对比值sinnx_sinx估计的改进与推广

不等式的 P2Q2R 证法 定理 　设 a , b , c 为非负实数 ,记 P = ∑a3 = a3 + b3 + c3 , Q = ∏a = abc , R = ∑bc ( b + c) = a2 b + ab2 + b2 c + bc2 + c2 a + ca 2 ,则 　2 P ≥P + 3 Q ≥R ≥6 Q. ① 证明 :第一个不等式显然 ;由 abc ≥( b + c - a) ( c + a - b) ( a + b - c) ,展开、整理 ,即得 P + 3 Q ≥R ;应 用几何 —算术均值不等式即得 R ≥6 Q . 有大量不等式 与①等价 ,如 ∑a2 ( b + c - a) ≤3 abc , ∑a ( a - b) ( a - c) ≥0 , ∑a ( a - b - c) 2 ≥3 abc ( a , b , c 为三角形三边) 都等价于 P + 3 Q ≥R ,通过变形 ,知 ∏sin A2 ≤ 1 8 , ∑cos A ≤ 32 , R ≥2 r , ∑ra ≥9 r , ∑sin 2 A 2 ≤ 3 4 等也 是. 例 1 　在 △AB C 中 , a + b + c = 3 ,试证 2 ( ab + bc + ca) ≤3 abc + a2 + b2 + c2 . 证明 :2 ∑bc ≤3 ∏a + ∑a2 Ζ 13 ∑a·2 ∑bc ≤3 ∏a + 1 3 ∑a ∑a 2 Ζ 23 (3 Q + R) ≤3 Q + 13 ( P + R) Ζ R ≤P + 3 Q . 例 2 　设 x 、y、z 为非负实数 ,且 x + y + z = 1 ,求 证 :0 ≤xy + yz + z x - 2 xyz ≤727 . 证明 :首先 , ∑zy - 2 ∏x = ∑x ∑yz - 2 ∏x = 3 Q + R - 2 Q ≥0 ; 其次 , ∑yz - 2 ∏x ≤727 Ζ ∑x·∑yz - 2 ∏x ≤727 ( ∑x) 3 Ζ 3 Q + R - 2 Q ≤727 ( P + 6 Q + 3 R)Ζ 6 R ≤7 P + 15 Q . 由 R ≤P + 3 Q 知 5 R ≤5 P + 15 Q ,与 R ≤2 P 相 加 ,得 6 R ≤7 P + 15 Q . (福建省永春县科委 　孙建斌) 对比值sin nx sin x 估计的改进与推广 据文[1 ]的证明及熟知结果 ,有 n < sin nx sin x < n ( n ∈N , n > 1 ,0 < nx < π 2 ) . 我们作了改进与推广 ,得到 定理 1 　若 0 <α<β< π2 ,则 2 π· β α < sinβ sinα< β α . 定理 2 　若 n ∈N , n > 1 ,0 < nx < π2 ,则 2 n π < sin nx sin x < n. 定理 1 的证明 :应用微分法易证 sinαα > sinβ β ,故右 边的不等式成立. 令 f ( x) = 2π x , g ( x ) = sin x ,则当 0 < x < π 2 时 ,易知 f ( x ) < g ( x ) ,于是 2 π·β< sinβ,从 而sinβ sinβ> 2 π· β α· α sinα> 2 π· β α . 　　证毕. 当 n ≥3 时 , 2π·n > n ,可见定理 2 是[1 ]中结果 的加强 ,而在定理 1 中取α= x ,β= nx 即得定理 2 . 参考文献 1 　方才国. 比值 sin nx sin x 下界估计. 中学教学参考 , 1998 ,12 (浙江省宁波市甬江职高 　邵剑波) 对比值sin nx sin x 下界的改进 定理 　设 n ∈N , n > 2 ,0 < nx < π2 ,则 sin nx sin x > n + 3 n . (1) 证明 : n = 3 时 ,应用 sin3 x = 3sin x - 4sin3 x , 0 < x < π 6 ,从而 0 < sin 2 x < 1 4 ,即知 (1) 成立. 设 n = k 时 , (1) 成立 , sin ( k + 1) x sin x > k + 1 + 3 k + 1 Ζ sin2 ( k + 1) x > ( k + 1 + 3k + 1) sin 2 xΖ sin2 ( k + 1) - sin2 x > ( k + 3k + 1) sin2 xΖ 1 - cos (2 k + 2) x - 1 + cos2 x2 > ( k + 3k + 1) sin2 xΖ sin ( k + 2) x·sin kx > ( k + 3k + 1) sin2 x . 由 0 < nx < π2 知 ,sin ( k + 2) x > sin kx > 0 , 故 sin ( k + 2) x·sin kx > sin2 kx . 由归纳假设 ,则 sin2 kx > ( k + 3k ) sin 2 x > ( k + 3k + 1) sin 2 x . ∴sin ( k + 2) x·sin kx > ( k + 3k + 1) sin 2 x 成立 ,即当 n = k + 1 时结论 (1) 成立. 由于 n + 3 n > n ,故本文结果当 n > 2 时 ,加 强了不等式sin nx sin x > n . (陕西宝鸡县虢镇中学 　高敏) (注 :本栏短文是由中国初等数学研究工作协调组 杨世明老师摘编的初等数学研究的新成果. 凡原文中 摘录较少的 ,当不影响全文发 ,杨老师地址 :天津市 宝坻华苑 1 - 2 - 102 ,邮编 :301800. ) 16中学数学教学参考 　　　1999 年第 11 期