例说换底法求三棱锥的体积

《数理化解题研究>>2oo8年第 7期 数学篇 25 例 4 从 原 点 出发 的栗 质 点 M，援 同 量 a=(0， 1)移动的概率为 ，按向量 =(0，2)移动的概率为 了1 ，设质点 可到达点(0，n)的概率为P ． (1)求 P ，P 的值； (2)求证P +2=了l P +了2 P +。； (3)求 P 的表达式 ． 解析 (1)P。=了2 ，P：=( ) +号=吾． (2)质点 M到达点(0，n+2)有两种情况： 从点(0，n)按向量 b=(0．2)移动， 从点(0，n+1)按向量 a(0，1)移动，概率分别为 寺Pn与亍P ， 故得递推关系P + ：了1 P +了2 P + ． (3)由P =了1 P +了2 P +。得 P + 一P +。=一 -(p川一 )，故数列{P +。一P }是以P 一P。=寺 为首项，一 1为公比的等比数列 ． 所以 + 一P = ×(一÷) 1=(一 )“ ． 又 P 一Pl=(P 一P 一1)+(P 一l—P 一2)+⋯ + (P 一P1)= l一(一÷ ]， ． · ． = 3 + 1 ×(一÷) ． 点评 此例用向量给出概率题，又以数列收场， 注意知识的交叉和渗透 ．本题得到二阶递推关系 a = 寺口 一。+寺an-2(n≥3)后，通过构造等比数列求出 通项 ． 一 般地，解决概率问题中的递推数列问题，首先 利用所学知识分析问题 ，克服难点，建立与之对应的 递推数列模型，然后对递推数列灵活变换，运用累加、 累乘、迭代、构造新数列等方法化归为等差、等比数列 问题，求出数列的通项公式 ． 说换底法索暑棱锥韵体积 四川省苍溪中学 (628400) 林明成 ● 求j棱锥的体积时，若底面积或高不易求出，则 往往转换顶点和底面，然后进行计算求解，这种方法 叫换底法 ．换底法是求三棱锥体积的一种常用方 法 ．有意识地换底，进行合理的体积转换，往往有助 于化难为易，化繁为简，使问题顺利得到解决 ． 例 l 如图，在边长为 a的正 方体ABCD—AlBlClDl中， ，N，P 分别是棱 I 。，A。D。，AIA上的点， 1 且满足AI =÷AlBl，Al N= 2ND ，A。P= IA，试求j棱锥 AI — MNP的体积 ． Al M B C C 分析 若用公式 = s 直接计算三棱锥A。一 MNP的体积，则需要求出AMNP的面积和该三棱锥 的高，这两者显然都不易求出 ．但若将三棱锥 A．一 MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥 P— A。MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A，MN 的面积，从而代人公式求解 ． 解 l—MNP= -A1 =}s 。h= i ．1 AlM ·AlN)A，P=了1‘ 1×吉。·了2。 3。= 1。3． 例2 在如图的四面体中，PA=1，AB=AC=2。 =／PAC=／BAC=60。，求四面体的体积 ． 解 在△PAB中，由AB=2PA， PAB=60~．知 PA L PB ． 同理 上PC，故 上平面PBC． 选平面PBC为底面， 为三棱锥的高 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 26 数学篇 《数理化解题研究)zoo8年第 7期 。 ． 。 AB=AC=2，厶BAC=60。’．．．AABC为正三角 形 ，日C=2． 取 BC的中点 D，连结 P ，则 PD=、 ．二 = 、 =丁= ． ． · ． =÷s 雎。· =÷(寺日c·PD)PA= 3． C 例 3 长方体ABCD—AlBfClD 中．E、P分别是 BC、A1D1的中点．J7v是 CD1的中点，AD=AA =0，AB = 2a．求三棱锥 P—DEN的体积 ． 解 。．。CD ／／EP’．．．CD1／／平面PDE， ，- 3 ． ‘ Vp — DEN VN P眦 l-PDE ． 评注 当所给 棱锥的体积不便计算时，可选择 条件较集中的面作底面，以便计算底面积和高． 例 4 如图，PCBM是直 角梯形，／_PCB：90。， ∥ BC，P ：1，BC=2，又 AC= 1，／_ACB=120。，AB上PC，直 线 A 与直线 PC所成的角 A P M 为6O。．求三棱锥 P—MAC的体积 ． 解 由 PC上CB，PC上AB，知 PC上面 ABC．取 BC的中点 Ⅳ，则 CN=1．连结AN，MN． · ． 。 P CN'-．．MN~PC，从而MN上平面ABC． · ． ‘ 直线 AM 与直线 PC所成 的角为 6O。，．．． AM』v=60。． 在 AACN 中，南 余 弦 定 理 得 AN = ,／AC +CN2—2AC·CN·cosl20。：：√3． 在△／lMN rp，MN= ·c。t／_AMN= × 3= 1．．．．PCMN为正方形 ． ． · ． 一 ： 一 Pc = 一 。= = (号Ac · CN·sinl20。)MN=鱼 12． 匍I 5 电n图 ．存 {力长 1臼{j_f下方 体 ABCD — A 日 C D 中， 为AD中点 ． (1)求四面体 E—A 日。c的体积； (2)求四面体 日一A1c1E的体积 ． AI Bl Al B 解 (1) 一。 = = 。 肋= 1 ． (2)在平面 ABCD内，延长 鲋 到 J7v点，使 AN= l 2 ’ 故 M ∥A C ‘．NE／／平面 ，c ． ． 。 VB _ AICIE VE =VN =Vc。 口Ⅳ=丁1 L 1 × 3 ×1)×l= 1 ． 例 6 在正方体 ABCD—A，B C D 中，E、，分别 为日B，、cD的中点，若 AA，=2，求三棱锥 ，一A1ED】 的体积 ． C A B A B 解 取 AB的中点为 G，连结 GE、GF、GD1、GA ． · ． 。 FG∥A1D1，A1D1 c平面 A1D1E，FG 平面 A1Dj ， ． · ． FG／／平面A1D1E． 所以点 ，到平面A D 的距离等于点G到平面 ，l D1 的距离， 即 gDl： -^lDl￡= l ￡c· 又因为正方体ABCD—A1B C D，的棱长为2， ． 。 ． s△ l =s 方形^口 l j — s△BEG一2S／AAAtG 争． 故 ： 4^l 。：÷s A =1． 评注 本题若直接求解，须先求出SaatFol和点F 到平面．4 D 的距离，但这样做较为困难 ．这里利用 中点，巧妙地得到平行关系，进而“换顶点“、“换底 面”，将问题得以巧妙地转化，过程简捷、解法明快 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com