半群和线性时滞偏微分方程

半群和线性时滞偏微分方程 丁惠生， 孙国正 （安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 !"#$$$） 摘 要：证明了一类线性时滞偏微分方程的 %&’(解与相应的抽象柯西问题的 %&’(解一一对应，并 且给出了此类线性时滞偏微分方程的 %&’(解存在唯一的充要条件 ) 关键词：%&’(解；抽象柯西问题；平移半群 中图分类号：*#++ 文献标识码：, 文章编号：#$$# - !"".（!$$"）$. - $!/0 - $. ! 引言 时滞偏微分方程一直以来受到广泛关注，其研 究有着重要的理论意义，并且在控制理论和人口问 题等领域有诸多实际应用价值 !本文主要研究下述 抽象时滞方程： （"#） $%（ &）’ ($（ &）)!$&，& ! $ $（$）’ * $$ ’ { + 其中 * " ,，, 是一个 123245空间，(："（ (）# , $ ,是一个稠定闭线性算子，+" -.（［/ #，$］，,）， #% . 0 6，!：1 #，.（［/ #，$］，,）$ ,是一个有界 线性算子，$：［/ #，6）$ ,，$&：［/ #，$］$ , 定义 如下： $&（"）’ $（ & )"），""［/ #，$］! 研究上述方程，首先要选择恰当的空间 !一种 可能性是在空间 2（［/ #，$］，,）上研究，在这种情 形下，"# 的解与相应的半群之间的关系有很好的 研究成果（例如，［!，7849 ) :; ) /］）另一方面，在一些 应用邻域（例如控制理论），选择空间! ’ , 3 -.（［/ #，$］，,）研究更为合适 ! 本文将用半群方法在空间!上研究 "# 与相应 的!上的抽象柯西问题 （ (24） !"（ &）’ #!（ &）， & ! $ !（$）’（ * + { ） 之间的关系，关于 "#与 (24之间的关系，有着很多 的研究 !例如，< ) =2>>8’和 = ) ?523@［0］用 A2>’248 变换的方法证明了 "#的适定性与 (24的适定性等 价（在中立性方程和 , ’ 56 情形下），在［#］中， 1B9C2&) ,和 D&2EE8F2) 7用半群方法证明了 "#的解 与 (24的解一一对应且它们的适定性等价 !本文将 在［#］的基础上，继续研究 "# 的 %&’(解与 (24的 %&’(解之间的关系 ! " 主要结果及证明 定义 ! 我们称 $：［/ #，6］$ , 是 "# 的一 个（古典）解，如果 （&）$ " 2（［/ #，6），,）& 2#（［$，6），,）， （&&）$（ &）" "（ (）且 $&" 1 #，.（［/ #，$］，,）， & ! $， （&&&）对每一个 & ! $，$ 满足 "# ! 定义 " 我们称 $：［/ #，6）$ , 是 "# 的一 个 %&’(解，如果 （&）$ " 2（［$，6），,）， （&&）’ & $ $（ 7）87 " "（ (），且’ & $ $787 " 1 #，.（［/ #，$］，,），& ! $， （&&&）$（ &）’ * ) (’ & $ $（7）87 )!’ & $ $787，&! $ +（ &） &"［/ #，$ { ） ! 我们引进123245空间!’ , 3 -.（［/ #，$］，,） 和算子 # ’ ( ! $ 88  " ， "（#）’ （ * + ）" "（(）3 1#，.（［/ #，$］，,）：+（$）’{ }* ! 下面研究 "#的 %&’(解与#上的抽象柯西问题 （ (24） !"（ &）’ #!（ &）， & ! $ !（$）’（ * + { ） 的 %&’(解之间的关系 ! 收稿日期：!$$. / #$ / .$ 作者简介：丁惠生（#G+G /），男，安徽无为人，硕士研究生；孙国正（#G/! /），男，安徽南陵人，教授，博士 ! 基金项目：安徽省教育厅自然科学基金（!$$. 9:#/0） 第 !+卷 .期 !$ $ "年 G月 安 徽 师 范 大 学 学 报（自然科学版） HIJF32’ IK ,35J& LIF%2’ M3&N8FO&9P（L29JF2’ 74&8348） :I’) !+ LI) . 78> ) ! $ $ " 万方数据 定理 ! 设（ ! "）!!，#：［$ !，"）" %是&’的 一个#$%&解，则 ( )" #（ (） #( )( 是*+,初值为（ !"）的一 个 #$%&解 证明：设 # 是 &’ 的一个 #$%&解，则 # ! +（［’，"），%） （!）对每一个 (# ’，取定 - . (# ’，显然 #! /0（［$ !，-］，%），由平均连续性可得 #(在 (点连续， 从而 ( )" #（ (） #( )( 在［’，"）上连续 1 （(）设 -（ (）是 /0（!，%）上的平移半群，其生 成元是 22! ，对每一个 (#’，取 3! /0（!，%），使 3 )［ * !，(］+ # )［ * !，(］，由于 2 2!$ ( ’ -（ 4）324 + -（ (）3 * 3， 在 /0（!，%） 上 1 两边同时在［ * !，’］上作限制，得 2 2!$ ( ’ #424 5 #( $ "， 在 /0（［$ !，’］，%）上 1 又容易证明$ ( ’ #（ 4） #( )4 24 ! &（!）， ( # ’，所以 !$ ( ’ #（ 4） #( )4 24 5 *$ ( ’ #（ 4）24 6"$ ( ’ #424 2 2!$ ( ’ #4  24 5 #（ (）$ ! #( $( )" 5 #（ (） #( )( $ ( )!" 由（!）、（(）知 ( )" #（ (） #( )( 是 *+, 初值为（ !"）的一 个 #$%&解 1 定理 " 设（ ! "）!!，"：［’，"）"!； ( )" 7（ (） 3（ (( )）是 *+,初值为（ !"）的一个 #$%&解 1设 #：［$ !，"）" % 定义如下： #（ (）5 7（ (）， ( # ’ "（ (）， ( !［$ !，’ { ） 则 #( 5 3（ (），( # ’且 # 是 &’ 的一个 #$%&解 1 证明 由于 # 是 *+, 的一个 #$%&解，故 ( )" 7（ (）在［’，"）上连续，从而 ( )" #（ (）在［’，"）上连 续 1 又 !$ ( ’ #（ 4）24 5 #（ (）$（ ! "），( # ’， 即 *$ ( ’ 7（ 4）24 6"$ ( ’ 3（ 4）24 5 7（ (）$ !， 2 2!$ ( ’ 3（ 4）24 5 3（ (）$ "{ ， ( # ’ 1 而由定理 !的证明可知 #( 也满足 2 2!$ ( ’ #424 5 #( $ "， ( # ’ 1 令#（ (）5 #( $ 3（ (），( # ’，则 2 2!$ ( ’ #（ 4）24 5 #（ (），( # ’ #（ (）（’）5 ’，( # ’ #（’）5      ’ 所以，#（ (）是下述抽象柯西问题 #8（ (）5 * ’ #（ (），( # ’ #（’）5{ ’ （%） 的一个 #$%&解，其中 &（ * ’）5｛" ! 9 !，0（［$ !， ’］，%）："（’）5 ’｝，* ’ " 5 2 2!" 而 * ’ 生成 /0（［$ !，’］，%）上的平移半群，所以由 （%）知 #（ (）5 ’，( # ’，因此 #( 5 3（ (），( # ’，且 #（ (）5 ! 6 *$ ( ’ #（ 4）24 6"$ ( ’ #424，( # ’ "（ (） ，( !［$ !，’ { ） 所以，# 是 &’ 的一个 #$%&解 1 定理 # 下述命题互相等价 （$）任取初值（ ! "）!!，&’存在唯一的 #$%&解； （$$）任取初值（ ! "）!!，*+, 存在唯一的 #$%& 解： （$$$）!生成!上一个 +’ 半群 1 证明 （$）和（$$）的等价性由定理 !和定理 (立 得 1（$$）和（$$$）的等价性参见［,，"推论 - 1!!］1 设$!：!" %；（ ! "）)" ! 1我们不难得到： 推论：设!生成!上一个 +’ 半群（ -（ (））(#’， ( )!" !%，则 &’ 存在唯一的 #$%&解 #，定义如下： #（ (）5 $! ［ -（ (）（ ! "）］， ( # ’ "（ (） ，( !［$ !，’ { ） 且若（ ! "）! &（!），则 #就是&’的一个（古典）解 1 参考文献： ［!］ ./01/$ 2，3$/4456/ 7 8 75#$96:;<= />& %$>5/6 0$/% 5@ A;/0$:>= B$0C &5%/D［$］8 E F/0C 2>/% 2<<%，(’’!，(,-：! * (’ 8 ,,( 安 徽 师 范 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ） (’’-年 万方数据 ［!］ "，# $% &’()*，+,()* -% .’) # /,0,1)2)0 3)14(056/7 850 *4’),0 &95*6245’ &:6,245’ % ;0,<6,2) =)>27 4’ 1,2?)1,24@7［!］% A)0*4’ +)B C50D：3/04’()0 # E)0*,(，!FFF % GHI % ［J］ K,*) $ " % L6’@245’,* <488)0)’24,* ):6,245’7：M//*4)< N,2?)1,24@,* 3@4)’@)7［!］% A)0*4’ +)B C50D：3/04’()0 # E)0*,(，GHOG % ［I］ P)QQ ; L% L6’@245’,* <488)0)’24,* ):6,245’7 ,’< ’5’*4’),0 7)’4R (056/7 4’ S/ # 7/,@)7［"］% $ T488)0)’24,* &:6,245’7，GHOU，!H：OG # VH % ［W］ ",//)* L，X?,’( " % &:649,*)’@) 58 86’@245’,* # <488)0)’24,* ):6,R 245’7 58 ’)620,* 2Y/) ,’< ,Q720,@2 Z,6@?Y /05Q*)17［"］% N5’,27@? 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