[收稿日期 ] 2005209213
[基金项目 ] 湘南学院 2005 年教改科研课题 (05 Y026)
第 23 卷第 2 期 大 学 数 学 Vol. 23 , №. 2
2007 年 4 月 COLL EGE MA T H EMA TICS Apr . 2007
开区间内有不可导点的微分中值定理
李 超
(湘南学院数学系 ,湖南郴州 423000)
[摘 要 ] 给出了开区间内有不可导点的微分中值定理.
[关键词 ] 开区间 ;不可导点 ;中值定理
[中图分类号 ] O172. 1 [文献标识码 ] C [文章编号 ] 167221454 (2007) 0220147204
定理 1 设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点处都连续并存在有穷或无穷的左导数和右导数 ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) ,
则存在ξ∈( a , b) ,使
f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) ≤0 .
证 1) 若 a , b∈R ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) = A ∈R ,
令
F( x) = f
( x) , x ∈( a , b) ,
A , x ∈{ a , b} ,
则 F( x) 在闭区间[ a , b]上连续 ,故据闭区间上连续函数的最大值最小值定理[1 ] , F( x) 必在[ a , b]上取得
最大值 M 和最小值 m . 若 M = m = A ,则任取ξ∈( a , b) ,都有
f
-
′(ξ) ·f + ′(ξ) = 0 .
定理的结论成立. 若 M 与 m 中有一个不等于 A ,不妨设 M ≠A ,且 f (ξ) = M ,则由于
f
-
′(ξ) = lim
x ϖξ- f ( x) - f (ξ)x -ξ ≥0 , f + ′(ξ) = limx ϖξ f ( x) - f (ξ)x -ξ ≤0 ,
故有
f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) ≤0 .
2) 若 a = - ∞, b = + ∞,
lim
x ϖ - ∞f ( x) = limx ϖ + ∞f ( x) = A ∈R ,
则当 f ( x) ≡A ( x ∈( - ∞, + ∞) ) 时 ,任取ξ∈( - ∞, + ∞) ,都有
f
-
′(ξ) ·f + ′(ξ) = 0 .
定理的结论成立 ;否则 ,必有 c ∈( - ∞, + ∞) ,使 f ( c) ≠A ,不妨设 f ( c) = B > A . 此时 ,据极限的局部保
序性定理[2 ] ,必有 G > | c| ,使当 x ∈( - ∞, - G) ∪( G, + ∞) 时 ,恒有
f ( x) < A + B2 .
任取 a1 ∈( - ∞, - G) , b1 ∈( G, + ∞) ,则 f ( x) 在[ a1 , b1 ]连续. 于是 , ϖ a2 ∈( a1 , c) , ϖb2 ∈( c , b1 ) ,使得
f ( a2 ) = f ( b2 ) = A + B2 .
故据 1) 知 ,定理的结论成立.
3) 若 a ∈R , b = + ∞,
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ + ∞f ( x) = A ∈R ,
则当 f ( x) ≡A ( x ∈( a , + ∞) ) 时 ,任取ξ∈( a , + ∞) ,都有
f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) = 0 .
定理的结论成立. 否则 ,必有 c ∈( a , + ∞) ,使 f ( c) ≠A . 不妨设 f ( c) = B > A ,则据极限的局部保序性定
理 ,存在δ∈(0 , c - a) ,存在 G∈( c , + ∞) ,使 Π x ∈( a , a +δ) ∪( G, + ∞) ,都有
f ( x) < A + B2 .
取 a1 ∈( a , a +δ) , b1 ∈( G, + ∞) ,则 f ( x) 在[ a1 , b1 ]连续 ,从而 ,有 a2 ∈( a1 , c) ,有 b2 ∈( G, + ∞) ,使得
f ( a2 ) = f ( b2 ) = A + B2 .
故据 1) 知 ,定理的结论成立.
类似地 ,可
当 a = - ∞, b∈R ,
lim
x ϖ - ∞f ( x) = limx ϖ b - f ( x) = A ∈R
时 ,定理的结论也成立.
4) 若
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) = + ∞,
任取 c ∈( a , b) ,记λ= f ( c) ,则 ϖ a1 ∈( a , c) , ϖ b1 ∈( c , b) ,使得
f ( a1 ) >λ+ 1 , f ( b1 ) >λ+ 1 .
由于 f ( x) 在[ a1 , c]和[ c , b1 ]连续 ,故 ϖ a2 ∈( a1 , c) , ϖ b2 ∈( c , b1 ) ,使得
f ( a2 ) = f ( b2 ) =λ+ 1 .
于是 ,由 1) ,2) ,3) 知 ,定理的结论成立.
类似地可证 ,当
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) = - ∞
时 ,定理的结论也成立.
推论 设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点处都存在有穷的左导数和右导数 ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) ,
则 ϖξ∈( a , b) ,使得
f
-
′(ξ) ·f + ′(ξ) ≤0 .
证 由于 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点处都存在有穷的左导数和右导数 ,故 f ( x) 在 ( a , b) 内连续[2 ] ,从
而 ,由定理 1 便可推出本推论的结论.
定理 2 设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内连续 ,在 ( a , b) 内的每一点处都存在有穷的或无穷的左导数和右导
数 ,在每一不可导点都存在同号的左导数和右导数 ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) ,
则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = 0 .
证 由定理 1 知 ,必存在ξ∈( a , b) ,使得
f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) ≤0 .
此ξ必非不可导点 ,否则将有
f - ′(ξ) ·f + ′(ξ) > 0 ,
与上式矛盾. 于是有
0 ≥f
-
′(ξ) ·f + ′(ξ) = f′(ξ) ·f′(ξ) ≥0 .
所以
841 大 学 数 学 第 23 卷
f′(ξ) = 0 .
推论 1 设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,在每一不可导点左导数
和右导数都同号 ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) ,
则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = 0 .
证 由于函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,故函数 f ( x) 在 ( a , b) 内连
续 ,从而依据定理 2 , ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = 0 .
由此 ,立即可得下列的推论 2 .
推论 2 设函数 f ( x) 在 ( a , b) 内可导 ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = limx ϖ b - f ( x) ,
则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = 0 .
定理 3 设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都连续 ,都存在有穷或无穷的左导数和右导数 ,
且
lim
x ϖ a + f ( x) = A , limx ϖ b + f ( x) = B , A , B ∈R .
记 k = B - Ab - a ,则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f - ′(ξ) 和 f + ′(ξ) 既不同时大于 k ,又不同时小于 k.
证 令
F( x) = f ( x) - k x , x ∈( a , b) ,
则 F( x) 满足定理 1 的条件 ,故 ϖξ∈( a , b) ,使
f - ′(ξ) F+ ′(ξ) = õf - ′(ξ) - k」·õf + ′(ξ) - k」≤0 ,
所以 , f - ′(ξ) 和 f + ′(ξ) 既不同时大于 k ,又不同时小于 k.
推论 设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = A , limx ϖ b + f ( x) = B , A , B ∈R .
记 k = B - Ab - a ,则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f - ′(ξ) 和 f + ′(ξ) 既不同时大于 k ,又不同时小于 k.
证 由于 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,故 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都
连续. 从而据定理 3 , ϖξ∈( a , b) ,使得 f - ′(ξ) 和 f + ′(ξ) 既不同时大于 k ,又不同时小于 k.
定理 4 设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都连续 ,都存在有穷或无穷的左导数和右导数 ,
且
lim
x ϖ a + f ( x) = A , limx ϖ b + f ( x) = B , A , B ∈R .
记 k = B - Ab - a ,若函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一不可导点左导数和右导数都同大于 k 或同小于 k ,则ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = k.
证明与定理 2 的证明类似.
由此定理立即可推出如下的两个推论.
推论 1 设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的左导数和右导数 ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = A , limx ϖ b + f ( x) = B , A , B ∈R .
记 k = B - Ab - a ,若函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一不可导点左导数和右导数都同大于 k 或同小于 k ,则ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = k.
推论 2 设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内可导 ,且
lim
x ϖ a + f ( x) = A , limx ϖ b + f ( x) = B , A , B ∈R .
记 k = B - Ab - a ,则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ) = k.
941第 2 期 李超 :开区间内有不可导点的微分中值定理
定理 5 设 a , b∈R ,函数 f ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都连续 ,都存在有穷或无穷的左导数和右导数 ,
函数 g ( x) 在 ( a , b) 内的每一点都存在有穷的保持同一符号的非零左导数和右导数 ,且
lim
x ϖ a + g ( x) =α≠limx ϖ b - g ( x) =β, α,β∈R ,
lim
x ϖ a + f ( x) = A , limx ϖ b + f ( x) = B , A , B ∈R .
记 k = B - Aβ- α ,若在 ( a , b) 内函数 f ( x) 和 g ( x) 的每一不可导点处 ,
f
-
′( x)
g
-
′( x) 和
f + ′( x)
g + ′( x) 都同大于 k 或同小
于 k ,则 ϖξ∈( a , b) ,使得 f′(ξ)g′(ξ) = k.
证 令
F( x) = f ( x) - A - k[ g ( x) - α] ,
则 F( x) 在 ( a , b) 满足定理 1 的条件 ,故存在ξ∈( a , b) ,使得
F - ′(ξ) ·F+ ′(ξ) = õf - ′(ξ) - k g - ′(ξ) 」·õf + ′(ξ) - k g + ′(ξ) 」≤0 .
于是
f - ′(ξ) - k g - ′(ξ) ≥0 ,
f + ′(ξ) - k g + ′(ξ) ≤0 ;
(1)
或
f - ′(ξ) - k g - ′(ξ) ≤0 ,
f + ′(ξ) - k g + ′(ξ) ≥0 .
(2)
若 g
-
′(ξ) 和 g + ′(ξ) 同为正 ,则由 (1) 得
f
-
′(ξ)
g - ′(ξ) ≥k ≥
f + ′(ξ)
g + ′(ξ) , (3)
由 (2) 得
f
-
′(ξ)
g
-
′(ξ) ≤k ≤
f + ′(ξ)
g + ′(ξ) . (4)
若 g - ′(ξ) 和 g + ′(ξ) 同为负 ,则由 (1) 得 (4) ,由 (2) 得 (3) . 于是 ,由本定理的条件知 ,此ξ必非 f ( x) 和
g ( x) 的不可导点 ,所以 ,必有
f′(ξ)
g′(ξ) = k.
[参 考 文 献 ]
[1 ] 华东师范大学数学系. 数学
(第三版) [ M ]. 北京 :高等教育出版社 ,2002.
[2 ] 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程 (修订本) [ M ] . 叶彦谦 ,等译. 北京 :人民教育出版社 ,1959.
Mean2Value Theorems in Open2Interval with Non2Differentiable Points
L I Chao
(Department of Mathematics , Xiangnan University , Chenzhou , Hunan 423000 , China)
Abstract : Give a set of mean2value theorem in open2interval with non2differentiable point s.
Key words : open2interval ; non2differentiable point s ; mean2value theorem
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