妙求3_cosx_2_sinx_的最小值

金传志 (蚌埠龙湖中学 ) 　　　　　　　　　　　　　卫德彬 (肥西县第五中学 ) 方 　义 (芜湖市鲁港中学 ) 程海霞 (安庆市第八中学 ) 金 　婷 (蚌埠实验学校 ) 贡 　涛 (蚌埠六中 ) 王林园 (蚌埠市曹老集中学 ) 窦江水 (巢湖市四中 ) 宋明彬 (合肥市琥珀中学 ) 方先茂 (太湖县徐桥镇中学 ) 叶 东 (岳西县天堂初中 ) 叶智辉 (马鞍山市安工大附中 ) 崔海燕 (安徽蚌埠三十二中学 ) 黄传锦 (淮北市开渠中学 ) 妙求 3 cosx + 2 sinx的最小值 云南省玉溪第一中学 　武增明　 (邮编 : 653100) 　　问题 　求 3 cosx + 2 sinx　 0 < x < π 2 　的最小值. 文 [ 1 ]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到 解决 ,文 [ 2 ]利用导数也将此问题获解. 经笔者研究发 现 ,此类问题用基本不等式也能很好地解决 ,且相比之 下 ,较文 [ 1 ]和 [ 2 ]似更巧妙、明快、简捷一些 ,给人有 耳目一新的感觉 . 现将此问题的解答过程述如下 . 解 　易知 (3 3) 2 + (3 2) 2 ≥3 2 sinx + 3 3 cosx, ∵　0 < x <π2 , ∴　 3 cosx > 0, 　 2 sinx > 0, 　tanx > 0, 　cotx > 0, ∴　 (3 3) 2 + (3 2) 2 · 3 cosx + 2 sinx ≥ (3 2 sinx + 3 3 cosx) · 3 cosx + 2 sinx = 2 3 2 + 3 3 3 + 3 3 2 tanx + 2 3 3 cotx ≥ (3 4) 2 + (3 9) 2 + 2 3 3 2 tanx·2 3 3 cotx = (3 4) 2 + (3 9) 2 + 2 3 4 ×9 = (3 4 + 3 9) 2 , 即 　 (3 4 + 3 9) 1 2 · 3 cosx + 2 sinx ≥ ( 3 4 + 3 9) 2. 　　∴　 3 cosx + 2 sinx≥ ( 3 4 + 3 9) 3 2 = (3 4 + 3 9) 3. 于是当且仅当 x = arc tan 3 2 3时 , 3 cosx + 2 sinx 0 < x <π2 的最小值为 ( 3 4 + 3 9) 3. 评注 　 (1)此法的关键是乘 (3 3) 2 + (3 2) 2后再 缩小 ;两次缩小不等式要满足一致性原则. (2)此法第一次缩小后也可用柯西不等式求解. 求函数 f ( x) = a cosx + b sinx ab > 0, 0 < x <π2 的最 值问题 ,均可考虑用此法 ,都能很快解决问题. 参考文献 1　刘步松. 一个易错的极值问题和它的一种解 法. 中学数学 , 2004, (2) 2　束云松. 利用导数求 3 cosx + 2 sinx的最小值. 中学 数学 , 2004, (7) (收稿日期 　2006 - 03 - 09) 732006年第 3期 中学数学教学