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2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 考研数学三十六技 微积分上 清华大学 数学科学系 刘坤林主讲 三十六技之五：等式与不等式证明技巧 ----移项做辅助函数 初值加增减性分析法 泰勒公式方法 局部极值是背景，连续性质做基础，中值定理有四条，概念理解最重要，基本方法多总 结，醒悟概念孕技巧。 当遇到等式与不等式证明问时，应意识移项做辅助函数。根据题目要求，研究辅助函 数与导函数的零点问题，增减性问题，或最大最小值问题，是证明等式与不等式的常用方 法，而移项做辅助函数 初值加增减性分析法. 涉及的知识点：极限与连续函数性质，零点定理与介值定理，微分中值定理，积分性质， 泰勒公式等。 利用拉格朗日微分中值定理，可以证明下述结果（初值加增减性分析法的基本原理）： 拉格朗日微分中值定理推论：若 ],[ bax∈∀ ， 0)( >′ xf ，则： 当 时，在 上恒有 ， 0)( =af ),( ba 0)( >xf 当 时，在 上恒有0)( =bf ),( ba 0)( ′ )(,0)( xfxf 又因 ，且 为极小值， +∞=+∞−−=−= −−+ )(,)(,)0( 11 fkeefkf keef −−= −− 11 )( （1）所以当 时， ， 在01 <−< −ek 0)(, 11 >−−= −− keef )(xf ),( ∞+0 内无零点。 当 时， 恰有一个零点1−−= ek )(xf e x 11 −= 。 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 （2）当 时， ， 有两个零点为：01 <<− − ke 0)(, 11 <−−= −− keef )(xf ),( ∞+∈ e x 11 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 及 ),( ∞+∈ e x 12 。 （3）当 时， ， 恰有一个零点0≥k 0)(, 11 <−−= −− keef )(xf ),1(3 ∞+∈ ex 。 例 5-2 设 在 上可导，当)(xf ]1,0[ )1,0[∈x 时满足 )()1(0 xff << ，且 ，试 证方程 在 内有唯一实根。 )()(' xfxf ≠ ∫= x dttfxf 0 )()( )1,0( 【证】移项造辅助函数，设 ，则 ∫−= x dttfxfxF 0 )()()( 0)1()0()0( >>= ffF =)1(F 0)1()1()()1( 1 0 1 0 =−<− ∫∫ dtffdttff ， 于是 在 内有实根。又因为 )(xF )1,0( 0)()(')(' ≠−= xfxfxF ，所以 在 内不 变号，即 为单调函数，最多有一个零点，于是 在 内有唯一实根。 )(xF ′ )1,0( )(xF ∫= x dttfxf 0 )()( )1,0( 或：假设有两个不同的实根，则由 Rolle 定理可得： ∈∃ξ )1,0( ，使得 0)()(')(' =−= ξξξ ffF ，即有一点 )1,0(∈ξ ，使得 )()(' ξξ ff = ， 与题设矛盾，则 在 内有唯一实根。 ∫= x dttfxf 0 )()( )1,0( 例 5-3 设 为 上的单调增函数，)(xf ′ ),([ ∞+0 00 =)(f ，证明对任意满足 的 成立不等式 。 210 xx << 21, xx )()( 1221 xfxxfx > 【解】 等价于)()( 1221 xfxxfx ′> 1 1 2 2 )()( x xf x xf > ， 考虑 x xfxg )()( = 在 上的增减性。 ),( ∞+0 ))()((1)()()( 22 ξfxxfxxx xf x xfxg ′−′=−′=′ ， 其中 x<< ξ0 ，因为 为)(xf ′ ),([ ∞+0 上的单调增函数，于是 )()( ξfxf ′>′ ， ， 0>′ )(xg 所以 x xfxg )()( = 在 上单调增加，即有),( ∞+0 1 1 2 2 )()( x xf x xf > 。 例 5-4 若 内的二阶可导的奇函数, 在f x( ) ( , )为 −∞ +∞ ( , )−∞ 0 内 , 且 , 则下列命题中错误的为（ ）。 ′ >f x( ) 0 0<′′ )(xf 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com (A) 在 内必有 。 ( , )0 +∞ 0)( >xf (B) 在 内必有 且( , )0 +∞ 0)( >′ xf 0)( >′′ xf 。 (C) 在 内必有( , )0 +∞ 0)( ,0)( <′′>′ xfxf 。 (D) 在 内必有 且存在常数 使( , )0 +∞ ,)( 0>′ xf 0>k )(xfy = 与 kxy = 有唯一交点。

答案

八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案

：C。 例 5-5 设 在 上二阶可导，且)(xf ],[ ba 00 ≠== )('',)()( xfbfaf ，则在 内（ ）。 ),( ba (A) 。 0)(' ≠xf (B) 存在 ),(21 ba∈ξξ， 使得 0)(')(' 21 == ξξ ff 。 (C)至少存在一点 ),,( ba∈ξ 使得 0)( =ξf 。 (D) 。 0)( ≠xf 【解】答案为(D).反证:若 ，使得),( bac∈∃ 0=)(cf ，则由罗尔定理有 ， 满足 ， 1x ∈ ),( ca 2x ∈ ),( bc 0)(' 1 =xf 0)(' 2 =xf ，再由罗尔定理得 3x ∈ ),( 21 xx 使 ， 0)('' 3 =xf 这与题目所给矛盾，同时可排除(A),(B),(C)，。 例 5-6 设 ，证明不等式ba <<0 abab ab ba a 1lnln2 22 <− −<+ 。 【证】原不等式等价于 < + − 2)(1 )1(2 a b a b ,ln b a a b a b −< 先合并参数，再采用移项造辅助函数方法。 对右边不等式，令 ,1>= t a b 只须考虑 t tt 1ln 2 −< 移项造辅助函数，令 t tttf 1ln2)( +−= ， 0)1( =f （初值）， 0)1(12112)( 2 2 2 2 2 <−−=+−−=−−=′ t t t tt tt tf 于是 （初值），即右侧不等式成立。 0)( = t a b ，左侧不等式变为 21 )1(2lnt t t + −> 。 移项造辅助函数，令 )1(2ln)1()( 2 −−+= ttttg ，则 0)1( =g （初值）， 0ln22)1(ln2)( >≥−++=′ ttt t tttg ， （注意到平均值不等式 02)1( >−+ t t ！） 于是在 上 ，即左侧不等式成立。 ),1[ +∞ 0)( >tg （方法 2）取一个参数为变量，采用初值加增减性分析法，令 ， ， )(2)ln)(ln()( 22 axaaxxaxg −−−+= )0( >> ax 0)( =ag （初值） axa x axxag 2)(1)ln(ln2)( 22 −++−=′ 0221ln2 >−⋅+⋅> aax xa xx ， 因此 ，即左侧不等式成立（用到平均值不等式）。 0)( >xg （方法 3）由 Lagrange 中值定理得： ,,1lnln ba ab ab <<=− − ξξ 注意到 ba 111 >> ξ ，则由平均值不等式得到 ba a ba ab bb 22 2 22 2111 +=+⋅>>ξ 。 例 5-7 设 在 上一阶可导，在 内二阶可导， ， ，证明： )(xf ],[ ba ),( ba 0)()( == bfaf 0)()( >′′ bfaf （1）存在 ),( ba∈ξ ，使 0)( =ξf ； （2）存在 ),( ba∈η ，使 )()( ηη ff ′=′′ ． 【证】（1）不妨设 ，即 0)(,0)( >′>′ bfaf 0)()(lim >− − +→ ax afxf ax ， 由极限的保序性，存在 0>δ 使得有： ),( δ+∈∀ aax ，满足 0)()( => afxf ， 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 4 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 即 有 ),(1 δ+∈ aax ， 满 足 0)()( 1 => afxf ； 同 理 可 有 ),(2 bbx δ−∈ ， 满 足 。由连续函数的零点定理，0)()( 2 =< bfxf ),(),( 21 baxx ⊂∈∃ξ ，使得 0)( =ξf 。 （2） 【思路】 由（1）可得到 ),(1 ξξ a∈∃ ，使得 0)( 1 =′ ξf ，且存在 ),(2 bξξ ∈∃ ，使 得 0)( 2 =′ ξf 。采用移项造辅助函数方法证明 0)()( =′−′′ ηη ff 。应设法寻找一个乘积函 数，使之满足二阶导数为零。构造辅助函数 ，则 xexfxF −′= )()( 0)( 1 =ξF ， 0)( 2 =ξF ， 由 Rolle 定理， ),( 21 ξξη∈∃ ，使得 0)()()( =′−′′=′ −− ηη ηηη efefF ， 因为 ，所以0≠−ηe 0)()()( =′−′′=′ ηηη ffF ，即有 )()( ηη ff ′=′′ 。 例 5-8 设 ，在 内可导，且],[)( 10Cxf ∈ ),( 10 010 == )()( ff ， 1) 2 1( =f ，证明 （1）存在 )1, 2 1(∈ξ 使得 ξξ =)(f 。 （2） R∈∀λ 存在 ),0( ξη ∈ 使得 ))((1)( ηηλη −+=′ ff 。 【证】 （1）移项造辅助函数 xxfxF −= )()( ，容易验证 ]1,0[)( CxF ∈ 且在 内可导，),( 10 1)1(, 2 1) 2 1( −== FF ，因此存在 )1, 2 1(∈ξ 使 0)( =ξF ，即 ξξ =)(f 。 （2）移项造辅助函数，要证 0))((1)( =−−−′ ηηλη ff ， R∈∀λ ， 考虑辅助函数 ，容易验证))(()( xxfexG x −= −λ ],0[)( ξCxG ∈ ，且在 ),0( ξ 内可导， 且 0)()0( == ξGG 。对 应用罗尔定理，存在)(xG ),0( ξη ∈ 使得 0)( =′ ηG ，即有 0))(()1)(( =−−−′ −− ηηλη λλ feef xx ， 因 ，所以0≠− xe λ 1))(()( =−−′ ηηλη ff 。 例 5-9 已知函数 具有二阶连续导数，)(xf 0)1()0( == ff 。证明当 时，]1,0[∈x })({max 2 1)( ]1,0[ xfxf x ′′≤′ ∈ 。 【证】 ， 将 在]1,0[∈∀a )(xf ax = 处展开为 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 1)( axfaxafafxf −′′+−′+= ξ ，（ξ 在 xa, 之间） 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 5 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 分别令 和 得到 1=x 0=x ( ) ( ) ( ) ( )( )21 12 11)(10 afaafaff −′′+−′+== ξ ， )1,(1 a∈ξ ( ) ( ) ( ) ( )( )222 1)(00 afaafaff ξ′′+−′+== 。 ),0(2 a∈ξ 两式相减并移项整理得到 ( )( ) ( )( )2221 121)( afafaf ξξ ′′−−′′−=′ ， 当 或 时，0=a 1=a ( )12 1)( ξfaf ′′=′ 或 ( )22 1)( ξfaf ′′=′ ，原不等式的等号成立。 当 时，由三角不等式得到 )1,0(∈a ( )( ) ( ) 2221 12 1)( afafaf ξξ ′′+−′′≤′ ， 令 ( ) ( ){ }21 ,max)( ξξξ fff ′′′′=′′ ，其中 )1,0(∈ξ 。 因此 ( ) ( )( ) ( )ξξ faafaf ′′≤+−′′≤′ 2 11 2 1)( 22 })({max 2 1 ]1,0[ xf x ′′≤ ∈ 。 再由a是 上任意一点，所以 ]1,0[ })({max 2 1)( ]1,0[ xfxf x ′′≤′ ∈ 。 极值点与拐点的广义条件定理： )(xf ′ 的极值点极为 的拐点。 )(xf 若 在 某领域内有 阶导数，且 )(xfy = 0x n 0)()()( 0 )1( 00 ===′′=′ − xfxfxf nL ，但 ，则 0)( 0)( ≠xf n (1) 当 时， 为 的极值点，且 时， 为极小值点，而 时， 为极大值点 kn 2= 0x )(xf 0)( 0)2( >xf k 0x 0)( 0 )2( xf k 0)( 0 >Δ xf ，在 两侧取定号， 即 在 处取得极小值。 0x )(xf 0x 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 6 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com (2) 当 12 += kn 时， ( )为曲线)(, 00 xfx )(xfy = 的拐点。 此时 [ ] )()( )!2( )()( 20 2 0 ]12[ 0 kk xx k xxoxx k xfxf −+−′=′ = + 。 )()( )!2( )( )()( 20 2 0 0 )12( 0 kk k xxoxx k xfxfxf −+−=′=′Δ + ，只受 控制，在 两 侧 不变号，因此 在 处取得极值，即 在 处取得拐点。 )( 0 )12( xf k+ 0x )(xf ′ )(xf ′ 0x )(xf 0x 实际上，为考察在 两侧的凸性，我们可发现 0x 0)( )!12( 1 )()!12( )( lim )( )(lim 0 )12( 0 )2( 12 0 00 ≠−=−−==− ′′ + →−→ xfkxxk xf xx xf k k xxkxx L 不 妨 假 设 ，由极限的保序性， 0)( 0)12( >+ xf k )(xf ′′ 在 两侧一定变号，即 在 处取得拐点。 0x )(xf 0x 例 5-10（1）函数 1 2 2 + += − x exxf x )( 的斜渐近线为 22 −= xy 。 例 5-10（2） 函数 )ln()( x exxf 1+= 的渐近线为 e x 1−= 与 e xy 1+= 。 例 5-10（3） x x e exf x x 1sin 1 21)( ++ −= 的水平渐进线为 )(0 −∞→= xy 与 )(1 +∞→−= xy 。 例 5-11 设 在)(xf ),( +∞−∞ 上连续， )(xf ′ 的图形如图，则 ( )。 (A) 有 3 个极小值点，1 个极大值点，1 个拐点。 )(xfy = 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 7 (B) 有 2 个极小值点，2 个极大值点，无拐点。 )(xfy = (C) 有 2 个极小值点，2 个极大值点，1 个拐点。 )(xfy = (D) 有 1 个极小值点，2 个极大值点，1 个拐点。 )(xfy = y’ 0 x 答：C。 例 5-12 设函数 满足 ，试讨论)(xf xxfxf sin2))(()( 2 =′+′′ )(xfy = 在 处是否 可能取得极值或拐点，并说明理由． 0=x 【解】 （方法 1）若 ，则00 ≠′ )(f 0=x 不为 )(xfy = 的极值点. 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 且此时 0)0( ≠′′f ， 所以 亦不为))(,( 00 f )(xfy = 的拐点。 若 ，由00 =′ )(f [ ]2)(sin2)( xfxxf ′−=′′ ，则 00 =′′ )(f ， [ ] 02)0(),()(2cos2)( >=′′′′′⋅′−=′′′ fxfxfxxf ， 必为 的拐点， ))(,( 00 f )(xfy = 因此 不为0=x )(xfy = 的极值点。 （方法 2）若 00 ≠′ )(f ，则 不为0=x )(xfy = 的极值点. 且此时 0)0( ≠′′f ， 所以 不为))(,( 00 f )(xfy = 的拐点。 若 ，由已知等式得 00 =′ )(f [ ]2)(sin2)( xfxxf ′−=′′ 为连续函数，且 00 =′′ )(f 另有 [ ] 02 1 )()(2lim2)(lim2)(lim 0 2 00 >=′′⋅′−=′−=′′ →→→ xfxf x xf x xf xxx ， 因此，由极限保序性得知， 在)(xf ′′ 0=x 两侧变号， 必为))(,( 00 f )(xfy = 的拐点， 且 ，使当0>δ∃ 0<<δ− x 时， 0<′′ )(xf ， 0>′ )(xf ， 而当 时， ，δ<< x0 0>′′ )(xf 0>′ )(xf ，即 在)(xf 0=x 两侧不改变增减性。 因此 不为 的极值点。 0=x )(xfy = （方法 3）反证法：设 为 的极值点，则0=x )(xfy = 00 =′ )(f ，且 00 =′′ )(f ， 并且 [ ] 02)0(),()(2cos2)( >=′′′′′⋅′−=′′′ fxfxfxxf ， ))(,( 00 f 必为 的拐点，与)(xfy = 0=x 为 )(xfy = 的极值点相矛盾。 结论：当 时， 必为00 =′ )(f ))(,( 00 f )(xfy = 的拐点。 当 时， ，0)0( ≠′f 0)0( ≠′′f 0=x 既不为 )(xfy = 的极值点， 也不为 的拐点。 )(xfy = 例 5-13 设 是)(xf [ )+∞,0 上具有二阶导数的非负函数，且 0)( <′′ xf ，证明 上 严格单增。 )(xf [ )+∞,0 【证】反证法。若存在 ，使得 ，则根据 Lagrange 中值定理可知， 存在 ，使得 210 xx <≤ )()( 21 xfxf ≥ 3x 0 )()()( 12 12 3 ≤− −=′ xx xfxfxf 。 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 8 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 任取 ，因为 ，所以3xX > 0)( <′′ xf 0)()( 3 ≤′<′ xfXf 。 从而对任意的 ，再次由 Lagrange 中值定理有 Xx > ))(()())(()()( XxXfXfXxfXfxf −′+<−′+= ξ ， 其中 xX << ξ 。 由此便得 −∞= +∞→ )(lim xf x ,这与 在)(xf [ )+∞,0 上非负矛盾。故结论得证。 例 5-14 设 是 上可导的非线性函数，且)(xf ]1,0[ 1)1(,0)0( == ff ，证明： （1）对任意的 10 << λ ，存在 内的两个不同点 ，使得)1,0( 21, xx )( 21 xfx ′=λ ； （2）对满足 1=+νμ 的任意正数 νμ, ，存在 内的两个不同点)1,0( ηξ , ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1=′⋅′ ′+′ ηξ ημξν ff ff 。 【证】（1）任给 10 << λ ，由于 1)1(,0)0( == ff 且函数 连续，由介值定理， ，使得 )(xf )1,0(1 ∈∃x λ=)( 1xf 。 又因为函数 可导，根据微分中值定理便知，存在)(xf ),0( 12 xx ∈ ，使得 121 )()0()( xxffxf ′=− ，即 )( 21 xfx ′=λ 。 （2）由（1）知，对满足 10 <<ν 的ν 存在 )1,0(0 ∈x 及 ),0( 0x∈ξ 使得 )( 0xf=ν )(0 ξfx ′= ，即 ( ) 0xf =′ ξ ν ；对 )1,0(1 ∈−= νμ ，同样存在 )1,( 0x∈η ，使 得 ( )( )00 1)()1(1 xfxff −′=−=−= ηνμ ，即 ( ) 01 xf −=′ η μ 。 所以 ( ) ( ) 1)1( 00 =−+=′+′ xxff η μ ξ ν ，即 ( ) ( )( ) ( ) 1=′⋅′ ′+′ ηξ ημξν ff ff 。 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 9