g3.1069棱锥

g3.1069棱锥 1. 知识回顾: 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 . ⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积： （底面周长为 ，斜高为 ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式： （侧面与底面成的二面角为 ） 附： 以知 ⊥ ， ， 为二面角 . 则 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③ = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③得 . 注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质： ①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： ①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径. [注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等） ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令 得 ，已知 则 . iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC中点 ，则 平面 90°易知EFGH为平行四边形 EFGH为长方形.若对角线等，则 为正方形. 2. 基础训练: 1．给出下列命题： ①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥； ④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( ) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 2．如果三棱锥 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 在底面的射影 在 内，那么 是 的( ) 垂心 重心 外心 内心 ．已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以 为棱，以面 与面 为面的二面角的大小是( ) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 4、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积 取得最大值时 的值为（ ） A、1 B、 C、 D、 三.例题分析: 例1．正四棱锥 中，高 ，两相邻侧面所成角为 ， , (1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。 解：（1） 作 于 ，连结 ，则 且 ，故 是相邻侧面所成二面角的平面角，连结 ，则 ， ，在 与 中， ＝ ＝ (其中 为 与底面所成的角，设为 ) 故 。 （2）在 中，侧棱 = ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 ， ∴边长 ；取 的中点 ，连结 ，则 是正四棱锥的斜高， 在 中，斜高 EMBED Equation.3 ； 例2．如图正三棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，若经过对角线 且与对角线 平行的平面交上底面于 。（1）试确定 点的位置，并证明你的结论；（2）求平面 与侧面 所成的角及平面 与底面所成的角；（3）求 到平面 的距离。 解：（1） 为 的中点。连结 与 交于 ，则 为 的中点， 为平面 与平面 的交线，∵ //平面 ∴ // ，∴ 为 的中点。 （2）过 作 于 ，由正三棱锥的性质， 平面 ，连结 ，则 为平面 与侧面 所成的角的平面角，可求得 ， 由 ，得 ，∴ ∵ 为 的中点，∴ ，由正三棱锥的性质， ，∴ 平面 ∴ EMBED Equation.DSMT4 ，∴ 是平面 与上底面所成的角的平面角，可求得 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 （3）过 作 ，∵ 平面 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 ，∴ 平面 即 是 到平面 的距离， ，∴ EMBED Equation.DSMT4 例3．如图，已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形， ，且该侧面垂直于底面， ， ， ， (1)求证：二面角 是直二面角； (2)求二面角 的正切值； (3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体 ，求几何体 的侧面积． 证 (1) 如图，在三棱锥 中，取 的中点 ． 由题设知 是等腰直角三角形，且 ．∴ ． ∵ 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，∴ 平面 ， ∵ ∴ ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 即二面角 是直二面角． 解 (2)作 ， 为垂足，则 ．∴ 是二面角 的平面角．在 中， ，则 由 EMBED Equation.DSMT4 ，得 ＝ ＝ ， ∴ 所求正切为 ＝ ． (3) ∵ ∴ 分别是 的中点． ∴ ， ． ∵ ＝ ＝ ， EMBED Equation.3 ． ∴ EMBED Equation.DSMT4 ，∴ 几何体 的侧面积 四、作业 同步练习g3.1069 棱锥 1．给出下列命题： ①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥； ④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( ) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 2．如果三棱锥 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 在底面的射影 在 内，那么 是 的( ) 垂心 重心 外心 内心 ．已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以 为棱，以面 与面 为面的二面角的大小是( ) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 4、若P是正四面体内一点，P到各面距离之和是一个定值，这个定值等于（ ） A、正四面体的棱长 B、正四面体的斜高 C、正四面体相对棱间的距离 D、正四面体的高 5、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积 取得最大值时 的值为（ ） A、1 B、 C、 D、 6、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ） A、1：3 B、1：2 C、1： D、1： 7、正三棱锥的高是 ，侧棱长是 ，那么侧面和底面所成的二面角的大小是 . 8、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为1cm,2cm,3cm，则此棱锥的体积为 。 9、已知三棱锥A-BCD的体积为V，棱BC的长为a，面ABC和面DBC的面积分别为S1和S2，设面ABC和面DBC所成二面角为 ，则 ＝ . 10、三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=a，则该三棱锥表面积S的取值范围是 ；体积V的取值范围是 . 11．如图，已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形， ，且该侧面垂直于底面， ， ， ， (1)求证：二面角 是直二面角； (2)求二面角 的正切值； (3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体 ，求几何体 的侧面积． 12、已知在四面体ABCD中， = a， = b， = c，G∈平面ABC． （1）若G为△ABC的重心，试证明 (a+b+c)； （2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论． 参考答案 ADCDDD 7、 8、1cm3 9、 10、 EMBED Equation.3 11、证 (1) 如图，在三棱锥 中，取 的中点 ． 由题设知 是等腰直角三角形，且 ．∴ ． ∵ 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，∴ 平面 ， ∵ ∴ ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 即二面角 是直二面角． 解 (2)作 ， 为垂足，则 ．∴ 是二面角 的平面角．在 中， ，则 由 EMBED Equation.DSMT4 ，得 ＝ ＝ ， ∴ 所求正切为 ＝ ． (3) ∵ ∴ 分别是 的中点． ∴ ， ． ∵ ＝ ＝ ， EMBED Equation.3 ． ∴ EMBED Equation.DSMT4 ，∴ 几何体 的侧面积 12、解：（1）连AG交BC于D，则D平分BC，且G分 所成的比为2∶1，从而 ， ， 故 ． （2）逆命题成立，证明如下： 设D分 所成的比为p，G分 所成的比为q． 则 ， ， 于是， = 因 (a+b+c)，故 ， 解得q =2，p = 1，于是G为△ABC的重心． � EMBED Flash.Movie ��� � EMBED Flash.Movie ��� � EMBED Flash.Movie ��� 图31—3 P C1 C B A A1 B1 图31－31 P C1 C B A E A1 B1 D P C1 C B A A1 B1 A B C D G P 图31－31 P C1 C B A E A1 B1 D _1164175524.unknown _1164178534.unknown _1164475299.unknown _1164560413.unknown _1174908349.unknown _1175013858.unknown _1177949522.unknown _1177949523.unknown _1175014506.unknown _1177949521.unknown _1175013881.bin _1175013936.bin _1175012090.unknown _1175013799.unknown _1175013857.unknown _1175013312.unknown _1174908587.unknown _1174908654.unknown _1174908442.unknown _1164560943.unknown _1164561452.unknown _1164561488.unknown _1164561695.unknown _1174907303.unknown 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_1164180010.unknown _1164180080.unknown _1164179951.unknown _1164179434.unknown _1164179489.unknown _1164179554.unknown _1164179455.unknown _1164178811.unknown _1164179367.unknown _1164178781.unknown _1164178635.unknown _1164178725.unknown _1164178687.unknown _1164178695.unknown _1164178583.unknown _1164178604.unknown _1164178568.unknown _1164177619.unknown _1164178380.unknown _1164178426.unknown _1164178504.unknown _1164178524.unknown _1164178469.unknown _1164178390.unknown _1164178409.unknown _1164177711.unknown _1164178278.unknown _1164178301.unknown _1164178341.unknown _1164178248.unknown _1164177670.unknown _1164177695.unknown _1164177646.unknown _1164176869.unknown _1164177194.unknown _1164177600.unknown _1164177259.unknown _1164177582.unknown _1164177240.unknown _1164177070.unknown _1164177161.unknown _1164177180.unknown _1164177147.unknown _1164176955.unknown _1164176984.unknown _1164176954.unknown _1164175819.unknown _1164176414.unknown _1164176467.unknown _1164176841.unknown 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