8-大学物理讲稿（第8章电磁感应++电磁场）

第8章 电磁感应 电磁场 电与磁之间有着密切的联系,上章所讨论的电流产生磁场以及磁场对电流的作用,就是这种联系的一个方面.这种联系的另一方面就是随时间变化的磁场可以产生电场以及随时间变化的电场也可以产生磁场.这些现象的发现,使人们有可能大规模地把其它形式的能转化为电能,为广泛使用电力创造了条件,大大推动了生产力的发展.本章在介绍法拉第电磁感应定律的基础上,研究随时间变化的磁场产生电场的规律；在麦克斯韦位移电流假设的基础上研究随时间变化的电场产生磁场的规律,并简单介绍麦克斯韦的电磁理论. §8.1 电磁感应定律 一、电磁感应现象 1820年奥斯特关于电流的磁效应的发现,引起了科学界的普遍关注,对其逆现象是否能够发生进行了大量的研究.英国物理学家法拉第(M.Faraday,1791—1867)经过十多年的辛勤努力,终于在1831年发现电磁感应现象.其内容为：不论采用什么方法,只要使通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化,则回路中便会有电流产生.这种现象称为电磁感应,这种现象所产生的电流称为感应电流. 关于感应电流的方向,楞次(Lenz)于1833年从实验中总结出一条规律称为楞次定律,其内容为：感应电流产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的变化. 二、法拉第电磁感应定律 在闭合导体回路中出现了电流,一定是由于回路中出现了电动势.当穿过导体回路的磁通量发生变化时,回路中产生了感应电流,就说明此时在回路中产生了电动势.由这一原因产生的电动势叫感应电动势,其方向与感应电流的方向相同.但应注意,如果导体回路不闭合,则回路中无感应电流,但仍有感应电动势.因此,从本质上说,电磁感应的直接效果是在回路中产生感应电动势. 关于感应电动势,法拉第通过对大量实验事实的分析,总结出如下结论：无论什么原因,使通过回路的磁通量发生变化时,回路中均有感应电动势产生,其大小与通过该回路的磁通量随时间的变化率成正比.这一规律称为法拉第电磁感应定律.在SI单位制中,其数学表达式为 (8.1) 式中Φ是通过导体回路的磁通量,若回路由N匝线圈组成,且通过每匝线圈的磁通量均相等,则式中磁通量Φ要用磁通匝数(磁链) 代替. 式中负号是考虑 与Φ的标定正方向满足右手螺旋关系所引入的,它是楞次定律的反映. 与Φ在此都是代数量,其正负要由预先标定的正方向来决定,与标定正方向相同为正,与标定正方向相反为负.如图8.1所示,任取绕行方向作为导体回路中电动势的标定正方向(图中虚线箭头所示方向),取以导体回路为边界的曲面的法向单位矢量n 的方向为磁通量的标定正方向,并且规定这两个标定正方向满足右手螺旋关系.在图8.1中,如果磁场由下向上穿过回路, ,同时磁场在增大( ),由式(8.1)就有 < 0,此时感应电动势的方向与虚线箭头的方向相反.其他情形同学们可自行分析. 作业(P198)：8.8，8.10 §8.2 动生电动势 一、动生电动势 电磁感应现象虽然种类繁多,但可以把它们分为两大类,一类是磁场相对于线圈或导体回路改变其大小和方向而引起的电磁感应现象,另一类是线圈或导体回路相对于磁场改变其面积和取向而引起的电磁感应现象.我们将磁场不随时间变化,仅由导体或导体回路相对于磁场运动所产生的感应电动势称为动生电动势.如图8.2 所示,在方向垂直于纸面向里的匀强磁场B中放置一矩形导线框abcd,其平面与磁场垂直；导体ab段长为l ,可沿cb和da滑动.当ab以速度υ向右滑动时,线框回路中产生的感应电动势即为动生电动势.某时刻穿过回路所围面积的磁通量为 随着ab的运动,其磁通量在变化,由式(8.1)可得动生电动势为 即 (8.2) 负号表示动生电动势的方向与标定正方向相反,即从a→b . 二、动生电动势的电子论解释 我们知道,电动势是非静电力作用的表现.引起动生电动势的非静电力是洛仑磁力.当导体ab向右以速度υ运动时,其内的自由电子被带着以同一速度向右运动,因而每个电子都受到洛仑磁力作用 把这个作用力看成是一种等效的“非静电场”的作用,则这一非静电场的场强应为 (8.3) 根据电动势的定义有 (8.4) 这一结果与直接用法拉第电磁感应定律所得结果相同. 以上结论可推广到任意形状的导体或线圈在非均匀磁场中运动或发生形变的情形.这是因为任何形状的导体或线圈可以看成是由许多线段元组成,而任一线段元dl所在区域的磁场可看成是匀强磁场.每段dl对应有一个速度, 这时,任一线段元dl上所产生的动生电动势为 整个导线或线圈中产生的动生电动势为 (8.5) 这是计算动生电动势的一般公式,它与法拉第电磁感应定律完全等效.由于 而 是线元dl在单位时间所切割磁感应线数目.故式(8.5)表示了在整个导线L中所产生的动生电动势等于整个导线在单位时间内所切割的磁感应线数目.对于闭合回路,也就等于单位时间内通过回路的磁感应通量的变化量.可见(8.5)与法拉第电磁感应定律式等效.它提供了一种计算动生电动势的方法. 值得注意,导线在磁场中运动产生感应电动势是洛仑磁力作用的结果.在闭合电路中,感应电动势是要做功的.但前已说过,洛仑磁力不做功,对此作何解释呢？如图8.3所示,随同导线一起运动的自由电子受到洛仑磁力的作用,电子将以速度 沿导线运动,而速度 的存在使电子还要受到一个垂直于导线的洛仑磁力 的作用.电子受洛仑磁力的合力为 ,电子运动的合速度为 ,所以洛仑磁力合力做功的功率为 EMBED Equation.3 这一结果表示洛仑磁力的合力做功为零,这与洛仑磁力不做功是一致的.从上述结果中可以看到 为了使自由电子以速度 匀速运动,必须有外力 作用到电子上,而且 .因此有 此等式左侧表示洛仑磁力的一个分力使电荷沿导线运动所做功的功率,宏观上就是感应电动势驱动电流做功的功率.等式右侧是同一时刻外力反抗洛仑磁力的另一个分力做功的功率,宏观上就是外力拉动导线做功的功率,洛仑磁力总体做功为零,它实际上表示了能量的转换和守恒.洛仑磁力在这里起了一个能量转化者的作用,一方面接受外力的功,同时驱动电荷运动做功. 例题 8.1如图8.4所示是半径为R的导体圆盘.刷子a-a' 与盘的轴及边缘保持光滑接触,导线通过刷子与盘构成闭合回路.求当导体圆盘绕通过中心的轴在均匀磁场B(B与盘面垂直)中以角速度ω旋转时,盘心与盘边缘a-a' 的电动势. 解：首先考虑圆盘任一半径上距轴心为r 处的一段微元dr以速度υ垂直于磁场而运动,υ=ωr,微元dr上的动生电动势为 在整个半径上的电动势为 在盘上其它半径中,也有同样大小的动生电动势.这些半径都是并联着的,因此整个盘可以当作一个电动势源.轴是一个电极,边缘是另一个电极.这可看成是一个简易直流发电机的模型. 刚性N匝线圈在均匀磁场中,绕垂直于磁场的轴以角速度ω转动时.由法拉第电磁感应定律式或式 (8.5)可得在匀强磁场中转动的线圈产生的感应电动势为 S是线圈所围面积.所产生的电动势是交变电动势.这是交流发电机的基本原理. 作业(P198)：8.11，8.13 §8.3 感生电动势和感生电场 一、感生电动势和感生电场 我们把处于静止状态的导体或导体回路,由于内部磁场变化而产生的感应电动势称为感生电动势. 由于产生感生电动势的导体或导体回路不运动,因此感生电动势的起因不能用洛仑磁力来解释.由于这时的感应电流是原来宏观静止的电荷受非静电力作用形成的,而静止电荷受到的力只能是电场力,所以这时的非静电力也只能是一种电场力.由于这种电场是由变化的磁场引起的,所以叫感生电场,即产生感生电动势的非静电场是感生电场.以 表示感生电场,则根据电动势的定义,感生电动势可表为 根据法拉第电磁感应定律应该有 即 (8.6) 上式是感生电场与变化磁场的一般关系,同时它也提供了一种计算感生电动势的方法.感生电动势的计算,可先计算出导体内感生电场,然后通过对感生电场的积分来计算感生电动势；也可直接利用法拉第电磁感应定律计算.利用后者计算一段非闭合导线ab的感生电动势时,要设想一条辅助曲线与ab组成闭合回路,但求得的感生电动势不一定等于导线ab上的感生电动势,因为辅助曲线上的感生电动势不一定为零.因此所选的辅助曲线应当满足：它上面的感生电动势或者为零,或者易于求出. 值得指出,在磁场变化时,不但在导体回路中,而且在空间任一地点都会产生感生电场,这与空间中有无导体或导体回路无关.然而,感生电动势虽不要求导体是闭合电路,但却必须在导体中才能产生.由于感生电场的环路积分一般不等于零,故它不是保守力场,所以又叫它涡旋电场.涡旋电场不同于静电场的重要方面就在于它不是保守力场. 例题 8.2 匀强磁场局限在半径为R 的柱形区域内,磁场方向如图8.5所示.磁感应强度B 的大小正以速率dB/dt 在增加,求空间涡旋电场的分布. 解：取绕行正方向为顺时针方向,作为感生电动势和涡旋电场的标定正方向,磁通量的标定方向则垂直纸面向里. 在r R 的区域,作半径为r的圆形回路,同上可得 (8.8) 方向也沿逆时针方向. 由此可见,虽然磁场只局限于半径为R的柱形区域,但所激发的涡旋电场却存在于整个空间. 例题 8.3 如图8.6所示,在半径为R 的圆柱形空间存在有一均匀磁场,其磁感应强度的方向与圆柱轴线平行.今将一长为l的导体杆ab置于磁场中,求当dB/dt > 0 时杆中的感生电动势. 解法1：通过感生电场求感生电动势 取杆的中点为坐标原点建立X轴如图所示.在杆上取一线元dx ,由式(8.7)知,该点感生电场的大小为 方向如图.故ab杆上的感生电动势为 的方向由 解法2：利用法拉第电磁感应定律求感生电动势 如图8.6所示,作辅助线o'a和o'b.因为 沿切向,则它沿着bo'及o'a 的线积分等于零,所以闭合回路aboa上的感生电动势也就等于ab段上的感生电动势.穿过该闭合回路的磁通量为 于是所求的感生电动势为 * 二、电子感应加速器 电子感应加速器是利用在变化磁场中产生涡旋电场来加速电子的,图8.7(a)是这种加速器的原理示意图,在由电磁铁产生的非均匀磁场中安放着环状真空室.当电磁铁用低频的强大交变电流励磁时,真空室会产生很强的涡旋电场.由电子枪发射的电子,一方面在洛仑磁力的作用下作圆周运动,同时被涡旋电场所加速.前面我们得到的带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的规律表明,粒子的运动轨道半径R与其速率υ成正比.而在电子感应加速器中,真空室的径向线度是极其有限的,必须将电子限制在一个固定的圆形轨道上,同时被加速.那么这个要求是否能够实现呢？ 根据洛仑磁力为电子作圆周运动提供向心力,可以得到 (8.9) 式中 是电子运行轨道上的磁感应强度.上式表明,只要轨道上磁感应强度随电子动量成正比例的增加,电子就能够在一个固定的轨道上运行并被加速.可以

证明

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当 ( 是轨道所围面积内的平均磁感应强度)时,被加速的电子可稳定在半径为R的圆形轨道上运行.由此可见,在磁场变化的一个周期内,只有其中四分之一周期才可以用于电子的加速(如图8.7(b)).若在第一个1/4周期开始时将电子引入轨道,1/4周期即将结束时将电子引离轨道,进入靶室,可使电子获得数百兆电子伏的能量.这样的高能电子束可直接用于核物理实验,也可用于轰击靶以产生人工γ射线,还可以用来产生硬X射线,作无损探伤或癌症治疗之用. 作业(P199)：8.14 §8.4 自感和互感 一、自感现象 当一线圈的电流发生变化时,通过线圈自身的磁通量也要发生变化,进而在回路中产生感应电动势.这种现象称为自感现象,这种电动势称为自感电动势. 设某线圈有N 匝,据毕奥-萨伐尔定律,此电流所产生的磁场在空间任一点的磁感应强度与电流成正比.因此通过此线圈的磁链也与电流成正比,即 (8.10) 式中比例系数L称为自感系数,简称自感.其数值与线圈的大小、几何形状、匝数及磁介质的性质有关.在线圈大小和形状保持不变,并且附近不存在铁磁质的情况下,自感L为常数,利用法拉第电磁感应定律可得自感电动势为 (8.11) 这表明,当L恒定时,自感电动势的大小与线圈中的电流变化率成正比.当电流增加时,自感电动势的方向与电流方向相反. 在国际单位制中,自感的单位是亨利,简称为亨(H). 亨利这个单位太大,平时多采用mH(毫亨)或(H(微亨). 自感现象在日常生活及工程技术中均有广泛的应用.日光灯上的镇流器,无线电技术中的扼流圈,电子仪器中的滤波装置等都要应用自感现象. 但自感现象有时也会带来危害.例如在大自感和强电流的电路中,接通或断开电路时会产生很大的自感电动势,从而击穿空气,形成电弧,造成事故,或烧坏设备,甚至危及工作人员的生命安全.为避免这类事故的发生,电业部门须在输电线路上加装一种特殊的灭弧开关——油开关或负荷开关,以避免电弧的产生. 二、互感现象 根据法拉第电磁感应定律,当一个线圈的电流发生变化时,必定在邻近的另一个线圈中产生感应电动势,反之亦然.这种现象称为互感现象,这种现象中产生的电动势称为互感电动势. 如图8.8所示,设有两个相邻近的线圈1和线圈2,分别通有电流 .当线圈1中的电流发生变化时,就会在线圈2中产生互感电动势；反之,当线圈2中的电流变化时,也会在线圈1中产生互感电动势.若两线圈的形状、大小、相对位置及周围介质(设周围不存在铁磁质)的磁导率均保持不变,则根据毕奥——萨伐尔定律可知,线圈1中的电流 所产生的并通过线圈2的磁链应与 成正比,即 (8.12) 同理,线圈2中的电流 所产生的并通过线圈1的磁链亦应与 成正比,即 (8.13) 上两式中的 和 为两个比例系数.理论和实验都证明,它们的大小相等,可统一用M表示,称为两线圈的互感系数,简称互感,其数值与两线圈的形状、大小、相对位置及周围介质的磁导率有关.于是上两式可简化为 根据法拉第电磁感应定律,当线圈1中的电流 发生变化时,线圈2中的互感电动势为 (8.14) 同理,线圈2中的电流 发生变化时,线圈1中的互感电动势为 (8.15) 从以上讨论可以看出,当线圈中的电流变化率一定时,M越大,则在另一线圈中所产生的互感电动势也越大,反之亦然.可见互感系数是反映线圈间互感强弱的物理量. 两线圈的互感系数M与这两线圈各自的自感系数 有如下一般关系 其中k称为耦合系数,当线圈1中的电流 产生的磁场使穿过线圈2的磁通等于穿过自身的磁通时,耦合系数k = 1,这称为全耦合. 互感的单位也是亨利. 互感现象也被广泛的应用于无线电技术和电磁测量中.各种电源变压器、中周变压器、输入或输出变压器等都是利用互感现象制成的.但是互感现象有时也会招致麻烦.例如,电路之间由于互感而相互干扰,影响正常工作.人们不得不设法避免这种干扰,磁屏蔽就是避免这种干扰的一种方法. 对于自感和互感的计算,都比较繁杂,一般都需要实验确定.只是对于某些结构比较简单的物体(或线圈),其自感或互感才可用定义式进行计算.如下面要介绍的例题8.4 、8.5就是通过定义计算自感和互感的. 例题8.4有一长为l ,截面积为S 的长直螺线管,密绕线圈的总匝数为N,管内充满磁导率为μ的磁介质.求此螺线管的自感. 解：长直螺线管内部的磁场可以看成是均匀的,并可以使用无限长螺线管内磁感应强度公式 又通过每匝的磁通量都相等,则通过螺线管的磁链为 V是螺线管的体积,所以螺线管的自感为 可见,长直螺线管的自感与线圈的体积成正比,与单位长度上的匝数的平方成正比,还与介质的磁导率成正比.因此,想要使螺线管的自感系数较大就必须用细线密绕并充以磁导率较大的磁介质. 例题8.5 如图8.9所示,一长为l的长直螺线管横截面积为S,匝数为 .在此螺线管的中部,密绕一匝数为 的短线圈,并假设两组线圈中每一匝线圈的磁通量都相同.求两线圈的互感. 解：如果设线圈1中通一电流 ,则在线圈中部产生的磁感应强度为 该磁场在线圈2中产生的磁链为 所以两线圈的互感为 作业(P199)：8.16，8.20 §8.5 磁场的能量 与电场一样,磁场也具有能量.下面用自感线圈通电的例子来说明. 如图8.10所示,将一个自感系数为L的自感线圈与电源相连.当接通电源时,通过线圈的电流突然增加,因而便在线圈中产生自感电动势以反抗电流的增加.故欲使线圈中的电流由零变化到稳定值,电源必须反抗自感电动势做功.设dt时间内通过线圈的电荷为dq,则电源反抗自感电动势做的元功为 当电流由零变化到恒定值 时,电源反抗自感电动势做的总功为 由于电源在反抗自感电动势做功的过程中,只是在线圈中逐渐建立起磁场而无其它变化,据功能原理可知,这一部分功必定转化为线圈中磁场的能量(简称磁能),即 (8.16) 这便是线圈的自感磁能. 对于相邻两线圈,若它们分别载有电流 时,可以推得它们的互感磁能为 (8.17) 若设两线圈的自感系数分别为 ,则这两线圈中储存的总磁能为 (8.18) 磁能应该能表示成用磁感应强度表示的形式.现以自感磁能为例来寻求这一表达式.前已求出,长直螺线管的自感系数 ,当螺线管内充满磁导率为μ的均匀磁介质时,管内的磁场 ,即 .将L及 代入自感磁能式 (8.16)得 (8.19) 式中V为长直螺线管内部空间的体积,亦即磁场存在的空间体积.由于长直螺线管内的磁场可以认为是均匀分布的,故管内单位体积中的磁能,即磁能密度为 (8.20) 值得指出,上式虽然是从自感线圈这一特例中导出的,但可以证明它是磁场能量密度的一般表达式. 如果磁场是非均匀的,则可将磁场存在的空间划分成无限多个体积元dV,在每一个体元内,其中的B和H均可看成是均匀的.于是体积元内的磁能为 体积V内的总磁能为 (8.21) 例题 8.6一无限长同轴电缆是由两个半径分别为 的同轴圆筒状导体构成的,其间充满磁导率为μ的磁介质,在内、外圆筒通有方向相反的电流I.求单位长度电缆的磁场能量和自感系数. 解：对于这样的同轴电缆,磁场只存在于两圆筒状导体之间的磁介质内,由安培环路定理可求得磁场强度的大小为 而在 的空间,磁场强度为零,所以磁场能量只储存在两圆筒导体之间的磁介质中.磁场能量密度为 单位长度电缆所储存的磁场能量为 根据式(8.16),可以求得单位长度电缆的自感为 可见,电缆的自感只决定于自身的结构和所充磁介质的磁导率. 作业(P200)：8.22 §8.6 电磁场理论的基本概念 19世纪60年代,人们对电磁现象已经积累了丰富的资料,对电磁现象的规律也有了比较深刻的认识.为建立统一的电磁理论奠定了基础.麦克斯韦在前人实践和理论的基础上,对整个电磁现象作了系统的研究.提出涡旋电场的概念,建立了磁场和电场之间的一种联系--随时间变化的磁场能够产生电场,并成功的解释了感生电动势.在研究了安培环路定理运用于非闭合电流电路的矛盾之后,他又提出了位移电流假设,即随时间变化的电场可以产生磁场,这反映了电场与磁场的另一联系.在此基础上,麦克斯韦总结出描述电磁场的一组完整的方程式,即麦克斯韦方程组.由此,他于1865年预言了电磁波的存在,以及光是电磁波的一种形态.1888年赫兹首次用实验证实了电磁波的存在.麦克斯韦电磁理论的建立,是继牛顿理论之后,科学发展史上的又一里程碑.他将人类的文明与进步推向了一个新的高潮. 一、位移电流 在稳恒电流情况下,无论载流回路处于真空还是磁介质中,其磁场都满足安培环路定理,即 (8.22) 式中 是穿过以闭合回路L为边界的任意曲面S的传导电流的代数和.在非稳恒条件下,由上式表示的安培环路定理是否还能成立呢？ 下面通过考察电容器充电或放电过程来进行具体分析.如图8.11所示,在一正充电的平行板电容器的正极板附近围绕导线取一闭合回路l,以l为周界作两个任意的曲面 ,使 与导线相交, 与导线不相交,但包含正极板,且与 组成闭合曲面S.设某时刻线路中的传导电流为 .对 应用安培定理得 (8.23) 对 应用安培定理,并注意到传导电流不能通过电容器两极板间的空间,则得 (8.24) 式(8.23)和(8.24)表明,磁场强度沿同一闭合回路的环量有两种相互矛盾的结果.这说明稳恒磁场的环路定理对非稳恒情况不适用,我们应以新的规律来代替. 为探求这一新规律,我们仍以电容器的充放电过程为例.容易理解,当充电电路通一传导电流 时,电容器极板上的电荷必然变化.从而导致两极板间电位移矢量的变化,使通过 的电位移通量亦随时间而变化.将高斯定理应用于闭曲面S得 由此得 (8.25) 可见,电位移通量对时间的变化率 具有电流的量纲,麦克斯韦将其称为位移电流,用 表示,即 (8.26) 而电位移矢量的时间变化率 则与电流密度同量纲,麦克斯韦将它称为位移电流密度,用 表示,即 (8.27) 这样,在电路中就可能同时存在有两种电流,一种是传导电流,由电荷的运动所产生；另一种是位移电流,由电位移通量对时间的变化率所引起.这两种电流之和称为全电流,即 (8.28) 由此可见,当电容器充电时, 与D,亦即与 同向,且与 等值.同样,当电容器放电时, 亦与 同向等值.可见导线中的传导电流与极板间的位移电流总是大小相等,方向相同的.因此我们完全有理由认为,传导电流在哪个地方中断了,位移电流便会在那个地方连起来,使通过电路中的全电流大小相等、方向相同.这就是全电流的连续性. 二、安培环路定理的推广 在引入了全电流概念之后,可将安培环路定理推广到非稳恒情况下,即磁场强度H沿任意回路的环量等于回路所包围的全电流的代数和,其表达式为 (8.29) 这就是适用于一般情况的安培环路定理.它表明,不仅传导电流要激发磁场,位移电流同样要激发磁场. 从上面的讨论可以看出,位移电流和传导电流是截然不同的两个概念,只在产生磁场方面是等效的,因而都叫电流.但位移电流仅由变化的电场所引起,它既可沿导体传播,也可脱离导体传播,且不产生焦耳热；传导电流则由电荷的定向运动所产生,它在导体中传播,并产生焦耳热. 三、麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是麦克斯韦在他提出的感生电场和位移电流假设的基础上,通过总结和推广静电场的高斯定理和环路定理以及稳恒磁场的高斯定理和环路定理而得到的. 麦克斯韦认为,空间任一点的电场是由电荷产生的库仑场 与变化磁场产生的感生电场 的矢量叠加,即 (8.30) 而 是保守力场, 是涡旋场,总场强对任一闭合曲线的环量为 (8.31) 总电场E对任一闭合曲面的电通量可由高斯定理得 (8.32) 当有介质存在时,上式应为 (8.33) 关于磁场,传导电流和位移电流产生的磁场都是涡旋场,不论是哪种方式产生的磁场,其磁感应线都是闭合的,所以总磁场的高斯定理仍为 (8.34) 引入位移电流后,磁场的环路定理即为(8.27)式,即 (8.35) 综上所述,(8.31)、(8.33)、(8.34)和(8.35)各式概括了电磁场所满足的所有规律.由此而得到的方程组即为麦克斯韦方程组,即麦克斯韦方程组为 说明：1）方程(1)说明了电场不仅可以由电荷激发,而且也可由变化的磁场激发.方程(4)说明了磁场不仅可以由带电粒子的运动(电流)所激发,而且也可由变化的电场所激发.由此可见,一个变化的电场总伴随着一个磁场,一个变化的磁场总伴随着一个电场.从而说明,在电现象和磁现象之间存在着紧密的联系,而这种联系就确定了统一的电磁场； 2）方程(2)和方程(3)说明电场是有源场(即电场线有头有尾),而磁场是无源场(磁感应线是无头无尾的闭合曲线). 3）另外,在处理具体问题时,经常会遇到电磁场与物质的相互作用,所以还必须补充描述物质电磁性质的方程,对于各向同性介质,这些方程为 麦克斯韦方程组加上描述介质性质的方程,全面的总结了电磁场的规律,是经典电动力学的基本方程组,利用它们,原则上可以解决各种宏观电磁场问题. 应该指出,感生电场、位移电流,到麦克斯韦方程组等都是电磁场的基本概念,当初,它们都是作为假设提出来的.根据麦克斯韦方程组,在场随时间变化的情况下,变化的电场与磁场相互激发,它们可以脱离场源而存在,并以一定的速度在空间传播,从而形成在空间传播的电磁波.麦克斯韦正是由此预言了电磁波的存在,20年后(即1888年),赫兹用实验证实了电磁波的存在,从而间接地证明了上述假设的正确性.另外,电磁波具有能量和动量等物质的共同属性,电磁波的被证明,也进一步说明了电磁场的物质性. 作业(P200)：8.24 *§8.7 电感和电容电路的一阶暂态过程 一、RL电路的暂态过程 由于线圈自感的存在,当电路中的电流改变时,在电路中产生自感电动势.而自感电动势的出现总是要反抗电路中原电流的变化,电流增大时,自感电动势与原来电流方向相反；电流减小时,自感电动势与原来电流方向相同.回路的自感L越大,自感应的作用也就越大,即改变电路中的电流就越不容易.可见自感现象具有使电路中保持原有电流不变的特性,它使电路在接通及断开后,电路中的电流要经历一个短暂的过程才能达到稳定值,这个过程称为RL电路的暂态过程.下面就来具体研究RL电路的暂态过程. 如图8.12所示是一个含有自感L和电阻R的简单电路.若电键 接通而 断开时,RL电路接上电源,由于自感应的作用,在电流增长过程中出现自感电动势 ,它与电源的电动势 共同决定电路中电流的大小.设某瞬时电路中的电流为I,则由欧姆定律得 这是一个含有变量I及其一阶导数的微分方程,可以通过分离变量积分求解.上式改写为分离变量形式为 对上式两边积分,并考虑到初始条件：t = 0时,I = 0,于是有 (8.36) 式(8.36)就描述了RL电路接通电源后电路中电流I的增长规律,可用图8.13来表示.它说明了在接通电源后,由于自感的存在,电路中的电流不是立刻达到无自感时的电流稳定值 ,而是由零逐渐增大到 的,与无自感时的情况比较,这里有一个时间延迟.从式(8.36)看到,当 时 即电路中的电流达到稳定值的63%,通常用这一时间 来衡量自感电路中电流增长的快慢程度,称为回路的时间常数或弛豫时间.图8.13中,曲线1的弛豫时间小,曲线2的弛豫时间长. 当上述电路中的电流达到稳定值 后,再迅速使电键 接通的同时断开电键 ,这时电路中虽然没有外电源,但由于线圈中自感电动势的存在,电路中的电流要经历一个衰变过程才会降到零.设电键 接通后某一瞬时电路中的电流为I,线圈中的自感电动势为 ,据欧姆定律得 仍用分离变量法,并注意到初始条件t = 0 时, . 积分并整理得 (8.37) 式(8.37)描述了RL电路切断电源后电路中电流的衰变规律,图8.14是这一变化过程中电流随时间的变化曲线.经过一段弛豫时间( ),电流降低为原稳定值的1/e倍(约37%). 值得指出,当图8.12所示的电路在断开电源时,如不接通 ,这时在两端之间的空隙具有很大的电阻,电路中电流将由 聚然下降为零,由于 很大,在L中将产生很大的自感电动势,常使电键两端之间产生火花,甚至发生电弧,这种现象在原通有强大电流的电路中或在含有铁磁性物质的电路中尤为显著.这时,虽然电路中电源的电动势只有几伏,却可能产生几千伏的自感电动势 ,为了避免由此造成的事故,通常可用逐渐增加电阻的方法来断开电路. 二、RC电路的暂态过程 RC电路的暂态过程就是电容器通过电阻的充放电过程,它是各种电子线路中经常利用的现象.下面就来具体研究RC电路的暂态过程. 如图8.15所示,电容器C、电阻R和电动势为ε的直流电源构成一个简单电路.设电容器在充电前极板上的电荷量为零,两极板间的电势差也为零.在闭合电键K使电路接通后,电荷从零开始逐渐在两极板上积累起来,两极板间的电势差也逐渐增大.设某瞬时电路中的电流为I,极板上的电荷量为q,由欧姆定律得 利用 ,上式可写为 这是关于q 的一阶微分方程,同前解之并利用 t = 0时,q = 0的初始条件得 (8.38) 电路中的电流 (8.39) 以上两式表明,电容器在充电过程中,电容器极板上的电荷量和电路中的电流的变化都与时间的指数函数 有关.如图8.16所示是它们的图线表示.从这两条图线不难看出,当电容器在开始充电时(即 t = 0)极板上的q = 0,电容器内的电场尚未建立起来,此时电源的端电压全部加在电阻R上,电路中的电流有最大值 . 此后,电容器极板上的电荷逐渐增加,电容器中的电场强度逐渐加强,极板间的电势差也逐渐升高,而加在电阻R上的电势差随之减小,所以电路中的电流强度逐渐减小.从理论上讲,只有当 t =∞时,即充电时间无限长时方能使极板上的电荷量增大到最大值 和电路中电流I = 0,实际上当q非常接近于最大值时电容器充电过程就告结束. 从式(8.38)和(8.39)可知,充电过程的快慢取决于乘积RC,它具有时间的量纲,叫做RC电路的时间常数.其物理意义与RL电路中的L/R 类似. 同样可以讨论RC放电过程中,电荷q和电流I 随时间的变化规律.在此就不作详细讨论了. PAGE 21 _1232799515.unknown _1232802460.unknown _1232803772.unknown _1232804423.unknown _1232804784.unknown _1232804985.unknown _1232805066.unknown _1232805254.unknown _1232805324.unknown _1232805077.unknown _1232805005.unknown _1232804961.unknown _1232804533.unknown _1232804764.unknown _1232804474.unknown _1232804008.unknown _1232804100.unknown _1232804278.unknown _1232803930.unknown _1232803954.unknown _1232803814.unknown _1232803859.unknown _1232802884.unknown _1232803656.unknown _1232803676.unknown _1232803715.unknown _1232803083.unknown _1232803611.unknown _1232803634.unknown _1232802927.unknown _1232802632.unknown _1232802688.unknown _1232802699.unknown _1232802655.unknown _1232802520.unknown _1232802554.unknown _1232802461.unknown _1232801241.unknown _1232801790.unknown _1232802092.unknown _1232802154.unknown _1232802332.unknown _1232802108.unknown _1232801865.unknown _1232802025.unknown _1232801852.unknown _1232801810.unknown _1232801429.unknown _1232801701.unknown _1232801748.unknown _1232801490.unknown _1232801322.unknown _1232801344.unknown _1232801282.unknown _1232801300.unknown _1232800164.unknown _1232800725.unknown _1232800947.unknown _1232801155.unknown _1232801172.unknown _1232800984.unknown _1232800827.unknown _1232800895.unknown _1232800802.unknown _1232800436.unknown _1232800657.unknown _1232800667.unknown _1232800539.unknown _1232800374.unknown _1232800425.unknown _1232800236.unknown _1232800321.unknown _1232799711.unknown _1232800032.unknown _1232800074.unknown _1232800113.unknown _1232799810.unknown _1232799971.unknown _1232799996.unknown _1232799779.unknown _1232799611.unknown _1232799628.unknown _1232799528.unknown _1232794233.unknown _1232798487.unknown _1232798902.unknown _1232799111.unknown _1232799196.unknown _1232799452.unknown _1232799151.unknown _1232798993.unknown _1232799011.unknown _1232798921.unknown _1232798773.unknown _1232798856.unknown _1232798818.unknown _1232798837.unknown _1232798807.unknown _1232798689.unknown _1232798759.unknown _1232798539.unknown _1232795061.unknown _1232795459.unknown _1232795555.unknown _1232798406.unknown _1232795531.unknown _1232795305.unknown _1232795436.unknown _1232795287.unknown _1232794921.unknown _1232794990.unknown _1232795048.unknown _1232794978.unknown _1232794676.unknown _1232794735.unknown _1232794665.unknown _1232793173.unknown _1232793529.unknown _1232793962.unknown _1232794159.unknown _1232794209.unknown _1232794023.unknown _1232794101.unknown _1232793597.unknown _1232793930.unknown _1232793563.unknown _1232793337.unknown _1232793468.unknown _1232793509.unknown _1232793346.unknown _1232793231.unknown _1232793260.unknown _1232793327.unknown _1232793188.unknown _1232792762.unknown _1232792950.unknown _1232793095.unknown _1232793153.unknown _1232793021.unknown _1232792851.unknown _1232792939.unknown _1232792813.unknown _1232783072.unknown _1232792385.unknown _1232792500.unknown _1232792373.unknown _1232782848.unknown _1232783053.unknown _1232782889.unknown _1232782915.unknown _1232782810.unknown