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开区间内有不可导点的微分中值定理

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开区间内有不可导点的微分中值定理  [收稿日期 ] 2005209213  [基金项目 ] 湘南学院 2005 年教改科研课题 (05 Y026) 第 23 卷第 2 期 大 学 数 学 Vol. 23 , №. 2 2007 年 4 月 COLL EGE MA T H EMA TICS Apr . 2007 开区间内有不可导点的微分中值定理 李  超 (湘南学院数学系 ,湖南郴州 423000)   [摘  要 ] 给出了开区间内有不可导点的微分中值定理. [关键词 ] 开区间 ;不可导点 ;中值定理 [中图分类号 ] O172. 1   [文献标...
开区间内有不可导点的微分中值定理
 [收稿日期 ] 2005209213  [基金项目 ] 湘南学院 2005 年教改科研课题 (05 Y026) 第 23 卷第 2 期 大 学 数 学 Vol. 23 , №. 2 2007 年 4 月 COLL EGE MA T H EMA TICS Apr . 2007 开区间内有不可导点的微分中值定理 李  超 (湘南学院数学系 ,湖南郴州 423000)   [摘  要 ] 给出了开区间内有不可导点的微分中值定理. [关键词 ] 开区间 ;不可导点 ;中值定理 [中图分类号 ] O172. 1   [文献标识码 ] C   [文章编号 ] 167221454 (2007) 0220147204 定理 1  设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点处都连续并存在有穷或无穷的左导数和右导数 ,且 lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) , 则存在ξ∈( a , b) ,使 f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) ≤0 . 证 1) 若 a , b∈R ,且 lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) = A ∈R , 令 F( x) = f ( x) , x ∈( a , b) , A , x ∈{ a , b} , 则 F( x) 在闭区间[ a , b]上连续 ,故据闭区间上连续函数的最大值最小值定理[1 ] , F( x) 必在[ a , b]上取得 最大值 M 和最小值 m . 若 M = m = A ,则任取ξ∈( a , b) ,都有 f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) = 0 . 定理的结论成立. 若 M 与 m 中有一个不等于 A ,不妨设 M ≠A ,且 f (ξ) = M ,则由于 f - ′(ξ) = lim x ϖξ- f ( x) - f (ξ)x -ξ ≥0 ,  f + ′(ξ) = limx ϖξ f ( x) - f (ξ)x -ξ ≤0 , 故有 f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) ≤0 . 2) 若 a = - ∞, b = + ∞, lim x ϖ - ∞f ( x) = limx ϖ + ∞f ( x) = A ∈R , 则当 f ( x) ≡A ( x ∈( - ∞, + ∞) ) 时 ,任取ξ∈( - ∞, + ∞) ,都有 f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) = 0 . 定理的结论成立 ;否则 ,必有 c ∈( - ∞, + ∞) ,使 f ( c) ≠A ,不妨设 f ( c) = B > A . 此时 ,据极限的局部保 序性定理[2 ] ,必有 G > | c| ,使当 x ∈( - ∞, - G) ∪( G, + ∞) 时 ,恒有 f ( x) < A + B2 . 任取 a1 ∈( - ∞, - G) , b1 ∈( G, + ∞) ,则 f ( x) 在[ a1 , b1 ]连续. 于是 , ϖ a2 ∈( a1 , c) , ϖb2 ∈( c , b1 ) ,使得 f ( a2 ) = f ( b2 ) = A + B2 . 故据 1) 知 ,定理的结论成立. 3) 若 a ∈R , b = + ∞, lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ + ∞f ( x) = A ∈R , 则当 f ( x) ≡A ( x ∈( a , + ∞) ) 时 ,任取ξ∈( a , + ∞) ,都有 f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) = 0 . 定理的结论成立. 否则 ,必有 c ∈( a , + ∞) ,使 f ( c) ≠A . 不妨设 f ( c) = B > A ,则据极限的局部保序性定 理 ,存在δ∈(0 , c - a) ,存在 G∈( c , + ∞) ,使 Π x ∈( a , a +δ) ∪( G, + ∞) ,都有 f ( x) < A + B2 . 取 a1 ∈( a , a +δ) , b1 ∈( G, + ∞) ,则 f ( x) 在[ a1 , b1 ]连续 ,从而 ,有 a2 ∈( a1 , c) ,有 b2 ∈( G, + ∞) ,使得 f ( a2 ) = f ( b2 ) = A + B2 . 故据 1) 知 ,定理的结论成立. 类似地 ,可当 a = - ∞, b∈R , lim x ϖ - ∞f ( x) = limx ϖ b - f ( x) = A ∈R 时 ,定理的结论也成立. 4) 若 lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) = + ∞, 任取 c ∈( a , b) ,记λ= f ( c) ,则 ϖ a1 ∈( a , c) , ϖ b1 ∈( c , b) ,使得 f ( a1 ) >λ+ 1 ,  f ( b1 ) >λ+ 1 . 由于 f ( x) 在[ a1 , c]和[ c , b1 ]连续 ,故 ϖ a2 ∈( a1 , c) , ϖ b2 ∈( c , b1 ) ,使得 f ( a2 ) = f ( b2 ) =λ+ 1 . 于是 ,由 1) ,2) ,3) 知 ,定理的结论成立. 类似地可证 ,当 lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) = - ∞ 时 ,定理的结论也成立. 推论  设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点处都存在有穷的左导数和右导数 ,且 lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) , 则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) ≤0 . 证 由于 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点处都存在有穷的左导数和右导数 ,故 f ( x) 在 ( a , b) 内连续[2 ] ,从 而 ,由定理 1 便可推出本推论的结论. 定理 2  设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内连续 ,在 ( a , b) 内的每一点处都存在有穷的或无穷的左导数和右导 数 ,在每一不可导点都存在同号的左导数和右导数 ,且 lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) , 则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = 0 . 证 由定理 1 知 ,必存在ξ∈( a , b) ,使得 f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) ≤0 . 此ξ必非不可导点 ,否则将有 f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) > 0 , 与上式矛盾. 于是有 0 ≥f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) = f′(ξ) ·f′(ξ) ≥0 . 所以 841 大  学  数  学               第 23 卷 f′(ξ) = 0 . 推论 1  设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,在每一不可导点左导数 和右导数都同号 ,且 lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) , 则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = 0 . 证 由于函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,故函数 f ( x) 在 ( a , b) 内连 续 ,从而依据定理 2 , ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = 0 . 由此 ,立即可得下列的推论 2 . 推论 2  设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内可导 ,且 lim x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) , 则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = 0 . 定理 3  设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都连续 ,都存在有穷或无穷的左导数和右导数 , 且 lim x ϖ a + f ( x) = A ,  limx ϖ b + f ( x) = B ,  A , B ∈R . 记 k = B - Ab - a ,则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f - ′(ξ) 和 f + ′(ξ) 既不同时大于 k ,又不同时小于 k. 证 令 F( x) = f ( x) - k x ,  x ∈( a , b) , 则 F( x) 满足定理 1 的条件 ,故 ϖξ∈( a , b) ,使 f - ′(ξ) F+ ′(ξ) = õf - ′(ξ) - k」·õf + ′(ξ) - k」≤0 , 所以 , f - ′(ξ) 和 f + ′(ξ) 既不同时大于 k ,又不同时小于 k. 推论  设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,且 lim x ϖ a + f ( x) = A ,  limx ϖ b + f ( x) = B ,  A , B ∈R . 记 k = B - Ab - a ,则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f - ′(ξ) 和 f + ′(ξ) 既不同时大于 k ,又不同时小于 k. 证 由于 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,故 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都 连续. 从而据定理 3 , ϖξ∈( a , b) ,使得 f - ′(ξ) 和 f + ′(ξ) 既不同时大于 k ,又不同时小于 k. 定理 4  设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都连续 ,都存在有穷或无穷的左导数和右导数 , 且 lim x ϖ a + f ( x) = A ,  limx ϖ b + f ( x) = B ,  A , B ∈R . 记 k = B - Ab - a ,若函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一不可导点左导数和右导数都同大于 k 或同小于 k ,则ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = k. 证明与定理 2 的证明类似. 由此定理立即可推出如下的两个推论. 推论 1  设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,且 lim x ϖ a + f ( x) = A ,  limx ϖ b + f ( x) = B ,  A , B ∈R . 记 k = B - Ab - a ,若函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一不可导点左导数和右导数都同大于 k 或同小于 k ,则ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = k. 推论 2  设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内可导 ,且 lim x ϖ a + f ( x) = A ,  limx ϖ b + f ( x) = B ,  A , B ∈R . 记 k = B - Ab - a ,则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = k. 941第 2 期           李超 :开区间内有不可导点的微分中值定理 定理 5  设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都连续 ,都存在有穷或无穷的左导数和右导数 , 函数 g ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的保持同一符号的非零左导数和右导数 ,且 lim x ϖ a + g ( x) =α≠limx ϖ b - g ( x) =β,  α,β∈R , lim x ϖ a + f ( x) = A ,  limx ϖ b + f ( x) = B ,  A , B ∈R . 记 k = B - Aβ- α ,若在 ( a , b) 内函数 f ( x) 和 g ( x) 的每一不可导点处 , f - ′( x) g - ′( x) 和 f + ′( x) g + ′( x) 都同大于 k 或同小 于 k ,则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ)g′(ξ) = k. 证 令 F( x) = f ( x) - A - k[ g ( x) - α] , 则 F( x) 在 ( a , b) 满足定理 1 的条件 ,故存在ξ∈( a , b) ,使得 F - ′(ξ) ·F+ ′(ξ) = õf - ′(ξ) - k g - ′(ξ) 」·õf + ′(ξ) - k g + ′(ξ) 」≤0 . 于是 f - ′(ξ) - k g - ′(ξ) ≥0 , f + ′(ξ) - k g + ′(ξ) ≤0 ; (1) 或 f - ′(ξ) - k g - ′(ξ) ≤0 , f + ′(ξ) - k g + ′(ξ) ≥0 . (2) 若 g - ′(ξ) 和 g + ′(ξ) 同为正 ,则由 (1) 得 f - ′(ξ) g - ′(ξ) ≥k ≥ f + ′(ξ) g + ′(ξ) , (3) 由 (2) 得 f - ′(ξ) g - ′(ξ) ≤k ≤ f + ′(ξ) g + ′(ξ) . (4) 若 g - ′(ξ) 和 g + ′(ξ) 同为负 ,则由 (1) 得 (4) ,由 (2) 得 (3) . 于是 ,由本定理的条件知 ,此ξ必非 f ( x) 和 g ( x) 的不可导点 ,所以 ,必有 f′(ξ) g′(ξ) = k. [参  考  文  献 ] [1 ]  华东师范大学数学系. 数学 (第三版) [ M ]. 北京 :高等教育出版社 ,2002. [2 ]  菲赫金哥尔茨. 微积分学教程 (修订本) [ M ] . 叶彦谦 ,等译. 北京 :人民教育出版社 ,1959. Mean2Value Theorems in Open2Interval with Non2Differentiable Points L I Chao (Department of Mathematics , Xiangnan University , Chenzhou , Hunan 423000 , China) Abstract : Give a set of mean2value theorem in open2interval with non2differentiable point s. Key words : open2interval ; non2differentiable point s ; mean2value theorem 051 大  学  数  学               第 23 卷
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