2010年考研数学水木艾迪强化班概率讲义——

水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 2009 年暑期数学强化班讲稿（概率统计） 内容与题号 题数 内容与题号 题数 第一 概率论的基本概念 15+8 第二 随机变量及其分布 14+7 第三 随机向量及分布 16+12 第四 随机变量的数字特征 19+6 第五 极限定理 9+1 第六 样本与抽样分布 8+3 第七 参数估计与检验 14+5 共 95+42 第 1章 概率论的基本概念 本章内容： 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概 率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 要求： 1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关 系及运算． 2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几 何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝 叶斯(Bayes)公式． 3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试 验的概念，掌握计算有关事件概率的． 一．填空题 例 1.1 某城市居民中订阅 A报的有 45%，同时订阅 A报及 B报的有 10%， 同时订阅 A报及 C报的有 8%，同时订阅 A，B，C报的有 3%，则“只订阅 A 报”的事件发生的概率= 刘坤林 谭泽光 编 1 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 【0.3】 例 1.2 设随机变量 X,Y均服从正态分布 , 若概率),0( 2σN 3 1)0,0( =>≤ YXP ，则 )0,0( <> YXP = 【 3 1】 例 1.3（230）两人相约于晚 7点到 8点间在某处会面，到达者等足 20分钟 后便立即离去, 求两人能会面的概率 p =_______ 【 5/9】 （类似题补充） 在区间（0，1）中随机的取两个数，则这两个数之差的绝 对值小于 2 1的概率为______。 【 3/4】 例 1.4（231）设某类元件的可靠度（即元件能正常工作的概率）均为 r ∈(0,1), 且各元件能否正常工作是相互独立的. 现在将2n个元件组成下面图示的两种 系统，则系统 a的可靠度 =_______ , 系统 b的可靠度 =_______ . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n 图 1.1 两种系统图 系统 b 系统 a 【 , 】 )2( nn rr − nn rr )2( − 二．选择题 例 1.5（类似 232）下列命题中不成立的是 ( ). (A) =∪∪∪∪ )})()()({( BABABABAP 0; (B) 1}{ =∪∪∪ BABABAABP ; (C) )()( CBAPBCAP =∪ ; (D) )()()( BPBAPBAP −∪= . 【 C 】 例 1.6 设事件 A, B同时发生时, 事件 C一定发生, 则 （A） 1)()()( −+≤ BPAPCP （B） 1)()()( −+≥ BPAPCP （C） )()( ABPCP = （D） )()( BAPCP U= 【B】 刘坤林 谭泽光 编 2 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 例 1.7（233）设 ( ) ( ) ( ) 3 2, 4 1|| === APABPBAP . 则（ ） 【 C 】 （A）A与 B 独立, 且 = 5/12; （B）A与 B 独立, 且 P(A) = P(B) ; ( BAP ∪ ) （C）A 与 B 不独立 , 且 ( )BAP ∪ = 7/12 ;（D）A 与 B 不独立 , 且 ( ) ( )BAPBAP || = . 例 1.8（234）对于任意二事件 A和 , ( ) B (A) 若 , 则 一定独立. (B) 若0/≠AB BA, 0/≠AB , 则 有可能独立. BA, (C) 若 , 则 一定独立. (D) 若0/=AB BA, 0/=AB , 则 一定不独立. BA, 【 B 】 例 1.9（235* ）设三个事件 3,2,1, =iAi 两两独立, 3,2,1, 1 1 = ⎩⎨ ⎧ −= i A X ii 反之 发生如果 则下列命题一定成立的是 ( )。 (A) ; (B) 独立; 独立与 321 AAA 2/)1(2/)1( 31 −+ XX 与 (C) A1 A2与A1A3独立; (D) 独立。 【 B 】 321 XXX 与+ 注：与例 1.9类似的例题:  设 是三个相互独立的随机事件, 且CBA ,, 1)(0 << CP 。 则在下列给定的四 对事件中不相互独立的是 ( ) (A) BA ∪ 与C ; (B) AC与C ; (C) BA − 与C ; (D) AB与C。 【 B 】  将一枚硬币独立地掷两次: { }掷第一次出现正面=1A , 刘坤林 谭泽光 编 3 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 { }掷第二次出现正面=2A , { }正、反面各出现一次=3A , { }正面出现两次=4A , 则事 件( ) (A) 。 (B) 。 相互独立321 ,, AAA 相互独立432 ,, AAA (C) 两两独立。 (D) 。 【 C 】 321 ,, AAA 两两独立432 ,, AAA 三．解答题 例 1.10(236-1) 设 A, B是任意二事件, 其中 A的概率不等于 0和 1, 证明: ( ) ( )ABPABP = 是事件 A与 B独立的充分必要条件。 例 1.11(237 (Pólya模型) ) 于有 r个红球、b个黑球的袋中随机取一球，记下 颜色后放回，并加进 c个同色球。 如此共取 n次。 问第 n次取出红球的概率 。 【r/( r +b)】 pn 例 1.12（238-1） 设某公司集成的系统产品中有一种设备从三个厂进货，所 进货堆放一处. 但查记录和资料，三个厂进货的比例为一厂的占 30％，二厂的 占 50％，三厂的占 20％，且它们的次品率分别为 2％、1％和 1％. (1) 求从这批进货中任取一件设备作检验是次品的概率. (2) 已知从这批进货中任取一件设备作检验是次品的条件下，求此次品来自 一厂的概率. 【 (1) 0.013 (2) 0.4615.】 例 1.13（238） 设有来自三个地区的各 10名、15名和 25名考生的报名， 其中女生的报名表分别为 3份、7份和 5份，随机地取一个地区的报名表，从中 先后抽出两份。 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 ； p (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的是女生表的概率 。 q 【 (1)29/90 (2)20/61】 例 1.14从数 1,2,3,4中任取一个数，记为 X, 再从 中任取一个数， 记为 Y, 求 X,,2,1 L }2{ =YP 刘坤林 谭泽光 编 4 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 【13/48】 例 1.15从集 },,2,1{ NL 中任意相继不放回地取出两个数 ，求 【1/2】 21, XX )( 12 XXP > 近四年相关全国考题 1.（2006）（几何概型）设随机变量 X Y与 相互独立，且均服从区间[ ]0,3 上的均匀分布， 则 { }{ }max , 1P X Y ≤ = . 【1/9】 2.（2007）（几何概型）在区间（0，1）中随机的取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 2 1 的概率为______。 【3/4】 3.（2007）（负二项分布）某人向统一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为：( ) 。 )10( << pp (A) (B) 2)1(3 pp − 2)1(6 pp − (C) (D) 【C】 22 )1(3 pp − 22 )1(6 pp − 4.（2005）（全概率公式）从数 1,2,3,4中任取一个数，记为 X, 再从 中任取一个 数，记为 Y, 则 = X,,2,1 L }2{ =YP . 【13/48】 5.（2006）（加法公式）设 ,A B为随机事件，且 ，则必有 ( ) 0, ( | ) 1P B P A B> = ) ) ) ) (A) (B) ( ) (P A B P A∪ > ( ) (P A B P B∪ > (C) (D) 【C】 ( ) (P A B P A∪ = ( ) (P A B P B∪ = 刘坤林 谭泽光 编 5 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 第 2章 随机变量及其分布 本章内容： 随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 要求： 1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联 系的事件的概率． 2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0－1分布、二项分布 、几 何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用． 3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布. 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数 分布及其应用. 5．会求随机变量函数的分布． 一．填空题 例 2.1（240）设随机变量 X的概率密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈ ∈ = ,0 ]6,3[9/2 ]1,0[3/1 )( 其它 若 若 x x xf 若 k使得 , 则 k的取值范围是_________. 【 区间 [1, 3]】 3/2)( =≥ kXP 例 2.2（241）将 3 个球逐个随机放入 4 个分别编号为 1、2、3 和 4 的盒 子 . 令 X 是“有球盒子的最小号码”，则 )3( =XP = , X 的数学期望 EX= . 【 7/64; 25/16】 例 2.3 若随机变量 X 服从正态分布 ，且二次方程)0)(,( 2 >σσµN 刘坤林 谭泽光 编 6 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 042 =++ Xyy 无实根的概率是 2 1，则 =µ . 【4】 二．选择题 例 2.4（243） 设 的分布函数和密度函数分别为FiX i (x)和 fi (x), i=1,2. 则 下列结论哪些一定成立? (A) F1 (x) + F2 (x) 是分布函数; (B) F1 (x) F2 (x) 是分布函数; (C) f1 (x) +f2 (x) 是密度函数; (D) f1 (x) f2 (x) 是密度函数 . 【B】 （类似题 243-1）设 是 的分布函数 , i=1,2, 为使 是分布函数 , 下列给定各组数值中应取 ( ) )(xFi iX )()()( 21 xbFxaFxF −= (A) . (B) 5/2,5/3 −== ba 3/2,3/2 == ba . (C) . (D) 2/3,2/1 =−= ba 2/3,2/1 −== ba . 【A】 例 2.5 设函数 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <≤ < = 11 10 2 00 )( x xx x xF ，则 )(xF （A）是随机变量的分布函数 （B）不是随机变量的分布函数 （C）是离散型随机变量的分布函数 （D）是连续型随机变量的分布函数 【A】 例 2.6 （244） 设两个随机变量 和 相互独立且同分布: X Y { }=−= 1XP { } 2 11 =−=YP , { } { } 2 111 ==== YPXP , 则下列各式中成立的是 ( ) (A) { } 2 1== YXP ; (B) { } 1== YXP ; (C) { } 4 10 ==+ YXP ; (D) { } 4 11 ==XYP . 【 A 】 例 2.7 设随机变量 X 服从正态分布 21 1( , )N µ σ ， 服从正态分布Y 22 2( , )N µ σ ，且 刘坤林 谭泽光 编 7 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 { } { }1 21 1P X P Yµ µ− < > − < 则必有 (A) 1 2σ σ< (B) 1 2σ σ> (C) 1 2µ µ< (D) 1 2µ µ> 【 A 】 三．解答题 例 28 已知 100件产品中有 10件正品，每次使用正品时肯定不会发生故障， 而在每次使用非正品时，均有 0.1的可能性发生故障，现从这 100件产品中随机 抽取一件，若使用了 n次均未发生故障，问 n为多大时，才能有 70%的把握认 为所取得的产品为正品。 【29】 例 2.9（247）大批产品，其次品率为 p，采取下列方法抽样检查：抽样直至 抽到一个次品时为止，或一直抽到 10个产品时就停止检查. 设 X为停止检查时 抽样的个数. 求 X的分布列. 【 ， 】 9....,,2,1,)( 1 === − kpqkXP k 9109)10( qqpqXP =+== 例 2.10（247-1）设 为 iid, ~ 0-1分布（即贝努利分布），参数为 p. 试对固定正整数 k≤ n， 求如下概率： X X, ,L1 n k )P X ii n( )==∑ 1 、 及 P( min{n: P X k Xi nin( ,= ==∑ 11 )},2,1,0 knX n ==≠ K . 【 .C 】 1,, 111 pqpqqpCqp kknkknknkkn −=−−−−− 其中和 （类似题 243-1）某人向统一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概 率为 ，求此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率。 【 】 )10( << pp 22 )1(3 pp − 例 2.11（248* ）假设随机变量 的绝对值不大于 1; X { } 8 11 =−=XP , 刘坤林 谭泽光 编 8 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 { } 4 11 ==XP ; 在事件 出现的条件下, 在{ 11 <<− x } X )1,1(− 内的任意子区间上取值 的条件概率与该子区间长度成正比. 试求: (1) 的分布函数 ; (2) 取负值的概率 . X )(xF X p 【(1) (2) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <≤−+ −< = .1,1 ,11,16/)75( ,1,0 )( x xx x xF 16 7)0( =−= − yIeyF yY （2）证明对任意的实数 ，均有0,0 >> ba )()|( bYPaYbaYP ≥=≥+≥ . 例2.13（248-1） 设X的pdf为 )( 3 1)( ]8,1[3 2 xI x xf = , 是X的df . 求 的 df . )(xF )(XFY = 【 】 )1,0(~)( UXFX （类似题 252）在单位圆周上随机取一点 D, 求点 D横坐标 X的分布函数 = )(xFX , 当 |x| < 1时. 【 ππ /)arccos( x− 】 例 2.14 假设一设备开机后无故障工作的时间 X服从指数分布,平均无故障 工作的时间(EX)为 5 小时, 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而无故障的 情况下工作 2小时便关机, (1)试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y的分布 函数 ，(2) 求)(yFY YeZ = 的分布函数，并判断 Z是否为连续型随机变量. 刘坤林 谭泽光 编 9 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 【 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥ <≤− < = − 21 201 00 )( 5 y ye y yF y Y ， ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <≤− < = − 2 25 ln 1 11 10 )( ez eze z zF z Z 】 （类似题 245）设随机变量 服从指数分布, 则随机变量 的分 布函数 ( ) X { 2,min XY = } (A) 是连续函数; (B) 至少由两个间断点; (C) 是阶梯函数; (D) 恰好有一个间断点. 【 D 】 近四年相关全国考题 1.（2006）（正态分布标准化）设随机变量 X 服从正态分布 21 1( , )N µ σ ，Y 服从正态分布 2 2 2( , )N µ σ ，且 { } { }1 21 1P X P Yµ− < > − <µ 2 ，则必有 (B) 1σ σ< (B) 1 2σ σ> (C) 1 2µ µ< (D) 1 2µ µ> 【 A 】 2.（2008）（Poisson分布与数字特征）设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布， 则 P{ }2EXX = = . 【 2 1−e 】 3.（2006）（随机变量函数分布，二维分布函数）设随机变量 X 的概率密度为 ( ) 1 , 1 0 2 1 ,0 2 4 0, X x f x x ⎧ − < <⎪⎪⎪= ≤ <⎨⎪⎪⎪⎩ 　其他 ， 令 为二维随机变量(2 , ,Y X F x y= ) ( , )X Y 的分布函数. (Ⅰ) 求Y 的概率密度 ( )Yf y 刘坤林 谭泽光 编 10 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 (Ⅱ) 1 , 4 2 F ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ . 【 3 ,0 1 8 1( ) ( ) ,1 4 8 0, Y Y y y f y F y y y ⎧ < <⎪⎪⎪⎪′= = ≤⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 其他 ≤ ； 1/4】 第 3章 随机向量及其分布 本章内容 多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分 布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的 独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简 单函数的分布 要求 1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二 维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变 量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率． 2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意 义． 4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的 分布. 一．填空题 例 3.1（250）（独立和的分布）设 X、Y为 iid，且 X ~ Ex(1)，则当 z >0时 Z=X+Y的密度函数 = )(zf Z 。 【 】 zze − 刘坤林 谭泽光 编 11 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 （类似题 250-1）如果 X、Y为 iid ~ ，试求 。 【 。】 U ( , )0 1 )(zf Z ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <≤− << =+ 其余0 212 10 )( zz zz zf YX （类似题）设随机变量 X与 Y相互独立， ，且),3(~),,2(~ pBYpBX 9 5)1( =≥XP ，则 = )1( =+ YXP . 【 80/243 】 例 3.2 设 X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 ， 则 的分布函数 ＝ )(),( yFxF YX 1),min( －YXZ = )(zFZ . 【 】 )]1(1)][1(1[1 +−+−− zFzF YX 例 3.3设二维随机变量 的概率密度为 ),( YX ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤= 其它0 106 ),( yxx yxf ， 则 = )1( ≤+ YXP . 【 1/4 】 二．选择题 例 3.4（253）于只有 3个红球 4个黑球的袋中按有放回（每次抽取记下颜色 后将球放回）和不放回（每次抽取记下颜色后此球不放回）两种方式，逐次随 机取一球，令 X i = , i =1, 2,…. ⎩⎨ ⎧ 次取出黑球如第 次取出红球如第 i i 0 1 则 （ ） 刘坤林 谭泽光 编 12 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 (A) 有放回时， 和 同分布，但 和 不独立； 1X 2X 1X 2X (B) 不放回时， 和 同分布，且 和 不独立； 1X 2X 1X 2X (C) 不放回时， 和 不同分布，但是 和 独立； 1X 2X 1X 2X (D) 不放回时， 和 不同分布，且也 和 不独立； 【 B】 1X 2X 1X 2X 例 3.5（254）二元函数 不是二元分布函数， 因为 （ ）. ⎩⎨ ⎧ <+ ≥+= 120 121 ),( yx yx yxF (A) F (x,y) 不可导，因此没有概率密度函数； (B) F (x,y) 不是对每一变元为右连续的； (C) 对每一固定的实数 y，都有 . 0),(lim =∞→ yxFx (D) 对任意的 ，不是都有 x x y y1 2 1< <, 2 F( )− F( )− F( )+ F( ) ≥ 0. 【 D 】 22 , yx 12 , yx 21, yx 11, yx （类似题） 设 ，试判定 能否作为二维随机变 量的分布函数。 【不 能】 ⎩⎨ ⎧ −<+ −≥+= 10 11 ),( yx yx yxF ),( yxF 例 3.6 设随机变量 X,Y相互独立均服从正态分布 )4,1(N , 若概率 2 1)1( =<− bYaXP ,则 (A) (B) 1,2 == ba 2,1 == ba (C) (D) 1,2 =−= ba 2,1 −== ba 【A】 刘坤林 谭泽光 编 13 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 例 3.7（255）已知随机变量 和 的概率分布 1X 2X ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 4 1 2 1 4 11 101 ~X ， ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2 12 10 ~X ， 而且 则 （ ） .1)0( 21 ==XXP (A) 和 相互独立，1X 2X )0,1( 21 =−= XXP =1/4. (B) 和 不独立, 1X 2X 1)0|1( 21 ==−= XXP (C) 和 相互独立，1X 2X )1,0( 21 == XXP =1/4. (D) 和 不独立，1X 2X )1,0( 21 == XXP =1/2. 【 D】 例 3.8（255-1） 设二维随机变量 的概率分布为 ),( YX Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 }0{ =X 与{ 相互独立，则 }1=+ YX (A) ， . (B) 2.0=a 3.0=b 4.0=a , 1.0=b (C) , . (D) 3.0=a 2.0=b 1.0=a , 4.0=b . 【 B 】 三．解答题 例 3.9（256）（随机变量的线性函数的分布） 设 X是随机变量，Y是其线 性函数。 （1）设 X ~ P(λ)，求 Y = 2X−1的分布。 【（1）P(Y=2k−1) = λ λk k e! − , k ∈ Z + :={0,1,2, ...}】 （2）设 求 Y =,~ )1,0(UX 22 +− Χ 的密度函数。 【（2） )2,0()( 21 IyfY = 】 （3） 设 X ~ Ex(λ), 即有参数为λ的指数分布，求 Y = aX+b, a ≠0, 和 Z＝ 刘坤林 谭泽光 编 14 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 min{X, 3}的分布。【（3） .0 }/)(exp{)( || by byabyyf aY ≤ > ⎩⎨ ⎧ −= －λλ 。】 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < <≤− ≥ = − 00 301 31 )( z ze z zF zZ λ 例 3.10（257）设有 n个袋子, 各装红球 r只, 黑球 h只及白球 w只. 今从第 1 个袋子随机取一球, 放入第 2个袋子, 再从第 2个袋子再随机取一球, 放入第 3个 袋子, 如此继续. 令 ⎩⎨ ⎧ ==⎩⎨ ⎧= nkkWkR kk ...,2,1.,0 ,,1,.,0 ,1 反之 次取出白球当第 反之 次取出红球当第 试求 (1). (R1, W1 ) 的分布; (2). P(W1=1| R2 =1). 【(1). p00 =b/(r+b+w), p11= 0, p01 =w/(r+b+w), p10=r/(r+b+w). (2). w/(r+b+w ＋1) 】 例 3.11（249）假设随机变量Y服从参数为 1=λ 的指数分布, 随机变量 2,1 ,,1 ,0 =⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤= k kY kY X k 若 若 求 (I) X1，X2的联合概率分布. (II) U＝ − 的分布. (III) X1X 2X 1，X2的相关系数. 【(I) 0 1 2 X 1X 0 11 −− e 0 1 21 −− − ee 2−e (II) U 的分布律（分布列）为 。(III) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+− −−−− 21211 10 eeee er += 1/1 .】 例 3.12（258）设 X与 Y的联合概率密度函数为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ <<= − 其它0 0),( 2 xyecyxf xλλ ，（ 0>λ , c 为某个常数） (1) 求常数 c，并证明随机变量 Y有如下性质：对任意 ，有 0, >ts )()|( tYPsYstYP >=>+> 【 (1) c =1, Y ~ Ex(λ). 指数分布有无记忆性】 (2) 求 （3）X与 Y是否独立？为什么？ )1|(| xf YX 刘坤林 谭泽光 编 15 http://shop35250918.taobao.com水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 【 (2) (3)不独立， 因为 】 )1()1|( )1(| >= −− xIexf xYX λλ)()(),( yfxfyxf YX≠（类似题 258-1） 设(X,Y)的 pdf为 )}(exp{),( yxncyxf +−⋅= )+<<<0( ∞yxI , 其中 n 为已知正整数，c为待定常数. (1). 求 c； (2). 求 ; (3). X与 Y是否独立？说明理由。 )1|(| yf XY【(1). (2). 其余 , 为 0. (3). 不独立】 22nc = .)1|( )1(1| −−>=== ynyXY neyf y )1|(| yf XY 例 3.13(258-2) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ⎩⎨⎧ <<<<= 其它,0 20,10,1),( xyxyxf求：(I) 的边缘概率密度 ； (II) ),( YX )(),( yfxf YX YXZ −= 2 的概率密度. )(zf z (III) 求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ≤≤ 2121 XYP 【 (I) )10(2)( <<= xIxxf X )20(22)( <<−= yIyyfY (II) )20(22)( <<−= zIzzf Z (III) 43 】 例 3.14(259) 设 rv 是 iid的, 且 , 其中 0 < p <1, 0 < q <1, r ≥ 0, p + q + r = 1. 试求下列函数的分布: 、 及 n1 ,, XX L ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛− prq 101~ 21 XX + 21 XX knk XX ≤≤= 1)1( min: 【 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −−+ 22221 222 21012 ~ pprrpqqrq XX ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++− − 22221 )(12 101 ~ qpqppq XX ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−−− −≡⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++− − nnnnnnnn ppqqppprpr X )1()1(1 101 )()(1 101 ~)1( 】 刘坤林 谭泽光 编 16 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 （类似题 259-1） 设随机向量（X, Y）的分布律为 X Y 0 1 2 3 4 5 0 0. 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求 ).0|3(),2|2( ==== XYPYXP (2) 求 .),max( 的分布律YXU = (3) 求 (4) 求.),min( 的分布律YXV = VUW += 的分布律 . 例 3.15(260) （几何概型的应用）设二维随机变量（X, Y）在区域 G均匀分 布 (1) 设 }10,20),{( ≤≤≤≤= yxyxG ，试求边长为 X和 Y的矩形面积 S的概率密 度 . )(sf (2) 设 , 试求随机变量 { }31,31:),( ≤≤≤≤= yxyxG || YXU −= 的概率密度 。 )(uf 例 3.16 设随机变量 X与 Y 相互独立，X的密度函数为 )(xf ，Y的分布律为 ，试求nipaYP ii ,,2,1,)( L=== YXZ += 的密度函数. 【∑ 】 = −n i ii azfp 1 )( 近四年相关全国考题 1. (2007) （二维正态分布性质）设随机变量 服从二维正态分布，且),( YX X 与Y 不相关， 分别表示)(),( yfxf YX X ，Y 的概率密度，则在 yY = 的条件下， X 的条件概率密度 刘坤林 谭泽光 编 17 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 )( yxf YX 为（ ）。 （A） (B) )(xf X )(yfY (C) (D) )()( yfxf YX )( )( yf xf Y X 【A】 2.（2005）（二维离散与独立性）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 与 相互独立，则 }0{ =X }1{ =+ YX （A） a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 【B】 3.（2008）（极值分布）随机变量 X，Y独立同分布且 X分布函数为 F（X），则 Z=max{ } 分布函数为（ ） YX , （A） . (B) . )(2 xF )(xF )( yF (C) 1- [ . (D) ]2)(1 xF− [ ][ ]F(y)-1 )(1 xF− 【A】 4.（2008）（独立性、全概率公式）设随机变量 X与 Y相互独立，X概率分布为 { } )1,0,1( 3 1 −=== iiXP ，概率密度为 ，记 Z=X+Y ⎩⎨ ⎧ ≤≤= 其它0 101 )( y yfY （1） 求 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =≤ 0 2 1 XZP （2） 求 Z的概率密度. 【 2 1} 2 1{0 2 1 =≤=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =≤ YPXZP ； ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <≤−=′= 其他 ， ,0 21, 3 1 )()( zzFzf ZZ 】 5.（2005）（边缘分布、随机变量函数分布）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 . ,20,10 ,0 ,1 ),( 其他 xyx yxf <<<< ⎩⎨ ⎧= 刘坤林 谭泽光 编 18 http://shop35250918.taobao.com 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 ； )(),( yfxf YX （II） YXZ −= 2 的概率密度 ).(zfZ 【 = =)(xf X . ,10 ,0 ,2 其他 << ⎩⎨ ⎧ xx )(yfY . ,20 ,0 , 2 1 其他 << ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − yy . ,20 ,0 , 2 11)( 其他 << ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= zzzf Z 】 6.（2007）（二维随机变量概率计算、随机变量函数分布）设二维随机变量 的概率密度 为 ),( yx ⎩⎨ ⎧ <<<<−−= 其他0 10,102 ),( yxyx yxf （Ⅰ）求 ； }{ YXP 2> （Ⅱ）求 YXZ += 的概率密度。 【 24 7 ； 】 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <≤− <≤− =′= .,0 ,21,)2( ,10,2 )()( 2 2 其它 zz zzz zFzf ZZ 7.（2007）（二维离散分布、数字特征）设随机变量 X与 Y独立同分布，且 X的概率分布 为 X 1 2 P 3 2 3 1 记 { } { }YXVYXU ,min,,max == (Ⅰ)求（ ）的概率分布; （Ⅱ）求U 与V 的协方差VU , ( ).,VUCov 【 U\V 1 2 1 4/9 0 2 4/9 1/9 81 4)(),( =−= EUEVUVEVUCov 】 刘坤林 谭泽光 编 19 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 第 4章 随机变量的数字特征 本章内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学 期望 矩、协方差、相关系数及其性质 要求 1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数） 的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征 2. 会求随机变量函数的数学期望. 一． 填空题 例 4.1(261) 两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才 (立即)停止射击.如第 名射手每次命中概率i 2,1),10( =<< ipp ii . 求两射手均停止 射击时脱靶（未命中）总数的数学期望=___________. 【 1/p1+1/p2 −2】 例 4.2 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则 }{ DXXP > = .【1/e】 例 4.3(262) 设随机变量 X 和Y的联合概率分布为 Y X −1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 刘坤林 谭泽光 编 20 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 1 0.08 0.32 0.20 则 2X 和 2Y 的协方差Cov ________ . 【 −0.02 】 =),( 22 YX 例 4.4（263）设 (X,Y)的 pdf为 , 则 X与 Y 的相关系数= _________ 【 −1/11 】 )10,10()(),( ≤≤≤≤+= yxIyxyxf 例 4.5 设二维随机变量 , 则)5.0,2,2,0,0(~),( NYX =− )2( YXD . 【 6 】 二． 选择题 例 4.6随机变量 X~N, ( ) ( )4,1~,1,0 NY ，且相关系数 1=XYρ , 则（ ） （A）P{ } 112 =−−= XY (B)P{ } 112 =−= XY (C) P{ } 112 =+−= XY (D)P{ } 112 =+= XY 【 D 】 （类似题 265）将一枚硬币重复掷 n次, 以 X和 Y分别表示正面向上和反 面向上的次数, 则 X和 Y的相关系数等于 （ ） (A) –1. (B) 0. (C) 1/2. (D) 1. 【 A 】 例 4.7（266） 设随机变量 是 iid的, 且 , 其中 0 < p <1, 0 < q <1, r ≥ 0, p + q + r = 1. 则（ ）。 n1 ,, XX L ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− prq 101 ~ (A) ; (B) ； 21 XX = 221 )1()( rXXE −= 刘坤林 谭泽光 编 21 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 (C) ; (D) 令 则 。 【 D 】 )1()( n 1 i rnXD i −=∑ = niXY i ,...,2,1,2i == )1,(~n 1 i rnBYi −∑ = 例 4.8（267） 设X1, X2 iid, ~ N(0, σ 2), 令 ,, 2121222111 XXYXXY −=−= 则 随机变量（ ） (A) Y1和Y2不同分布且相互独立; (B) Y1和Y2不同分布也不相互独立; (C) Y1和Y2同分布且相互独立; (D) Y1和Y2同分布但不相互独立. 【D】 例 4.9（268） 设二维 rv(X, Y)服从二维正态分布，则 rv YX +=ξ 与 YX −=η 不 相关的充分必要条件为 （ ） (A) EX = EY; (B) EX2− (EX)2 = EY 2− (EY)2; (C) EX2 = EY 2; (D) EX2 + (EX)2 = EY 2+ (EY)2; 【B】 （类似题 268-1） 设 X和 Y的方差存在且大于 0，则 rvD(X+Y)=D(X)+D(Y) 是 X和 Y （ ） (A) 不相关的充分条件, 但不是必要条件; (B) 独立的必要条件, 但不是充分条件; (C) 不相关的充分必要条件; (D) 独立的充分必要条件。 【C】 例 4.10（269*） 设二维 rv(X,Y)的 pdf 为 )],(),([),( 2121 yxyxyxf ϕϕ += , 则 （ ） (A) （X, Y）服从二维正态分布，相关系数为 0; (B) X和 Y不同分布也不相互独立; (C) X和 Y相互独立都服从标准正态分布. (D) X和 Y不相关、不独立，但是都服从标准正态分布; 【D】 三． 解答题 例 4.11 设随机变量 X 的概率密度为 刘坤林 谭泽光 编 22 水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B座 503室 ( ) 1 , 1 0