ADF与 P P单位根检验法

ADF与 PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验 · 137 · ADF与PP单位根检验法对非线性 趋势平稳序列的伪检验 刘 田 (西南财经大学统计学院) 【摘要1 ADF与 PP单位根检验对无趋势或线性趋势平稳过程可给出正确的 结果。但蒙特卡罗实验表明，对非线性趋势而言，它们趋向于将平稳过程误判为 有单位根。在一定条件下，各种非线性趋势可以看成准线性的，从而利用 ADF 与 PP检验得 出正 确的结论 。信 噪 比小于 15倍 时，PP检 验可得 出正确 的结果 ； 信噪比小于4倍时，ADF检验可得 出正确的结果。对非线性趋势平稳序列的检验 而言，PP优于ADF检验。随着干扰相对强度的增加，正确检验的可能性也大大 增加 。 关键词 单位根 伪检验 非线性趋势 ADF PP 中图分类号 F224．0 文献标识码 A Spurious Tests to Nonlinear Trend Stationary Series with ADF and PP Unit Root Test M ethods Abstract： To non-trend or linear trend stationary process。ADF or PP unit root test can give right result．But to nonlinear trend，M onte Carlo test shows that they tend to take a stationary series as a unit root process．Under certain condi— tions，we can treat nonlinear trend as quasi—linear and draw right conclusion using ADF or PP test method．PP can give right result when SNR< 15，and ADF can work right when SNR<4．PP test is better than ADF to a nonlinear trend stationa- ry process．Along with the increase of the ratio of disturbance，the possibility grows rapidly to give right result． Key words：Unit Root Test；Spurious Test；Nonlinear Trend；ADF：PP 引 言 实证分析经常涉及时间序列的处理。不管是多变量的回归分析，还是用ARMA模型来 描述和刻画单个时间序列 ，平稳性要求都是一个基本前提。回归分析要求变量是平稳的，否 则基本的t、F、：C。等检验都不能使用，必然引起谬误回归，得出两个时间变量间的错 关关系。ARMA模型也要求描述和刻画的对象必须是平稳的。所谓平稳 ，就是随机变 误相 量的 维普资讯 http://www.cqvip.com · 138 · 《数量经济技术经济研究》2008年第 6期 概率分布不随时间变化，如果变量的均值、方差和协方差不随时间变化，就可以认为变量是 (宽)平稳的。 经济数据时间序列常常有一个随时间不断增长的确定性趋势，此时序列虽然是非平稳 的，但如果去掉趋势项后，剩余项却可能是平稳的，此时称为趋势平稳。剩余项不平稳的 话，称为单位根过程。 区分趋势平稳与单位根过程是非常重要的。趋势平稳的经济变量长期结果是由确定性的 时间趋势函数决定的，经济转型、政权更替、变化等随机冲击只造成对趋势的暂时偏 离。而对单位根过程而言，任何哪怕较小的冲击都会带来长期永久的影响。 因此，平稳性的检验非常重要。如何判断时间序列的平稳性呢?除了判断自相关函数 (ACF)的零收敛性以外，单位根检验是一个基本的定量检验方法。常用 ADF或者 PP检验 来判断是否存在单位根，它们可以准确地判断无趋势或线性趋势过程是否存在单位根，即是 否是平稳的。但两者对数据生成过程非常敏感 ，应用于其他非线性趋势情形的检验可能存在 很大的疑问，甚至带来完全错误的结果。比如，Nelson与 Plosser在 1982年用 ADF方法检 验 14个美国宏观经济数据，发现存在 13个单位根过程。但 Perron在 1989年引入结构变点 后发现，真正的单位根过程只有 3个。用 ADF或者 PP检验来认定一个过程存在单位根需 要非常谨慎。 本文通过蒙特卡罗仿真实验，研究了 ADF与 PP检验对平方根趋势、二次趋势、对 数趋势、结构变化的分段线性趋势及准线性趋势等常见非线性趋势平稳过程的检验。结 果表明，ADF与 PP检验对非线性趋势平稳过程的检验基本失效，只在有限的条件下可 以作出正确 的判 断。检验过程 中，ADF与 PP的滞 后项分别取 (N一 1) ／、4 (N／ 100)1／4，其中N为时间序列的长度，比如检验中取300的话，ADF与PP检验的滞后项 分别取为 6、5。 假设时间序列 由趋势项S 与干扰项 构成 ： Yt—S + (1) 其中，S 为确定性时间趋势项； 为随机干扰项 (假设是均值为 0，方差为 的正 态分布N (0， ))。很明显，正态干扰项是平稳的，不存在单位根。根据 ADF与 PP检 验，趋势项与干扰项同比例增大或减小时，计算出的检验量是不变的；但趋势项与干扰项相 对大小的变化会得出不同的检验量。我们用趋势项与干扰项标准方差的比值来衡量其相对大 小，称为信噪比： SNR=&／8． (2) 一 、 平方根趋势平稳时间序列的单位根伪检验 假设时间序列 的确定性趋势项为S 一10(￡+100) ，t取 1到 300的整数，即序列 长度为 300，趋势项的样本方差为 803．29，标准方差为 28．34；随机干扰项 为白噪声，满 足标准正态分布 N (0，1)。 1．A1)F与 PP检验法的单位根伪检验 很明显，因干扰项为标准正态分布的白噪声 ，加上确定性时间趋势项后的时间序列应该 是趋势平稳的。我们分别用标准的ADF与PP单位根检验方法做 200次蒙特卡罗仿真试验， 发现存在单位根的概率分布如图 1所示。 维普资讯 http://www.cqvip.com ADF与PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验 ·139 · 褂 肇 ：班L 枢 祷 篓 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 ADF检验 PP检验 图 1 平方根趋势平稳序列 200次仿真实验存在单位根的概率分布 可以看出，不管显著性水平取 0．01、0．05或 0．1，ADF均每次判定存在单位根，误判 序列是非平稳的；PP检验误判的可能性要小些，在0．1的显著性水平下，每次均判断不存 在单位根，为趋势平稳，但如果取较小的显著性水平 ，误判为存在单位根的次数大幅增加。 2．信噪比改变的单位根检验结果 让确定性趋势项保持不变，正态随机干扰项的标准方差从 0．1增加到 10，每次增加 0．1，共做100次仿真实验，检验结果如图2所示。 褂 肇 枢 褂 肇 避 ：班L 枢 褂 肇 ：班L 枢 姆 崧 ：班L 图 2 平方根趋势平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布 可以看出，在干扰项方差很小，趋势项与干扰项的标准方差之比 (信噪比)特别大时， 或者信噪比较小时，ADF都能够正确检验；在信噪比为6～71的范围内，判断存在单位根 的概率很高，检验失效。对 PP检验而言，在信噪比低于30倍时，PP能够作出正确检验； 但随着信噪比的增加，误判概率急剧增加，检验完全失效。 二、二次趋势平稳时间序列的单位根伪检验 假设时间序列 的确定性趋势项为时间的二次形式，St一0．0007( +lOO) ，t取 1到 维普资讯 http://www.cqvip.com · 140 · 《数量经济技术经济研究》2008年第 6期 300的整数，即序列长度为 300，趋势项的样本方差为 947．63，标准方差为 30．78； 为干 扰项，取为标准正态分布 N (0，1)。 1．ADF与PP检验法的单位根伪检验 同样，因干扰项为标准正态分布的白噪声，加上确定性时间趋势项后的时间序列应该为 趋势平稳的。我们分别用标准的ADF与PP单位根检验方法做 200次蒙特卡罗仿真试验， 发现存在单位根的概率分布如图3所示。 褂 肇 ：毋L 褂 肇 ：毋L o 50 lOO 15o 200 o 50 lOO 15o 200 ADF检验 PP检验 图 3 二次趋势平稳序列 200次仿真实验检出存在单位根的概率分布 可以看出，不管显著性水平设为 0．01、0．05或 0．1，ADF与 PP检验均每次判定存在 单位根，得出完全错误的结论。 2．信噪比改变的单位根检验结果 让确定性趋势项保持不变，正态随机干扰项的标准方差从 0．1增加到 10，每次增加 0．1，共做 100次仿真实验，检验结果如图 4所示。 甜 蜜 ：毋L 肇 ：毋L 甜 蜜 ：毋L 褂 肇 ：毋L 趋势与干扰项标准方差之比 ADF检验 趋势与干扰项标准方差之比 PP检验 图 4 二次趋势平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布 可以看出，在干扰项方差很大，信噪比较小时，ADF与PP都能够正确检验；但随着信 维普资讯 http://www.cqvip.com ADF与PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验 ·141 · 噪比的增加，两者误判的概率都急剧增加。对 ADF检验而言，在信噪比低于3．5倍时，大 致能够作出正确检验。对 PP检验而言，在信噪比低于 15．5倍时，能够作出正确检验。 三、对数趋势平稳时间序列的单位根伪检验 假设时间序列 的确定性趋势项 S ===150log(t+300)，t取 1到 300的整数，即序列 长度为300，趋势项的方差为 880．48，标准方差为29．67； 为干扰项，取为标准正态分布 N (0，1)。 1．ADF与PP检验法的单位根伪检验 同样，因干扰项为标准正态分布的白噪声，加上确定性时间趋势项后的时间序列应该为 趋势平稳的。我们分别用标准的 ADF与 PP单位根检验方法做 200次蒙特卡罗仿真试验， 发现存在单位根的概率分布如图5所示。 褂 肇 ：班L 肇 ：班L 怔 o 50 lO0 15o 200 o 50 lO0 15o 200 ADF检验 PP检验 图 5 对数趋势平稳序列 200次仿真实验检出存在单位根的概率分布 可以看出，不管显著性水平设为 0．01、0．05或 0．1，ADF均每次判定存在单位根；PP 检验在 0．1的显著性水平下，有超过一半的机会判断不存在单位根，为趋势平稳，但如果取 较小的显著性水平，误判为存在单位根的次数大幅增加。 2．信噪比改变的单位根检验结果 让趋势项保持不变，正态干扰项的标准方差从 0．1增加到 10，每次增加 0．1，共做 100 次仿真实验，检验结果如图 6所示。 可以看出，在干扰项方差很小，信噪比特别大时，或者信噪比较小时，ADF都能够正 确检验；在信噪比为 7．5~100的范围内，错误检验的概率很高。对 PP检验而言，在信噪 比低于25倍时，PP能够作出正确检验；但随着信噪比的增加，误判概率急剧增加。 四、结构突变平稳时间序列的单位根伪检验 大量文献对结构突变情况下的ADF检验进行了研究 (张建华、涂涛涛，2007)，为了 对检验结果进行对比，本文取其同样的数据生成过程作进一步研究。时间趋势项 S 为两段 线性的，当tE[1，S00]时，S =100+0．9 ；当 tE Esol，looo]时，S =300+0．5t。总 共1000个数据项，趋势项的方差为 41673．3，标准方差为 204．14。 为干扰项，取为标准 正态分布 N(0，1)。 1．ADF与 PP检验法的单位根伪检验 很明显，因干扰项为标准正态分布的白噪声，加上确定性时间趋势项后的时间序列应该 维普资讯 http://www.cqvip.com · 142 · 《数量经济技术经济研究》2008年第 6期 O．8 婪o．6 0．4 0．2 O．O 褂 窭 趋势与干扰项标准方差之比 ADF检验 斛 O·8 窭 o．4 忙 O．O 褂 窭 O 2 4 6 8 1O 干扰项标准方差 PP检验 O 5O 1OO 200 30o 趋势与干扰项标准方差之比 PP检验 图 6 对数平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布 为趋势平稳的。我们分别用标准的ADF与PP单位根检验方法做 200次蒙特卡罗仿真试验， 发现存在单位根的概率分布如图7所示。 褂 窭 1．4 褂 窭 登 1．o 忙 O．6 0 50 100 150 200 0 50 100 150 20o ADF检验 PP检验 图 7 分段线性趋势平稳序列 200次仿真实验检出存在单位根的概率分布 可以看出，不管显著性水平设为 0．01、0．05或 0．1，ADF与 PP检验均每次判定存在 单位根，为非平稳的，得出完全错误的结论。 2．信噪比改变的单位根检验结果 让趋势项保持不变，随机正态干扰项的标准方差从 0．7增加到 70，每次增加 0．7(因此 例确定性趋势项的方差较大，故增加干扰项方差增加的步长)，共做 100次仿真实验，检验 结果如图 8所示。 可以看出，在干扰项方差很大，信噪比较小时，ADF与PP都能够正确检验；但随着信 噪比的增加，两者误判的概率都急剧增加。对ADF检验而言，在信噪比低于 5倍时，大致 能够作出正确检验。对 PP检验而言，在信噪比低于 25倍时，PP能够作出正确检验。结果 同时表明，张建华、涂涛涛 (2007)的结论并不完整，它只是在固定干扰项为标准正态分布 维普资讯 http://www.cqvip.com ADF与 PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验 ·143 · 褂 肇 趟 证 肇 证 槲 肇 料 证 图 8 结构突变平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布 时做的实验，没有注意到干扰项方差变化时对检验结果的重大影响。在引用其结论时务必注 意这一点，否则容易得出错误的结论。 五、线性及准线性平稳时间序列的单位根检验分析 1．信噪比改变时线性趋势平稳的单位根检验结果 设确定性趋势项为线性趋势，S 一O．35( -F100)，t取 1到 300的整数，趋势项的方差 为 921．81，标准方差为 3O．36。 为干扰项，取为正态分布 N (0， )。让趋势项保持不 变，正态干扰项的标准方差从 0．1增加到 10，每次增加 0．1，共做 100次仿真实验，检验结 果如图 9所示。 可以看出，不管干扰项方差多大多小，ADF与 PP都能够作出完美的检验。 2．准线性趋势平稳的单位根检验结果 考虑趋势项 S 一O．35( -F100)。，t取 1到 300的整数。如果幂指数 b在 1附近取值， 比如 bE (O．5，1．5)，我们称为准线性趋势。 为干扰项，为标准正态分布 N (O，1)。因 为 ADF与 PP检验结果都依赖信噪比SNR，为了在同样的信噪比下比较不同幂指数对检验 结果的影响，我们先对趋势项用样本标准方差作归一化，再乘上信噪比，于是时间序列为： — S ／ ×SNR+N (O，1) (3) 分别在 15、3O、5O倍信噪比的情况下，对不同幂指数的准线性趋势平稳情况进行单位 根检验，结果如图 1O、11、12所示。 可以看出，在15倍信噪比的情况下，对ADF检验而言，6∈ (o．8，1．2)可看成是线 性趋势的；对 PP检验而言，bE (O．5，1．5)都可看成是线性趋势的。在 3O倍信噪比的情 况下，对 ADF检验而言，b∈ (0．9，1．1)可看成线性趋势 的；对 PP检验而言，b∈ (O．57，1．43)可看成是线性趋势的。在 5O倍信噪比的情况下，对 ADF检验而言，b∈ 维普资讯 http://www.cqvip.com · 144 · 《数量经济技术经济研究》2008年第 6期 干扰项标准方差 ADF检验 干扰项标准方差 PP检验 甜 鼙 ： 0 50 100 200 300 0 50 100 200 300 趋势与干扰项标准方差之比 ADF检验 趋势与干扰项标准方差之比 PP检验 图9 线性平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布 0．8 0．4 0．0 0．6 1．0 1．4 幂指数 ADF检验 0．6 1．0 1．4 幂指数 PP检验 图 10 15倍信噪比不同幂指数准线性平稳序列检出存在单位根的概率 0．8 0．4 0．0 0．6 1．0 1．4 幂指数 ADF检验 0．6 1．0 1．4 幂指数 PP检验 图 11 30倍信噪比不同幂指数准线性平稳序列检出存在单位根的概率 (0．92，1．08)可看成是线性趋势的；对 PP检验而言，bE (0．75，1．25)可看成是线性趋 势的。在可看成线性趋势的范围，可以用 ADF与 PP检验对非线性趋势平稳序列作出完全 瓣鼙 斜鼙 迥 褂鼙 褂鼙 斟鼙 料鼙 斟鼙 维普资讯 http://www.cqvip.com ADF与 PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验 ·145 · 碍 窭 遇 ：班L 幂指数 ADF检验 褂 率 遇 ：班L 0．6 1．0 1．4 幂指数 PP检验 图 12 50倍信噪比不同幂指数准线性平稳序列检出存在单位根的概率 正确的检验。 六、结 论 本文通过蒙特卡罗实验表明，ADF检验与 PP检验对数据生成过程非常敏感，它们对线 性趋势或无趋势平稳过程可以作出很好的检验判断。但对非线性趋势而言，如平方根趋势、 二次趋势、对数趋势、分段线性的结构突变趋势等，ADF检验与 PP检验趋向于将平稳过程 判断为存在单位根，得出错误的检验结果。 真实的经济数据很难令人信服地假设为线性趋势过程。不注意这一点，轻易引用 ADF 或 PP检验的结果常常得出错误的结论，误将非线性趋势平稳过程判断为存在单位根的非平 稳过程。当然，在一定的条件下，各种非线性趋势可以看成准线性的，从而利用 ADF与 PP 检验得出正确的结论。 仿真实验表明，信噪比小于 15倍时，非线性趋势过程可以看成准线性的，用 PP检验 得到正确的检验结果；信噪比小于 4倍时，非线性趋势过程可以看成准线性的，用 ADF检 验得到正确的检验结果。实验同时表明，对非线性趋势平稳的检验而言，PP检验得到正确 结论的可能性要好于ADF检验。随着干扰项对趋势项相对强度的增加，正确检验的可能性 也大大增加。 参 考 文 献 [1]P．Perron，1988，Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series[J]，Journal of Eco— nomic Dynamics and Control，12，297~ 332． E2]S．E．Said&I]L A．Dickey。1984。Testing for Unit Roots in Autoregressive-Moving Average Mod— els 0厂Unknozun Orde 1 J l，Biometrika，71，599~607． [3]张建华、涂涛涛：《结构突变时间序列单位根的 “伪检验”》EJ]，《数量经济技术经济研究》2007 年第 3期。 [4]栾惠德：《带有结构突变的单位根检验》EJ]，《数量经济技术经济研究》2007年第 3期。 (责任编辑：朱长虹；校对：吕小玲) 维普资讯 http://www.cqvip.com