高中数学公式大全 数学公式

高中数学常用及常用结论 1. 元素与集合的关系 , . U x A x C A∈ ⇔ ∉ U x C A x A∈ ⇔ ∉ 2.德摩根公式 .( ) ; ( ) U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B= =∩ ∪ ∪ ∩ 3.包含关系 A B A A B B= ⇔ =∩ ∪ U U A B C B C A⇔ ⊆ ⇔ ⊆ U A C B⇔ = Φ∩ U C A B R⇔ =∪ 4.容斥原理 ( ) ( )card A B cardA cardB card A B= + −∪ ∩ ( ) ( )card A B C cardA cardB cardC card A B= + + −∪ ∪ ∩ .( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card C A card A B C− − − +∩ ∩ ∩ ∩ ∩ 5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1 个；非空子集有 –11 2{ , , , }na a a⋯ 2 n 2n 2n 个；非空的真子集有 –2个.2n 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ;2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ (2)顶点式 ;2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a= − + ≠ (3)零点式 .1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a= − − ≠ 7.解连不等式 常有以下转化形式( )N f x M< < ( )N f x M< < ⇔ [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N− − < ⇔ | ( ) | 2 2 M N M N f x + − − < ⇔ ( ) 0 ( ) f x N M f x − > − .⇔ 1 1 ( )f x N M N > − − 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后0)( =xf ),( 21 kk 0)()( 21 0 时 ， 若 ， 则[ ]qp a b x , 2 ∈−= ；{ }min max max( ) ( ), ( ) ( ), ( )2 b f x f f x f p f q a = − = ， ， .[ ]qp a b x , 2 ∉−= { }max max( ) ( ), ( )f x f p f q= { }min min( ) ( ), ( )f x f p f q= (2) 当 a<0 时 ， 若 ， 则 ， 若[ ]qp a b x , 2 ∈−= { }min( ) min ( ), ( )f x f p f q= ，则 ， .[ ]qp a b x , 2 ∉−= { }max( ) max ( ), ( )f x f p f q= { }min( ) min ( ), ( )f x f p f q= 10.一元二次方程的实根分布 依据：若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根 .( ) ( ) 0f m f n < 0)( =xf ( , )m n 设 ，则 qpxxxf ++= 2)( （1）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ；0)( =xf ),( +∞m 0)( =mf 2 4 0 2 p q p m ⎧ − ≥ ⎪ ⎨ − >⎪⎩ （2）方程 在区间 内有根的充要条件为 或0)( =xf ( , )m n ( ) ( ) 0f m f n < 2 ( ) 0 ( ) 0 4 0 2 f m f n p q p m n >⎧ ⎪ >⎪⎪ ⎨ − ≥ ⎪ ⎪ < − < ⎪⎩ 或 或 ； ( ) 0 ( ) 0 f m af n =⎧ ⎨ >⎩ ( ) 0 ( ) 0 f n af m =⎧ ⎨ >⎩ （3）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .0)( =xf ( , )n−∞ ( ) 0f m < 2 4 0 2 p q p m ⎧ − ≥ ⎪ ⎨ − <⎪⎩ 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 的子区间 （形如 ， ， 不同）上含参数),( +∞−∞ L [ ]βα, ( ]β,∞− [ )+∞,α 的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .( , ) 0f x t ≥ t min( , ) 0( )f x t x L≥ ∉ (2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立),( +∞−∞ ( , ) 0f x t ≥ t 的充要条件是 .( , ) 0( ) man f x t x L≤ ∉ (3) 恒成立的充要条件是 或 .0)( 24 >++= cbxaxxf 0 0 0 a b c ≥⎧ ⎪ ≥⎨ ⎪ >⎩ 2 0 4 0 a b ac <⎧ ⎨ − <⎩ 12.真值

表

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13.常见结论的否定形式 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 个 n 至多有（ ）个1n − 小于 不小于 至多有 个 n 至少有（ ）个1n + 对所有 ， x 成立 存在某 ， x 不成立 或 p q 且 p¬ q¬ 对任何 ， x 存在某 ， x 14.四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 （1）充分条件：若 ，则 是 充分条件.p q⇒ p q （2）必要条件：若 ，则 是 必要条件. q p⇒ p q （3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.p q⇒ q p⇒ p q 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 那么[ ] 2121 ,, xxbaxx ≠∈⋅ 上是增函数；[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − > ⇔ [ ]baxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在⇔> − − 上是减函数.[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − < ⇔ [ ]baxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在⇔< − − (2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果)(xfy = 0)( >′ xf )(xf ，则 为减函数.0)( <′ xf )(xf 17.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减)(xf )(xg )()( xgxf + 函数; 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(ufy = )(xgu = 是增函数.)]([ xgfy = 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图 象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函 数是偶函数． 19.若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶函)(xfy = )()( axfaxf −−=+ )( axfy += 数，则 .)()( axfaxf +−=+ 20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴)(xfy = Rx∈ )()( xbfaxf −=+ )(xf 是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称. 2 ba x + = )( axfy += )( xbfy −= 2 ba x + = 21. 若 , 则函 数 的图 象 关 于 点 对称 ; 若)()( axfxf +−−= )(xfy = )0, 2 ( a ,则函数 为周期为 的周期函数.)()( axfxf +−= )(xfy = a2 22．多项式函数 的奇偶性11 0( ) n n n n P x a x a x a − −= + + +⋯ 多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.( )P x ⇔ ( )P x 多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.( )P x ⇔ ( )P x 23.函数 的图象的对称性( )y f x= 不成立 成立 且 p q 或 p¬ q¬ (1)函数 的图象关于直线 对称( )y f x= x a= ( ) ( )f a x f a x⇔ + = − .(2 ) ( )f a x f x⇔ − = (2)函数 的图象关于直线 对称( )y f x= 2 a b x + = ( ) ( )f a mx f b mx⇔ + = − .( ) ( )f a b mx f mx⇔ + − = 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.( )y f x= ( )y f x= − 0x = y (2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.( )y f mx a= − ( )y f b mx= − 2 a b x m + = (3)函数 和 的图象关于直线 y=x对称.)(xfy = )(1 xfy −= 25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图)(xfy = a b baxfy +−= )( 象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图0),( =yxf a b 0),( =−− byaxf 象. 26．互为反函数的两个函数的关系 .abfbaf =⇔= − )()( 1 27.若函数 存在反函数 ,则其反函数为 ,并不是)( bkxfy += ])([ 1 1 bxf k y −= − ,而函数 是 的反函数.)([ 1 bkxfy += − )([ 1 bkxfy += − ])([ 1 bxf k y −= 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 , .( )f x cx= ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c+ = + = (2)指数函数 , .( ) xf x a= ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a+ = = ≠ (3)对数函数 , .( ) log a f x x= ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a= + = > ≠ (4)幂函数 , .( )f x xα= '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f α= = (5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，( ) cosf x x= ( ) sing x x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y− = + . 0 ( ) (0) 1, lim 1 x g x f x → = = 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) （1） ，则 的周期 T=a；)()( axfxf += )(xf （2） ，0)()( =+= axfxf 或 ，)0)(( )( 1 )( ≠=+ xf xf axf 或 , 1 ( ) ( ) f x a f x + =− ( ( ) 0)f x ≠ 或 ,则 的周期 T=2a；[ ]21 ( ) ( ) ( ), ( ( ) 0,1 ) 2 f x f x f x a f x+ − = + ∈ )(xf (3) ，则 的周期 T=3a；)0)(( )( 1 1)( ≠ + −= xf axf xf )(xf (4) 且 ，则 )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf − + =+ 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a= ⋅ ≠ < − < 的周期 T=4a；)(xf (5) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a+ + + + + + + ,则 的周期 T=5a；( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a= + + + + )(xf (6) ，则 的周期 T=6a.)()()( axfxfaxf +−=+ )(xf 30.分数指数幂 (1) （ ，且 ）. 1m n n m a a = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > (2) （ ，且 ）. 1m n m n a a − = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > 31．根式的性质 （1） .( )nn a a= （2）当 为奇数时， ；n n na a= 当 为偶数时， . n , 0 | | , 0 n n a a a a a a ≥⎧ = = ⎨ − <⎩ 32．有理指数幂的运算性质 (1) .( 0, , )r s r sa a a a r s Q+⋅ = > ∈ (2) .( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q= > ∈ (3) .( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q= > > ∈ 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 .log b a N b a N= ⇔ = ( 0, 1, 0)a a N> ≠ > 34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ). log log log m a m N N a = 0a > 1a ≠ 0m > 1m ≠ 0N > 推论 ( ,且 , ,且 , , ).log log m n a a n b b m = 0a > 1a > , 0m n > 1m ≠ 1n ≠ 0N > 35．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) ;log ( ) log log a a a MN M N= + (2) ;log log log a a a M M N N = − (3) .log log ( )n a a M n M n R= ∈ 36.设函数 ,记 .若 的定义域为)0)((log)( 2 ≠++= acbxaxxf m acb 42 −=∆ )(xf ,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要R 0>a 0<∆ )(xf R 0>a 0≥∆ 0=a 单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 , , , ,则函数0a > 0b > 0x > 1 x a ≠ log ( ) ax y bx= (1)当 时,在 和 上 为增函数. a b> 1 (0, ) a 1 ( , ) a +∞ log ( ) ax y bx= ， (2)当 时,在 和 上 为减函数.a b< 1 (0, ) a 1 ( , ) a +∞ log ( ) ax y bx= 推论:设 ， ， ，且 ，则1n m> > 0p > 0a > 1a ≠ （1） .log ( ) log m p m n p n+ + < （2） .2log log log 2a a a m n m n + < 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有p x y .(1 )xy N p= + 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 ( 数列 的前 n 项的和为 ).1 1 , 1 , 2n n n s n a s s n− =⎧ = ⎨ − ≥⎩ { } n a 1 2n ns a a a= + + +⋯ 40.等差数列的通项公式 ；*1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + − ∈ 其前 n 项和公式为 1( ) 2 n n n a a s + = 1 ( 1) 2 n n na d − = + .2 1 1 ( ) 2 2 d n a d n= + − 41.等比数列的通项公式 ；1 *11 ( ) n n n a a a q q n N q −= = ⋅ ∈ 其前 n 项的和公式为 1 1 (1 ) , 1 1 , 1 n n a q q s q na q ⎧ − ≠⎪ = −⎨ ⎪ =⎩ 或 . 1 1 , 1 1 , 1 n n a a q q q s na q −⎧ ≠⎪ −= ⎨ ⎪ =⎩ 42.等比差数列 : 的通项公式为{ } n a 1 1, ( 0)n na qa d a b q+ = + = ≠ ；1 ( 1) , 1 ( ) , 1 1 n n n b n d q a bq d b q d q q − + − =⎧ ⎪ = + − −⎨ ≠⎪ −⎩ 其前 n 项和公式为 . ( 1) , ( 1) 1 ( ) , ( 1) 1 1 1 n n nb n n d q s d q d b n q q q q + − =⎧ ⎪ = −⎨ − + ≠⎪ − − −⎩ 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ). (1 ) (1 ) 1 n n ab b x b + = + − a n b 44．常见三角不等式 （1）若 ，则 .(0, ) 2 x π ∈ sin tanx x x< < (2) 若 ，则 .(0, ) 2 x π ∈ 1 sin cos 2x x< + ≤ (3) .| sin | | cos | 1x x+ ≥ 45.同角三角函数的基本关系式 ， = ， .2 2sin cos 1θ θ+ = tanθ θ θ cos sin tan 1cotθ θ⋅ = 46.正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1) sin , sin( ) 2 ( 1) s , n n n co α π α α − ⎧ −⎪ + = ⎨ ⎪ −⎩ 2 1 2 ( 1) s , s( ) 2 ( 1) sin , n n co n co α π α α + ⎧ −⎪ + = ⎨ ⎪ −⎩ 47.和角与差角公式 ;sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ± ;cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± = ∓ . tan tan tan( ) 1 tan tan α β α β α β ± ± = ∓ (平方正弦公式);2 2sin( ) sin( ) sin sinα β α β α β+ − = − .2 2cos( ) cos( ) cos sinα β α β α β+ − = − = (辅助角 所在象限由点 的象限决sin cosa bα α+ 2 2 sin( )a b α ϕ+ + ϕ ( , )a b 定, ).tan b a ϕ = 48.二倍角公式 .sin 2 sin cosα α α= .2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − . 2 2 tan tan 2 1 tan α α α = − 49. 三倍角公式 .3sin 3 3sin 4sin 4sin sin( ) sin( ) 3 3 π π θ θ θ θ θ θ= − = − + .3cos3 4cos 3cos 4cos cos( )cos( ) 3 3 π π θ θ θ θ θ θ= − = − + . 3 2 3tan tan tan 3 tan tan( ) tan( ) 1 3tan 3 3 θ θ π π θ θ θ θ θ − = = − + − 50.三角函数的周期公式 函数 ，x∈R 及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0，sin( )y xω ϕ= + cos( )y xω ϕ= + ϕ ω＞0)的周期 ；函数 ， (A,ω, 为常数，且 A 2 T π ω = tan( )y xω ϕ= + , 2 x k k Z π π≠ + ∈ ϕ (n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) ≠0，ω＞0)的周期 .T π ω = 51.正弦定理 .2 sin sin sin a b c R A B C = = = 52.余弦定理 ;2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ;2 2 2 2 cosb c a ca B= + − .2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 53.面积定理 （1） （ 分别表示 a、b、c边上的高）. 1 1 1 2 2 2a b c S ah bh ch= = = a b c h h h、 、 （2） . 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B= = = (3) .2 2 1 (| | | |) ( ) 2OAB S OA OB OA OB∆ = ⋅ − ⋅ ���� ���� ���� ���� 54.三角形内角和定理 在△ABC中，有 ( )A B C C A Bπ π+ + = ⇔ = − + . 2 2 2 C A Bπ + ⇔ = − 2 2 2( )C A Bπ⇔ = − + 55. 简单的三角方程的通解 .sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z aπ= ⇔ = + − ∈ ≤ .s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z aπ= ⇔ = ± ∈ ≤ .tan arctan ( , )x a x k a k Z a Rπ= ⇒ = + ∈ ∈ 特别地,有 .sin sin ( 1) ( )kk k Zα β α π β= ⇔ = + − ∈ .s cos 2 ( )co k k Zα β α π β= ⇔ = ± ∈ .tan tan ( )k k Zα β α π β= ⇒ = + ∈ 56.最简单的三角不等式及其解集 .sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π> ≤ ⇔ ∈ + + − ∈ .sin (| | 1) (2 arcsin , 2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ − − + ∈ .cos (| | 1) (2 arccos , 2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π> ≤ ⇔ ∈ − + ∈ .cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ + + − ∈ .tan ( ) ( arctan , ), 2 x a a R x k a k k Z π π π> ∈ ⇒ ∈ + + ∈ .tan ( ) ( , arctan ), 2 x a a R x k k a k Z π π π< ∈ ⇒ ∈ − + ∈ 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）;λ λ λ λ (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a b(b 0) .1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠ � ≠ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. aaaa·bbbb 的几何意义 数量积 aaaa·bbbb等于 aaaa 的长度|aaaa|与 bbbb 在 aaaa 的方向上的投影|bbbb|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ,b= ，则 a+b= .1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y+ + (2)设 a= ,b= ，则 a-b= .1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y− − (3)设 A ，B ,则 .1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − − ���� ���� ���� (4)设 a= ，则 a= .( , ),x y Rλ∈ λ ( , )x yλ λ (5)设 a= ,b= ，则 a·b= .1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( )x x y y+ 63.两向量的夹角公式 (a= ,b= ).1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y θ + = + ⋅ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y 64.平面两点间的距离公式 =,A Bd | |AB AB AB= ⋅ ���� ���� ���� (A ，B ).2 22 1 2 1( ) ( )x x y y= − + − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 65.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠ A||b b=λa .⇔ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = a b(a 0) a·b=0 .⊥ ≠ ⇔ 1 2 1 2 0x x y y⇔ + = 66.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( , )P x y 1 2PP λ 1 2PP PPλ= ���� ���� 1 2 1 2 1 1 x x x y y y λ λ λ λ +⎧ =⎪⎪ + ⎨ +⎪ = ⎪ +⎩ ⇔ 1 2 1 OP OP OP λ λ + = + ���� �������� （ ）.⇔ 1 2(1 )OP tOP t OP= + − ���� ���� ���� 1 1 t λ = + 67.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐1 1A(x ,y ) 2 2B(x ,y ) 3 3C(x ,y ) 标是 .1 2 3 1 2 3( , ) 3 3 x x x y y y G + + + + 68.点的平移公式 . ' ' ' ' x x h x x h y y k y y k ⎧ ⎧= + = −⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ = + = −⎪ ⎪⎩ ⎩ ' ' OP OP PP⇔ = + ���� �������� 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的'F ' ' '( , )P x y 'PP ���� 坐标为 .( , )h k 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点 按向量 a= 平移后得到点 .( , )P x y ( , )h k ' ( , )P x h y k+ + (2) 函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式( )y f x= C ( , )h k 'C 'C 为 .( )y f x h k= − + (3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数' C ( , )h k C C ( )y f x= 'C 解析式为 .( )y f x h k= + − (4)曲线 : 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 C ( , ) 0f x y = ( , )h k ' C ' C .( , ) 0f x h y k− − = (5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= .( , )x y ( , )h k ( , )x y 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则O ABC∆ , ,A B C , ,a b c （1） 为 的外心 . O ABC∆ 2 2 2 OA OB OC⇔ = = ���� ���� ���� （2） 为 的重心 .O ABC∆ 0OA OB OC⇔ + + = ���� ���� ���� � （3） 为 的垂心 . O ABC∆ OA OB OB OC OC OA⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅ ���� ���� ���� ���� ���� ���� （4） 为 的内心 .O ABC∆ 0aOA bOB cOC⇔ + + = ���� ���� ���� � （5） 为 的 的旁心 . O ABC∆ A∠ aOA bOB cOC⇔ = + ���� ���� ���� 71.常用不等式： （1） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．,a b R∈ ⇒ 2 2 2a b ab+ ≥ （2） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．,a b R+∈ ⇒ 2 a b ab + ≥ （3） 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c+ + ≥ > > > （4）柯西不等式 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈ （5） .bababa +≤+≤− 72.极值定理 已知 都是正数，则有 yx, （1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；xy p yx = yx + p2 （2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .yx + s yx = xy 2 4 1 s 推广 已知 ，则有 Ryx ∈, xyyxyx 2)()( 22 +−=+ （1）若积 是定值,则当 最大时, 最大；xy || yx − || yx + 当 最小时, 最小.|| yx − || yx + （2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；|| yx + || yx − || xy 当 最小时, 最大.|| yx − || xy 73.一元二次不等式 ，如果 与2 0( 0)ax bx c+ + > <或 2( 0, 4 0)a b ac≠ ∆ = − > a 同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之2 ax bx c+ + a 2ax bx c+ + 间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. ；1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x< < ⇔ − − < < .1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x< > ⇔ − − > <或 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 .22 x a x a a x a< ⇔ < ⇔ − < < 或 .2 2x a x a x a> ⇔ > ⇔ > x a< − 75.无理不等式 （1） . ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x ≥⎧ ⎪ > ⇔ ≥⎨ ⎪ >⎩ （2） . 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧ ≥⎧⎪ > ⇔ ≥⎨ ⎨ <⎩⎪ >⎩ 或 （3） . 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥⎧ ⎪ < ⇔ >⎨ ⎪ <⎩ 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a > ;( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > . ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x >⎧ ⎪ > ⇔ >⎨ ⎪ >⎩ (2)当 时,0 1a< < ;( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x >⎧ ⎪ > ⇔ >⎨ ⎪ <⎩ 77.斜率公式 （ 、 ）.2 1 2 1 y y k x x − = − 1 1 1 ( , )P x y 2 2 2( , )P x y 78.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )．1 1( )y y k x x− = − l 1 1 1( , )P x y k （2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).y kx b= + l （3）两点式 ( )( 、 ( )).1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − 1 2 y y≠ 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 1 2x x≠ (4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )1 x y a b + = a b、 0a b ≠、 （5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0Ax By C+ + = 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 ，1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + ① ;1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b⇔ = ≠ ② .1 2 1 2 1l l k k⊥ ⇔ = − (2)若 , ,且 A1、A2、B1、B2都不为零,1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = ① ；1 1 11 2 2 2 2 || A B C l l A B C ⇔ = ≠ ② ；1 2 1 2 1 2 0l l A A B B⊥ ⇔ + = 80.夹角公式 (1) .2 1 2 1 tan | | 1 k k k k α − = + ( ， , )1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + 1 2 1k k ≠ − (2) .1 2 2 1 1 2 1 2 tan | | AB A B A A B B α − = + ( , , ).1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 1 2 0A A B B+ ≠ 直线 时，直线 l1与 l2的夹角是 ....1 2l l⊥ 2 π 81. 到 的角公式1l 2l (1) .2 1 2 1 tan 1 k k k k α − = + ( ， , )1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + 1 2 1k k ≠ − (2) .1 2 2 1 1 2 1 2 tan AB A B A A B B α − = + ( , , ).1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 1 2 0A A B B+ ≠ 直线 时，直线 l1到 l2的角是 ....1 2l l⊥ 2 π 82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线0 0 0( , )P x y 0 0( )y y k x x− = − ), 其 中 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 的 直 线 系 方 程 为0x x= k 0 0 0( , )P x y ,其中 是待定的系数．0 0( ) ( ) 0A x x B y y− + − = ,A B (2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 的直线系方程为 (除 )，其中λ是待定的系数．1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y Cλ+ + + + + = 2l (3)平行直线系方程：直线 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线y kx b= + 系方程．与直线 平行的直线系方程是 ( )，λ是0Ax By C+ + = 0Ax By λ+ + = 0λ ≠ 参变量． (4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是0Ax By C+ + = ,λ是参变量．0Bx Ay λ− + = 83.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ).0 0 2 2 | |Ax By C d A B + + = + 0 0( , )P x y l 0Ax By C+ + = 84. 或 所表示的平面区域0Ax By C+ + > 0< 设直线 ，则 或 所表示的平面区域是：: 0l Ax By C+ + = 0Ax By C+ + > 0< 若 ，当 与 同号时，表示 直线 的上方的 区域；当 与0B ≠ B Ax By C+ + l B 异号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. Ax By C+ + l 若 ，当 与 同号时，表示 直线 的右方的 区域；当 与0B = A Ax By C+ + l A 异号时，表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.Ax By C+ + l 85. 或 所表示的平面区域1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0< 设曲线 （ ），则1 1 1 2 2 2: ( )( ) 0C A x B y C A x B y C+ + + + = 1 2 1 2 0A A B B ≠ 或 所表示的平面区域是：1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0< 所表示的平面区域上下两部分；1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 所表示的平面区域上下两部分.1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + < 86. 圆的四种方程 （1）圆的

标准

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方程 .2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = （2）圆的一般方程 ( ＞0).2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4D E F+ − （3）圆的参数方程 . cos sin x a r y b r θ θ = +⎧ ⎨ = +⎩ （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = 、 ).1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 87. 圆系方程 (1)过点 , 的圆系方程是1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x xλ− − + − − + − − − − − = , 其中 是直 线1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by cλ⇔ − − + − − + + + = 0ax by c+ + = 的方程,λ是待定的系数．AB (2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程l 0Ax By C+ + = C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 是 ,λ是待定的系数．2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By Cλ+ + + + + + + = (3) 过圆 : 与圆 : 的交1C 2 2 1 1 1 0x y D x E y F+ + + + = 2C 2 2 2 2 2 0x y D x E y F+ + + + = 点的圆系方程是 ,λ是待定的2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y Fλ+ + + + + + + + + = 系数． 88.点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系有三种0 0( , )P x y 222 )()( rbyax =−+− 若 ，则2 20 0( ) ( )d a x b y= − + − 点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内. d r> ⇔ P d r= ⇔ P d r< ⇔ P 89.直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种:0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− ;0<∆⇔⇔> 相离rd ;0=∆⇔⇔= 相切rd .0>∆⇔⇔< 相交rd 其中 . 22 BA CBbAa d + ++ = 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， dOO =21 ;条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd ;条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd ;条公切线相交 22121 ⇔⇔+<<− rrdrr ;条公切线内切 121 ⇔⇔−= rrd .无公切线内含⇔⇔−<< 210 rrd 91.圆的切线方程 (1)已知圆 ．2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = ①若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是0 0( , )x y .0 00 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y y x x y y F + + + + + + = 当 圆外时, 表示过两个切点0 0( , )x y 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y y x x y y F + + + + + + = 的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必0 0( )y y k x x− = − 有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线． ③斜率为 k 的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，必有两条切线．y kx b= + (2)已知圆 ．2 2 2 x y r+ = ①过圆上的 点的切线方程为 ;0 0 0( , )P x y 2 0 0x x y y r+ = ②斜率为 的圆的切线方程为 .k 21y kx r k= ± + 92.椭圆 的参数方程是 . 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > cos sin x a y b θ θ =⎧ ⎨ =⎩ 93.椭圆 焦半径公式 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > ， .)( 2 1 c a xePF += )( 2 2 x c a ePF −= 94．椭圆的的内外部 （1）点 在椭圆 的内部 .0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 2 2 0 0 2 2 1 x y a b ⇔ + < （2）点 在椭圆 的外部 .0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 2 2 0 0 2 2 1 x y a b ⇔ + > 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 上一点 处的切线方程是 . 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1 x x y y a b + = （2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 0 0( , )P x y .0 0 2 2 1 x x y y a b + = （ 3 ） 椭 圆 与 直 线 相 切 的 条 件 是 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 0Ax By C+ + = .2 2 2 2 2 A a B b c+ = 96.双曲线 的焦半径公式 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b − = > > ， . 2 1 | ( ) | a PF e x c = + 2 2 | ( ) | a PF e x c = − 97.双曲线的内外部 (1)点 在双曲线 的内部 .0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b − = > > 2 2 0 0 2 2 1 x y a b ⇔ − > (2)点 在双曲线 的外部 .0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b − = > > 2 2 0 0 2 2 1 x y a b ⇔ − < 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12 2 2 2 =− b y a x ⇒ 2 2 2 2 0 x y a b − = ⇔ x a b y ±= (2)若渐近线方程为 双曲线可设为 . x a b y ±= ⇔ 0=± b y a x ⇒ λ=− 2 2 2 2 b