坐标系的选择(直角坐标系、极坐标系、复平面)与 建立(坐标系的定位)，都将直接影响到思维的进程和 计算的运算量．从直线和圆锥曲线方程的多种形式 中，结合题设特征以及所求目标，选用恰当的形式，也 是简化解析几何运算的一种有效途径． 3 思维受阻的防范练习 练习 1设 ，Y∈R，i，J『为直角坐标平面内 、Y轴 正方向上的单位向量，若向量a一 十( +2)J『，b一五 十( 一2)_，，且IaI—I I一2√2． (I)求点MCr， )的轨迹 C的方程； (I1)已知 直线 z过 点 A(√2，0)，斜 率为 k (0<忌<1)时，若轨迹 C上有且仅有一点 B到直线 z 的距离为√2，试求 k的值． 练习 2抛物线 Y。一2p：r及其定点 A(a，b)、 B(一口，0)，口6≠0，b。≠2pa．Mo是抛物线上的点 ，设直 线 AMo、BMo与抛物线的另一交点分别为 M1、M2．求 证：当Mo点在抛物线上变动时(只要 M1、M2存在且 M1≠M2)，直线 M1 M2恒过一个定点，并求出这个定 点的坐标． 窒∞ 嫒 西安电子科技大学附中 周接夏 施中涓 安徽省桐城市天城高中 杨桂云 立体几何内容既承担着对逻辑思维能力的考查，又承 载着对空间想象能力的考查．纵观近几年的高考立体 几何试题，有关直线与平面内容的试题主要分为两大 类：一类是空间线面之间各种位置关系的判定和推理 论证；一类是几何量(如角度、距离、面积、体积)的计 算．在几何量的计算中，需要以判断、推理为依据，而 推理、判断时也需要借助几何量的计算来进行．在高 考试卷中，立体几何内容约占总分的 15 9，6，分值约为 22分，一般为 2至 3道题，题型设计为“两小一大”，选 择题和填空题用于考查基础知识 ，解答题用于考查综 合问题．解答题往往是以多面体(棱柱、棱锥等)为载 体考查线面的位置关系以及角和距离等的求解，解题 方法灵活，既可以用逻辑推理方法，也可以用向量方 法．试题难度中等，但考生答题情况却不能尽如人意， 原因主要如下：一是认知受阻 ，表现为考生基础知识 不够扎实，概念理解不够准确，读题似是而非，分析难 以到位；二是表述受阻，表现为表达层次不清，思路杂 乱，难以用简明准确的数学语言表述 自己的想法；三 是迁移受阻，表现为空间想象能力欠缺，难以将立体 问题顺利地、准确地平面化；四是运算受阻，表现为考 生运算不顺，综合能力不足，难以快速准确地展开运 维普资讯 http://www.cqvip.com 算，进而解决问题． 1 思维受阻实例及其原因分析 例 1 (2007年陕西卷理科第 6题)一个正三棱 锥的四个顶点都在半径为 1的球面上，其中底面的三 个顶点在该球 的一个大圆上 ，则该正三棱锥 的体 积是( )． A．半 B． C．√3-7 吐 0 1 正确思维走向：先要根据题意 画出图形，理解正三棱锥的底面特 征及顶点位置；再由图形的具体特 征确定正三棱锥的高和底面面积； 最后根据三棱锥的体积求出 体积． 考题简解：如图 1，设正三棱 D． D 图 l 锥为 DABC，球体 的半 径 DO为正三棱锥 的高， ． 。 ．DO=1．在大圆O0上 ，可解得正／kABC的边长 为 √ ，．~iF_AABC的面积为 ，．·． 。= x x 1一 ． 学生思维受阻表现：(1)难以根据题意画出正确 图形 ； (2)由图形直接观察出球的半径 OD就是正三棱 锥的高； (3)计算出现不应有的错误，导致选择错误． 原因分析：第一，考生数学语言转化能力较差，在 将文字语言转化为图形语言上存在一定难度；第二， 考生读图能力不强，无法直接看出点 D与圆心 O之 间的线段长度就是正三棱锥的高；第三9运算能力不 够扎实． 第 8题)如图 2，长方体 ABCD- I A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD I =1，点E、F、G分别是DDl、AB、 l CC 的中点，则异面直线A E与 j GF所成的角是( )． A．arccos华 B．{ 0 吐 F B 图2 C．arccos D．号 正确思维走向：根据异面直线所成的角的概念， 首先应该想到利用“平移法”将异面直线移到一个平 面内，平移 A E到 B G， B GF就是异 面直线 A E 与GF所成的角或其补角，然后进行具体计算．或者用 “向量法”先求瓦 · ，然后确定角的大小． 考题简解：解法 1：平移A E到B G，连结 B F， ‘ ． 。 ． B GF是异面直线A E与GF所成的角或其 补角． 。 ．’BlF。一B1G。+GF。，故 B1GF=90。，选 D． 解法 2：如图 3，建立空间 直角坐标系，则有 E(0，0，1)，A (1，0，2)， G (0， 2， 1)，F (1， 1， 0)， ． 。 ．EA 一 (1， 0， 1)，GF ：(1，一1，一1)， 而 EA · 一0，故瓦 上 ，选 D． 学生思维受阻表现： 图3 (1)没有想到通过平移作出异面直线所成的角； (2)虽然想到平移，但是不知平移哪条线段，或不 知平移到何处 ； (3)将“形”的问题转化为“数”，即利用向量法求 解的思维转化受阻． 原因分析：学生对几何概念的理解仅仅停留在机 械记忆上，以为记住了概念就掌握了概念，不能准确 观察、分析图形并灵活应用概念；另一方面利用数形 结合将复杂的“形”的问题转化为“数”来解决的思维 意识不强，综合能力不足． 例 3 (2006年陕西卷理科第 15 题)水平桌面 a上放有 4个半径均为 2R的球，且相邻的球都相切(球心的 连线构成正方形)．在这 4个球的上面 放 1个半径为 R的小球，它和下面 4 图4 个球恰好都相切(图 4)，则小球的球心到水平桌面口 的距离是 ． 正确思维走向：正确理解实际问题，如图 5建立 几何模型，然后借助这个模型解决问题． 考题简解：如图 5，小球的球心 05到水平桌面 a 的距离 =五个球球心 的连线 构成的正 四棱锥 的 高+2R=3R． 学生思维受阻表现：学生 思维受阻点在空间想象能力 上，不能准确建立空间几何图 形．有些学生可以建立起空间 几何图形，但不能准确地表达 出几何图形中各有关线段的数 图5 量及相关关系．立体问题平面化求解四棱锥的高也是 受阻点之一． 原因分析：学生空间想象能力欠缺，不能从实际 问题中抽象、概括、建立空间概念，难以形成准确、直 观的几何模型，有些学生可建立起空间几何模型，但 不能准确地用几何语言或图形语言表述出来，做题时 不会画图或画出图来也不易辨认，甚至作出错误的图 形来，误导了解题且不易查错． 维普资讯 http://www.cqvip.com 例 4 (2006年陕西卷理科 第 19题)如图 6，a上 ，an卢一l， AEa，B∈』9，点 A在直线 l上的 射影为A。，点 B在直线 l上的射 影为 B1，已知 AB一2，AA1—1， 图6 BB。=4g，求： (I)直线 AB分别与平面a、 所成的角的大小； (1I)二面角 A1一AB—B1的大小． 正确思维走向：根据线面所成的角及面面所成的 角的概念，正确作出“线面角”和“平面角”，将“空间 角”问题转化为“平面角”问题，通过解三角形完成．或 通过“数形结合”将“空间角”的问题转化为“两向量所 成的角”，利用向量的运算来完成．同时解题过程须严 格遵循“作一证一算”三个基本步骤． 考题简解 ：解法 1：① 如图 7， 连 结 A1B、AB1，可 知 BAB1、 ABA-分别是AB与a和』9所成 的角．在 RtABB1A中，sin／BAB1 图 7 一 V Z ， ． 。 ． BAB1 — 45。． 在 Rt△AA1B中，sin／ABA1一÷，．。．LABA1— 30。． (1I)。．。BB1上口，．’．平面 ABB 上口． 在平面 a内过 A。作 A。E上AB。，垂足为点 E，则 A E上平面AB。B．过E作 EF上AB，垂足为点 F，连结 Al F，则由三垂线定理得 Al F上AB，．。． A。FE就是所 求二面角的平面角．可以求得 AlE一 ，A。B一√ ， A1F一, ／g ， ． · ．在Rt△A。EF中，sin A。FE一会 一 ， ． · ．二面角A。一AB-B 的大小为arcsin ． 解法 2：(I)同解法 1． (1I)如图 8，建立坐标系， 则 A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1 (0，1，0)，B(√2，1，0)．在 AB上 取一点 F(z， ， )，要使A F 上 ，须 · 一0，可 以 图 8 求得点 F 的坐标为(譬 1 3) ．A,P 一 ( ， 1， 3)．设E为AB。的中点，则点E的坐标 为(。，丢， )．··· (譬，一丢，÷)． 又 · 一0 ． 上 ．LA。FE为所求 二面角 的平面角．又 c。s A。FE= 3，．·．二 面角 A1一AB—B1的大小为 arccos ． 0 学生思维受阻表现：一是无法正确在图中作出线面 所成的角及利用三垂线定理作出二面角的平面角；二是 将问题转化为平面问题后，解三角形的能力不过关． 原因分析：此题是立体几何中最基本、最常见的 面面垂直、线面垂直、线面角、面面角的基本问题．学 生思维受阻其基础知识不扎实，基本技能和基本 方法掌握不到位，运算能力及综合能力不强． 例 5 (2OO7年陕西卷理科 第 19题)如图 9，在底面为直角 梯形的四棱锥 P-ABCD 中，AD ∥BC， ABC=90。，PA上平面 ABCD，PA 一 4，AD 一2，AB D 一 2√ ，BC=6． (I)求证：BD上平面 PAC； 图 9 C (1I)求二面角A-PC-D的大小． 正确思维走向：(I)要证明“线面垂直”，利用线 面垂直的判定定理，可转化为证明“线线垂直”即可 (1I)求“面面角”的问题，可利用二面角的概念， 正确作出“平面角”从而转化为“线线角”来求解；或者 将“形”转化为“数”，利用“向量法”求解． 考题简解 ：解法 1：(I)’．’PA上平面 ABCD， ． 。 ．BD上PA． 厅 又 tan~ABD= ，tan BAC= 0 ． 。 ． AEB一90。，即 BD上AC． 又 PAnAC=A，．’．BD上平面 PAC． (1I)如图 10，过 E作 EF上PC，垂足为 F，连结 DF．DE上平面 PAC，EF是 DF在平面PAC上的射 影，由三垂线定理知 PC上DF，．‘． EFD为二面角A— PC-D 的 平 面 角．又 DAC一 30。，．。．DE= 1，AE 一 √3．又 AC一4√3，．‘．EC一3√3，PC一8．又知 EF — PA ·EC 一 3 一— 一 一丁 ‘ n 在 RtAEFD中， EFD=arctan ． n ． 。 ． -- N角A-PC-D的大小为 arctan ． 图 10 C 图 l1 维普资讯 http://www.cqvip.com 解法 2：(工)如图 1l，建立坐标系，则 A(O，0，0)，B(2 J3，0，O)，C(2√3，6，0)，D(0，2， O)，P(0，0，4)， -．． =(0，0，4)， 一 (2 ，6，0)，商 一(一2 ，2，o)．．·．商 ． 一0，商 ． 一0．．．．BD _LAp，BD_l-AC 又 PAnAC—A，．‘．BD-l_平面 PAC． (II)设平面 PCD的法向量为n一( ，y，1)， 则C ·n一0，PD·n一0． 又CD一(一2√3，一4，O)，P／3一(O，2，一4)， ． ．．．，l—f一半 ，2，1 1． ＼ ， 平面PAC的法向量取为J，l—B 一(一2√3，2，O)， ， 、 m·，l 3 ^i ∞ 以 一 m 一 _ 3 。 J J· J，l J 』 0 瓜 ． ‘ ． 二面角 A_PC_D的大小为 arccos ． o 1 学生思维受阻表现：一是无法作出二面角的平面 角 EFD．二是思路混乱，表述不清，无法说明 EFD 是二面角的平面角，也有学生表述不清AEFD的边长 及其求法．三是建立坐标系后，无法确定平面 PCD与 平面PAC的法向量，用向量求角时概念不清，不能准确 地表明二面角就是两个法向量所成的角或其补角． 原因分析：学生空间想象能力的欠缺，“想图、画 图、识图、解图”的能力不足，对复杂的“立体直观图” 很难找到并作出二面角的平面角，即使作出了二面角 的平面角，又由于逻辑思维能力欠缺，推理论证上表 述混乱，想当然等．对于用向量法求解二面角认识不 足：两个平面的法向量所成的角与二面角的大小相等 或互补，由于对解题的原理不清楚，向量的运算不过 关，致使不能顺利解答． 2 克服思维受阻的教学建议 为了有效防止学生思维受阻，现提出以下教学建 议，供教师教学时参考． (1)高度重视立体几何基础知识的教学，扎扎实 实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识，保证基 础知识不能有理解错误或不到位的情况发生． (2)复习过程中教师指导学生通过网络图或框图 主动建构完整的知识体系．尤其要对线线、线面、面面 三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移． (3)重视模型教学，强化学生的“想图、画图、识 图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言 转化的训练．尤其要重视对所画的立体图形与真实图 形间思维理解上的一致性． (4)在完成解答题时，要重视培养学生书写， 注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练考生思维的 严谨性． (5)可设计一组以正方体为载体的关于线线、线 面、面面之问的位置关系及有关角、距离等计算的题 组，熟练掌握此类问题的解决方法，提高解题能力． (6)重视向量在立体几何中的应用训练，尤其要 重视向量模型在立体图形中的建立，以利用更灵活的 思维、更简捷的方法来解决立体几何问题． 3 思维受阻防范练习 练习 1 (2007年全国卷 工理科第 16题)一个等 腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧 棱上．已知iE---棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜 边长为 练习2 (2007年浙江卷理 科第 19题)在如图 12所示的几 何体 中，EA_l-平 面 A8C，DB _l-平面 ABC，AC_l_|BC，且 AC — BC—BD一2AE，M 是 AB 的 中点． (工)求证：CM_l_EM； 图12 C (II)求 CM 与平面 CDE所成的角． 练习 3 (2007年广东卷理科第 19题)如图 13 所示，等腰△ABC的底边AB一6√6，高 CD一3，点 E 是线段BD上异于点B、D的动点，点 F在BC边上， 且 EF_l-AB，现沿 EF将／kBEF折起到△PEF的位 置，使 PE_l_AE，记 BE— ，V( )表示 四棱 锥 P_ACFE的体积， (工)求 V( )的表达式； (II)当 为何值时，V( )取得最大值? (HI)当 ( )取得最大值时，求异面直线 AC与 尸F所成角的余弦值． A P C C 图 13 图 14 练习4 (2007年北京卷理科第 16题)如图 14， 在 Rt△AOB中， OAB： ，斜边 AB一4．Rt／kAOC U 可以通过 Rt△A0_B以直线A0为轴旋转得到，且二 面角 BA()_C是直二面角，动点 D在斜边AB上． (工)求证：平面 COD_l-平面A0lB； (Ⅱ)当 D为 AB的中点时，求异面直线 AO与 CD所成的角的大小 ； (HI)求 CD与平面AOB所成的角的最大值． 维普资讯 http://www.cqvip.com