构造一次函数证明不等式

构造一次函数证明不等式 一次函数是同学们非常熟悉的函数.由一次函数 的图象可知,如果 , ,则对一切 均有 .我们将这一性质称为一次函数的保号性.利用一次函数的保号性可以证明一些不等式. 例1 设 、 、 都是绝对值小于1的实数,求证: . 分析 因为 故可考虑 .显然有 根据保号性知,当 时, 而 故 ,即原不等式获证. 例2 、 、 都是小于 的正数, 求证: . 分析 构造一次函数.令 .因变量较多,可用主元法,把 当作主元,重新整理得: , 将 看作关于 的一次函数,注意到 , 当 时, 当 时, 这说明,当 与 时,函数图象上对应的两点 、 (横坐标分别为 、 )都在 轴上方,由一次函数的保号性可知,当 时, 即 例3 已知 、 、 ,求证: . 分析 首先将不等式化为 并整理成功之路 可将其看成是关于 的一次式. 证明:构造函数 ,这里 、 、 ,则 . 因为 所以,一次函数 ,当 时,图象在 轴的上方.这就是说,当 、 、 时,有 ,即 . 从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行: ⑴将不等式先移项使右边为零; ⑵将不等号左边的式子整理成关于某一未知数 的一次式 ; ⑶根据 的取值范围 ,确定 与 的符号,确定当 时 的符号进而证得不等式. 构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题,从而收到了以简驭繁的效果. PAGE 1 _1143291682.unknown _1143292170.unknown _1143292932.unknown _1143293190.unknown _1143305949.unknown _1143306067.unknown _1143306107.unknown _1143306143.unknown _1143306167.unknown _1143306097.unknown _1143305955.unknown _1143305472.unknown _1143305528.unknown _1143305552.unknown _1143305578.unknown _1143305587.unknown _1143305559.unknown _1143305543.unknown _1143305511.unknown _1143293192.unknown _1143293193.unknown _1143293191.unknown _1143293026.unknown _1143293086.unknown _1143293104.unknown _1143293189.unknown _1143293064.unknown _1143292956.unknown _1143292969.unknown _1143292941.unknown _1143292794.unknown _1143292826.unknown _1143292841.unknown _1143292819.unknown _1143292264.unknown _1143292265.unknown _1143292178.unknown _1143291920.unknown _1143292074.unknown _1143292145.unknown _1143292164.unknown _1143292137.unknown _1143291966.unknown _1143292065.unknown _1143291957.unknown _1143291842.unknown _1143291901.unknown _1143291911.unknown _1143291862.unknown _1143291781.unknown _1143291689.unknown _1143291705.unknown _1143202507.unknown _1143224480.unknown _1143291648.unknown _1143291674.unknown _1143224493.unknown _1143202530.unknown _1143202552.unknown _1143202517.unknown _1143183353.unknown _1143183457.unknown _1143183577.unknown _1143202490.unknown _1143183575.unknown _1143183576.unknown _1143183502.unknown _1143183427.unknown _1143183330.unknown _1143183331.unknown _1143183223.unknown _1143183329.unknown