圆周率

圆周率 π 目录 【圆周率的历史】 【圆周率的计算】 【圆周率的计算方法】 【圆周率的计算历史】 【圆周率的最新计算纪录】 【PC机上的计算】 【圆周率小数点后21500位】 【C++编译器中的运算程序】 【背圆周率的口诀】 【背圆周率小数点后位数多的人】 【与π有关的等式】 · 【背圆周率的口诀】 · 【背圆周率小数点后位数多的人】 · 【与π有关的等式】 　　圆周率，一般以π来示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 　　在学上，π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x，这里的sin是正弦函数（采用分析学的定义）。 [编辑本段] 【圆周率的历史】 　　π=pi 　　古希腊 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/5841.htm" \t "_blank" 欧几里得《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（ 约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/722186.htm" \t "_blank" 纸草书（约公元前1700）中取pi=（4/3）^4≒3.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71))<π<(3+(1/7)) ，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。 　　中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形。 　　南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22／7。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。 　　阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。 　　德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 　　无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，π值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。 　　电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机（ENIAC）计算π值，一下子就算到2037位小数，突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型和IBM－VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下新的纪录。至今，最新纪录是小数点后12411亿位。 [编辑本段] 【圆周率的计算】 　　　古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。 　　十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。 　　进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。 　　历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的威廉·山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。 　　把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。 　　现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。 [编辑本段] 【圆周率的计算方法】 　　　古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。 　　1、马青公式 　　π=16arctan1/5-4arctan1/239 　　这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 　　还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。 　　2、拉马努金公式 　　1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。 　　1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是： 　　3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法 　　高斯-勒让德公式： 　　这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。 　　4、波尔文四次迭代式： 　　这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表，它四次收敛于圆周率。 　　5、bailey-borwein-plouffe算法 　　这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。 　　6、丘德诺夫斯基公式 　　这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的，十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本： 　　 丘德诺夫斯基公式 [编辑本段] 【圆周率的计算历史】 　　时间　纪录创造者　小数点后位数 所用方法 　　前2000 古埃及人 0 　　前1200　中国 0 　　前500 《圣经》　0（周三径一） 　　前250　阿基米德　3 　　263 刘徽　5 古典割圆术 　　480 祖冲之 7 　　1429 Al-Kashi 14 　　1593 Romanus 15 　　1596 鲁道夫 20 古典割圆术 　　1609 鲁道夫 35 　　1699 夏普 71 夏普无穷级数 　　1706 马青 100 马青公式 　　1719 （法）德·拉尼 127（112位正确）夏普无穷级数 　　1794（奥地利）乔治·威加 140 欧拉公式 　　1824 （英）威廉·卢瑟福 208（152位正确）勒让德公式 　　1844 Strassnitzky & Dase 200 　　1847 Clausen 248 　　1853 Lehmann 261 　　1853 Rutherford 440 　　1874 威廉·山克斯 707(527位正确) 　　20世纪后 　　年 月 纪录创造者 所用机器 小数点后位数 　　1946 （英）弗格森 620 　　1947 1 （英）弗格森 710 　　1947 9 Ferguson & Wrench 808 　　1949 Smith & Wrench 1,120 　　1949 Reitwiesner et al　ENIAC 2,037 　　1954 Nicholson & Jeenel　NORC　3,092 　　1957 Felton Pegasus 7,480 　　1958 1 Genuys IBM704 10,000 　　1958 5 Felton Pegasus 10,021 　　1959 Guilloud IBM 704 16,167 　　1961 Shanks & Wrench IBM 7090 100,265 　　1966 Guilloud & Filliatre IBM 7030 250,000 　　1967 Guilloud & Dichampt CDC 6600 500,000 　　1973 Guilloud & Bouyer CDC 7600 1,001,250 　　1981 Miyoshi & Kanada FACOM M-200 2,000,036 　　1982 Guilloud 2,000,050 　　1982 Tamura MELCOM 900II 2,097,144 　　1982 Tamura & Kanada HITACHI M-280H 4,194,288 　　1982 Tamura & Kanada HITACHI M-280H 8,388,576 　　1983 Kanada, Yoshino & Tamura HITACHI M-280H 16,777,206 　　1985 10 Gosper Symbolics 3670 17,526,200 　　1986 1 Bailey CRAY-2 29,360,111 　　1986 9 Kanada & Tamura HITACHI S-810/20 33,554,414 　　1986 10 Kanada & Tamura HITACHI S-810/20 67,108,839 　　1987 1 Kanada, Tamura & Kubo et al NEC SX-2 134,217,700 　　1988 1 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 201,326,551 　　1989 5 Chudnovskys CRAY-2 & IBM-3090/VF 480,000,000 　　1989 6 Chudnovskys IBM 3090 525,229,270 　　1989 7 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 536,870,898 　　1989 8 Chudnovskys IBM 3090 1,011,196,691 　　1989 11 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 1,073,741,799 　　1991 8 Chudnovskys 2,260,000,000 　　1994 5 Chudnovskys 4,044,000,000 　　1995 8 Takahashi & Kanada HITACHI S-3800/480 4,294,967,286 　　1995 10 Takahashi & Kanada 6,442,450,938 　　1997 7 Takahashi & Kanada 51,539,600,000 　　1999 4 Takahashi & Kanada 68,719,470,000 　　1999 9 Takahashi & Kanada HITACHI SR8000 206,158,430,000 　　2002 Takahashi Team 1,241,100,000,000 [编辑本段] 【圆周率的最新计算纪录】 　　1、新世界纪录 　　圆周率的最新计算纪录由日本人金田康正的队伍所创造。他们于2002年算出π值1,241,100,000,000 位小数，这一结果打破了他们于1999年9月18日创造的206,000,000,000位小数的世界纪录。 　　2、个人计算圆周率的世界纪录 　　在一个现场解说验证活动中，一名59岁日本老人Akira Haraguchi将圆周率π算到了小数点后的83431位，这名孜孜不倦的59岁老人向观众讲解了长达13个小时，最终获得认同。这一纪录已经被收入了Guinness世界大全中。据报道，此前的纪录是由一名日本学生于１９９５年计算出的，当时的精度是小数点后的42000位。 　　【一些有趣的数字序列在π小数点后出现的位置】数字序列 出现的位置 　　01234567891 26,852,899,245 41,952,536,161 99,972,955,571 102,081,851,717 171,257,652,369 　　01234567890 53,217,681,704 148,425,641,592 　　432109876543 149,589,314,822 　　543210987654 197,954,994,289 　　98765432109 123,040,860,473 133,601,569,485 150,339,161,883 183,859,550,237 　　09876543210 42,321,758,803 57,402,068,394 83,358,197,954 　　10987654321 89,634,825,550 137,803,268,208 152,752,201,245 　　27182818284 45,111,908,393 [编辑本段] 【PC机上的计算】 　　1、PiFast 　　目前PC机上流行的最快的圆周率计算程序是PiFast。它除了计算圆周率，还可以计算e和sqrt(2)。PiFast可以利用磁盘缓存，突破物理内存的限制进行超高精度的计算，最高计算位数可达240亿位，并提供基于Fabrice Bellard公式的验算功能。 　　2、PC机上的最高计算 　　最高记录：12,884,901,372位 　　时间：2000年10月10日 　　记录创造者：Shigeru Kondo 　　所用程序：PiFast ver3.3 　　机器配置：Pentium III 1G, 1792M RAM，WindowsNT4.0，40GBx2(IDE,FastTrak66) 　　计算时间：1,884,375秒 (21.809895833333333333333333333333天) 　　验算时间：29小时 [编辑本段] 【圆周率小数点后21500位】 　　3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 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