求空间距离的统一公式

幸逮豢堪拳靖 教苑漫步l 柬窒河躔 曲骁一公 甘肃省秦安县第三中学 李双江 向量的引入．为我们解决几何问提供了强有力的工具， 空间点、线、面之间的所有距离 ，都可用以下一个公式简便求 出。 定理 空间非零向量 在向量 上的射影长为d=I ． I， l n1．下称该公式为影长公式，并称 为联系向量。 该公式的来路是，由课本高中第二册(下 B)第33面向量射 影的定义，对向量 EF在轴 L上或在与 L同方向的单位向量e上 的射影 ，有 IE,F。I：l ． l其中点E-、F-分别是点E,F在L上的射 影 。 令n是与e同方向的任--tlz零向量 ．则e ，这时， d=IE。F I=I ． l-I ． I I： I ． I。 1．点到直线的距离 为求点 E到直线 L的距离 ，如图2，取 联系向量 ，使点 F∈L，先求 在 L上的 射影长，然后由勾股定理求距离 EH。 例 l如图3，在直三棱柱 ABC—AIBIC1 中 AB=4、BC=3．AAl：l，／_．ABC=90。，求点 A1 到面平 A。B。C 与面 ABC的交线 L的距离。 解 以 B为原点取直角坐标系如图 图 1 3，贝0 AI(4，0，1)、CI(0，3，1)且 AIB=(一4，0，一1)、A，CI=(-4，3，0)。 易知交线L／／A,--~故点B到 的距离就是A。到L的距 离过 B作 BG上AICI，G为垂足。 由影长公式得IA G I=l · l，l 1=16／5． ． ’ ． 所求距离为I BGI=X／A,B~A,G2=13／5 回顾(1)由于 一时未知，故直接求 在配 上的射影长 并不简便。(2)两平行线间的距离可同法求之，不赘述，不赘述。 (3)若用叉积，则d=lB--d~~l，l l才是点到直接距离的直接计算 公式。 2．点到平面的距离 如图 4，为求点到E到平面 a的 距离 ，先求出平面a的法向量n，再在 a上取一适当的 F。求联系向量 到 的射影长 图 4 例 2 如图5．在直三棱柱 ABC—A B。C 中，底面是等腰直 角 三角形 ．／_．ACB=90。．侧棱 AAl=2，D、E分 别 是 CCI和 AIB 的中点，点 E在平面ABC上的 射影是△ABC的重心 G。 (1)求 A。B与平面 ABD所 成角的大小。 图 5 (2)求点 A 到平面 AED的距离(2003年全国高考理科第 l8题 ) 解(2)((1)略)，以C为原点取直角坐标系如图 5。 设 AC=BC=x，则 A(x，O，o)、B(0，x，0)、D(0，0，1)、AI(x，0，2)、 E(x／2，)(，2，1)，由重心坐标公式得G(x／3，x／3，l，3)。依题意蔬 上 o--d，故()(，6，)(，6，2，3)·(0，x，一1)=x2／6-2／3=0，解得x=2。这时， = (一2，0，1)、AE：(一l，l，1)。 设平面ADE的法向量为n：(1，Y，z)。依题意有n上 ，n上 A---g，故(1，Y，z)·(一l，l，1)：(1，y，z)·(-2，0，1)=o，解得 y：一l，z= 2，故n=(1，一l，2)。 取 ：(0，0，-2)为联系向量，由影长公式得所求距离为 d：I ．刊 l=2 ／3。 回顾 由于平面法向量的任意性和联系向量的任意性会 使选择的余地增大，所以，用影长公式求距离总体上的简便的。 3．两条异面直线的距离 为求异面直 a、b的距离，宽求m与它们都垂直的量n，再取 联系向量 ，使E∈a，F∈b，并求E 在n的射影长。如图6 例 3 如 图 7，在 四棱 锥 P_一 ABCD中 ．底 面 ABCD是 正 方 形 ，边 长 为 a，PD=a，PA： PC=、／2 a，E是AD的中点，PF： FB=2：1．求 异面 直级 PE与 CF 的距离。 解 以 D为 原点取 角坐 标系如图7，设与 、辞 都垂直 的向量为n=(1，Y，Z)。 则 B (a，a，0)、C(0，a，0)、P (0，0，a)、E(a／2，0，0)，由定 比分 点 坐标 公式 是 F(2a，3，2a，3，a， 3)，依题意 上p-g， n上神 ，故(1，y，z)·(2a／3，一d3，a／3)=O，解得 y=5a／3．z=a／2 ◆—— 丽_ 煎 维普资讯 http://www.cqvip.com 教 苑 漫 步 葳毒增痞蛹 -_1I【I．5at2，a，2)取豆芒=(一a，2 0)为联系向量，由髟长公 式得所求距离为d：l豌．；l，1 1=2、一 珏，15 回硕 两平行平面 d、B间 的距离 与两异面直线 的距 离完 全类似．只需取联系向量静 使EEq、F￡B，井求商 在a、B的公 共法向量 的射影长即可，币赘述．= 4．直线与平面的距 离 勺求 氨线 L与平 面 a的距 离 ，先求出 B的法 向量n．再取联 l糸向量 ．使 E EI．．F En．诈求 弼‘在一-上的射影长如图8 例 4 姐罔 9是棱 K为 a的 正三棱柱 ．D是 AB的中点 (1球 证：BC，『面 ^DC (2)求 Bc，到平在AIDC的 距离一 解 (11连 AC：A．C交于 E．易知 E、D分别是 AC．和 AB 的 中 点 ，．__BCt／／I)E，． ．BC 面 圜 2OO6．。 。 围 9 A】CD= (2) D为啄点取 直角坐标系如图 9 设面 A CD的法 向量 为 (x．Y z' 且设 B=2b．则 Af0．_b 0)、8(o ．O)、c(、，3 b．o 0j A．【0，-b．2b)、C L(、／了b，0，2h)、且砣=(、，了b，0，0)．研 ： (0．一b．2b) 由 且 依题有二上砣 、 上百 ．故cx．y．z)．(v b，o．0)=( ，y．zj· (o．一b，2b)=0．解得 x=0．v=2z．．n=(0，2z，z1。 取联系向量为D =【0．0 2b)．则由影 长公式得所求距离为 d=I l 2b、／I_，5=～ 回顾 (1j图中现戚的与四 完垒等效的联系向量还有7 =(2 若设 [】．y．z)．求解 y+z时会受阻 +其原因是与商 垂 直 且起点 在原点的向量n的 x坐标 l丁能 为 0．不可能为 l，故一般 应设平面法向量为 ：fx，y，z) 这与设n=(1．y．z】，相 比，计算量 大 r多少 综 匕．点线之 距 、点面之距 、线线 之距 、线 面之距 、面面之 距都可由影长公式 简便求 出 维普资讯 http://www.cqvip.com