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nullnull第二节 随机变量及其分布返回帮助随机变量离散性随机变量及其分布列连续性随机变量及其分布小结与思考题随机变量随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 条件分布 多维随机变量函数的分布 返回下页上页null 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是 随机变量返回下页上页随机变量的概念随机变量的概念(p24)定义. 设S={e}是试验的空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、、等表示。随机变量的特点: 1 X的全部可能取值是互斥且完备的2 X的部分可能取值描述随机事件返回下页上页nullEX．引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}返回下页上页null随机变量的分类： 随机变量返回下页上页离散型随机变量离散型随机变量(P25)定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或… X x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk …返回下页上页null(1) pk  0, k＝1, 2, … ; (2) 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，22. 分布律的性质返回下页上页null例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,…A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,…5. SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5 返回下页上页·几个常用的离散型分布 （一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布·几个常用的离散型分布 （一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1. (0-1)分布(p26) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (01时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且 在前m次试验中成功了m-1次}返回下页上页null想一想：离散型随机变量的统计特征可以 用分布律描述，非离散型的该如何描述？ 如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对 消费者来说，你是否在意 {X>5年}还是{X>5年零1分钟}返回下页上页随机变量的分布函数 一、分布函数的概念.随机变量的分布函数 一、分布函数的概念. 定义(P29) 设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。 记为F(x)，即 F(x)＝P {Xx}. 易知，对任意实数a, b (a1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1返回下页上页null用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？ab返回下页上页连续型随机变量 一、概率密度连续型随机变量 一、概率密度 1. 定义(p33) 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-0的指数分布。 其分布函数为返回下页上页null例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解返回下页上页null例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T， 设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从 参数为t的泊松分布，求T的概率密度。解当t ≤0时，当t >0时，=1- {在t时刻之前无汽车过桥}于是返回下页上页3. 正态分布正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。3. 正态分布ABA，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？返回下页上页null其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).若随机变量返回下页上页null (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称；(p38) f()＝maxf(x)＝ .正态分布有两个特性：返回下页上页null(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布返回下页上页null4.

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正态分布(p38) 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。返回下页上页null分布函数表示为其密度函数表示为返回下页上页null一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P226附表1)如，若 Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915, P{1.323}的值. 如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.正态分布表返回下页上页null(p67)14 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则Y~B(3,p)其中正态分布表返回下页上页一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布律 (p55) 设X一个随机变量，分布律为 X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, … 若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.例:已知XPk-1 0 1求：Y=X2的分布律YPk1 0 返回下页上页null或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地XPkY=g(X)返回下页上页二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1、一般方法(p56) 若X~f(x), -< x< +, Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY (y) ＝P{Yy}＝P {g(X) y}＝ 然后再求Y的密度函数此法也叫“ 分布函数法”返回下页上页null例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。当y<0时当0≤y<1时当y≥1时返回下页上页null例2.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是 x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。 解：Y的分布函数为 FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y} =P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))Y的概率密度为 fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y)) g-1(y)返回下页上页null2、

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法：一般地 若X～fX(x), y=g(x)是单调可导函数，则 注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以 上公式推求Y的密度函数。 2 注意定义域的选择其中h(y)为y＝g(x)的反函数.返回下页上页null例3.已知XN(,2),求 解：的概率密度关于x严单,反函数为故返回下页上页null例4 设X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)解: Y=ax+b关于x严单,反函数为故而故返回下页上页小结.小结.返回下页上页null习题课一、填空： 1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若 ， 则P{Y≥1}= 返回下页上页null2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为 fY(y)= 返回下页上页null3.设随机变量X~N（2，σ2），且P（2