流感病毒传播的数学模型及数值模拟

2006 年 6 月 第 20 卷 　第 2 期 阴 山 学 刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Jun. 2006 Vo1. 20 　No. 2 流感病毒传播的数学模型及数值模拟Ξ 赵 国 忠 (包头师范学院 数学科学学院 ,内蒙古 包头 014030) 　　摘 　要 :本文建立了流感病毒传播的数学模型 ,并借助于 MATLAB 对模型方程进行了数值分析 ,得到了在 不同情形下该病毒的传播规律 ,初步探索了控制流感病毒传播的有效方法。 关键词 :数学模型 ;数值计算 ;MATLAB ;流感病毒 中图分类号 :O242 　文献标识码 :A 　文章编号 :1004 - 1869 (2006) 02 - 0008 - 02 1 　数学模型的建立 流感作为一种传染病感染者在被治愈后对该病毒具有 很强的免疫力[1 ] ,因此在建模的过程中作如下的假设 : 11 总人数 N 不变 ,人群分为健康者、病人和病愈免疫的 移出者三类 ,三类人在总人数中占的比例分别为 s(t) ,i (t) 和 r (t) 。 21病人的日接触率为λ,日治愈率为μ,传染期接触人 数为σ = λ/μ. 由假设 1 可得 s(t) + i (t) + r (t) = 1 ,由假设 2 并结合微 元分析法可得 d id t = λsi - μi ,对于病愈免疫的移出者应有 d r d t = μi ,再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 S0 和 i0 , 不妨设病愈免疫的移出者的初始值为 r0 = 0。则这种假设条 件下的流感病毒传播的数学模型为 : d i d t = λsi - μi , 　　i (0) = i0 ds d t = - λsi , 　　s (0) = s0 模型方程是关于 s 和 i 的非线性方程组 ,无法求出 i 和 s 的解析解 ,下文将借助于数值计算来分析它们的变化规律。 2 　数值计算 方程组中的参数λ和μ和流感爆发地的卫生水平和医 疗水平有关 ,初始时刻的健康者和病人的比例和也是固定不 变的 ,下面将讨论它们取不同的值时病人和健康者的变化规 律。在这个过程中我们主要借助于 MATLAB 软件 [2 ,3 ]来讨 论。相应的 MATLAB 程序如下 : 211 　首先建立 M 函数文件 (ill . m) function y = ill (t ,x) a = 1 ;b = 0. 3 ;y = [a 3 x(1) 3 x(2) - b 3 x(1) , - a 3 x(1) 3 x(2) ] ; %a =λ,b =μ, x(1) = s , x(2) = i 212 　在命令窗口执行以下程序 for k = 0 :9 ts = 0 :50 ;x0 = [0. 01 + 0. 01 3 k ,0. 99 - 0. 01 3 k ] ; %通 过循环语句使 s(0)和 i (0)取不同的值 　[ t ,x] = ode45 (’ill’,ts ,x0) ; %适用于非刚性微分方程 中等精度要求的 Matlab 求解函数 　plot (x( : ,2) ,x( : ,1) ) ,grid , %做相轨线图 　plot (t ,x( : ,1) ,t ,x( : ,2) ) ,grid , end 在上述程序中 ,不断的调整参数 a ( =λ) , b ( =μ) 和 k 的 取值 ,从输出的数据及图形不难观察到流感病毒的传播规 律.具体的计算结果见 i～s 图形 (相轨线) ,相轨线方向全部 为逆时针。 图 1 　i～s 图形 8 Ξ 收稿日期 :2005 - 03 - 05 作者简介 :赵国忠 (1977 - ) ,男 ,内蒙古赤峰人 ,理学硕士 ,研究方向 :计算数学。 图 2 　i～s 图形 (相轨线 r (0) = 0. 5 x0 = [0. 01 + 0. 01 3 k ,0. 49 - 0. 01 3 k]) 图 3 　i～s 图形 (相轨线 r (0) = 08 , x0 = [0. 01 + 0. 01 3 k ,0. 19 - 0. 01 3 k]) 213 　计算结果分析 由计算所得数据和图形 (图 1～图 4) 不难看到 ,流感病 毒的传播与初始时刻健康者和病人占总人口的比例以及日 接触率和日治愈率都有关 ,设最终未被感染的健康者的比例 为 S ∞ ,则其传播规律如下 : 11 如果日接触率和日治愈率的比值大于 1时 ,即σ > 1 , 由图 1可知不论初始时刻 S0 和 i0 的大小如何 , s(t) 和 i (t) 都 呈现逐渐下将的趋势 ,其中 i (t) 逐渐下将到 0 ,s(t) 逐渐下将 到大于 0 的数。这明病毒传播最终将被遏制。S ∞与 i0 有 关 , i0 越大 S ∞越小。 图 4 　i ～ s 图形 (相轨线 r(0) = 0. 9 x0 = [0. 01 + 0. 01 3 k ,0. 09 - 0. 01 3 k ]) 21 如果日接触率和日治愈率的比值小于 1时 ,即σ < 1 , 由图 2 可知 s(t) 呈现逐渐下将的趋势 ,而 i (t) 则呈现先上升 然后再下将的趋势 ,这说明在此种情形下 ,流感病毒呈现蔓 延的趋势 ,流感病毒的传播将经历一个高峰期。 31由图 3～图 4可知提高 r0 的初始值 ,也有助于控制流 感病毒的蔓延。r0 越大 ,i (t) 的最大值越小。 214 　结 　论 由上述分析可知 ,制止流感病毒蔓延有两种手段 : 11 提高卫生水平和医疗水平 ,即降低日接触率 ,提高日 治愈率。 21 群体免疫 ,提高移出者比例的初值。 〔参考文献〕 [1 ]姜启源 ,谢金星 ,叶俊. 数学模型 (第三版) [M] . 北京 :高 等教育出版社 ,2003. [2 ]阳明盛 ,熊西文 ,林建华. MATLAB 基础及数学软件 [M] . 大连 :大连理工大学出版社 ,2003. [3 ]傅鹏 ,等. 数学实验[M] . 北京 :科学出版社 ,2000. [4 ]王高雄 ,周之铭 ,等. 常微分方程 (第二版) [M] . 北京 :高 等教育出版社 ,1995. The Mathematic Model For Influenza Virus And Its Numerical Simulation ZHAO Guo - zhong (Faculty of Mathematics , Baotou Teachers College ; Baotou 014030) Abstract : This paper study the mathematic model for the influenza virus. Then we do some numerical simulation about the modeling e2 quation by the MATLAB. At last we find its spread principle in different situation and some efficient ways to control the spreading of the in2 fluenza virus. Key words : mathematic model ; numerical simulation ; MATLAB ; influenza virus 9