等差与等比数列知识与方法总结

等差与等比数列知识与方法总结 一、知识结构与要点 定义 通项 —等差中项 a、b、c成等差 基本概念 推广 前n项和 等差数列 当d>0(<0) 时{ 为递增（减）数列 当d=0时 为常数 基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等 中共 成等差则 也成等差 （2）二次函数的基本性质 ①二次函数的三种示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n（a≠0）； ②当a>0时，f(x)在区间[p,q]上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。 若－ |β+ |; 当a>0时，f(α)0时，二次不等式f(x)>0在[p,q]上恒成立 EMBED Equation.3 或 或 ④ f(x)>0恒成立 EMBED Equation.3 或 f(x)<0恒成立 EMBED Equation.3 或 定义: 通项 等比中项：a b c成等比数列 基本概念 推广 前n项和 等比数列 与首末两端等距离的两项之积相等 成等比，若 成等差则 成等比 基本性质 当 或 时 { 为递增数列 当 或 时 { 为递减数列 当 q<0时 { 为摆动数列 当 q=1时 { 为常数数列 二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括 （一）．一般数列 数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{an}的通项公式an；数列的前n项和公式Sn； 一般数列的通项an与前n项和Sn的关系： （二）等差数列 1．等差数列的概念 [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 即： 2．等差数列的判定方法 （1）定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列。 （2）等差中项法：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列。 3．等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，则等差数列的通项为 。 [说明]：该公式整理后是关于n的一次函数。 4．等差数列的前n项和 （1）． （ 2.） [说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 5．等差中项 如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。即： 或 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 6．等差数列的性质 （1）．等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公差为 ，则有 （2）.对于等差数列 ，若 ，则 。 也就是： ，如图所示： （3）．若数列 是等差数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等差数列。如下图所示： （4）．设数列 是等差数列， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是前n项的和，则有如下性质：①奇数项 ②偶数项 ③ 所以有 ； 所以有 （5）．若等差数列 的前 项的和为 ，等差数列 的前 项的和为 ，则 。 （三）．等比数列 1．等比数列的概念 [定义]： [等比中项] 如果在 与 之间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么 ，即 。 2．等比数列的判定方法 （1）定义法：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。 （2）等比中项：对于数列 ，若 EMBED Equation.3 ，则数列 是等比数列。 3.等比数列的通项公式 如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项为 。 4.等比数列的前n项和 5.等比数列的性质 （1）等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公比为 ，则有 （2）.对于等比数列 ，若 ，则 也就是： 。如图所示： （3）若数列 是等比数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等比数列。如下图所示： 三、数列的通项求法 1.等差，等比数列的通项； 2. 3.迭加累加 ，迭乘累乘 ， ， ， ………， ………， ， ， 注： 4. 数列间的关系 (1) (2) （3）递推数列] ①能根据递推公式写出数列的前n项 ②由 解题思路：利用 变化（ⅰ）已知 （ⅱ）已知 ③若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式: (n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式； 四、数列的求和方法（详细讲解见六） 1.等差与等比数列求和公式 2.裂项相消法： 如：an=1/n(n+1) 3.错位相减法： , 所以有 如：an=(2n-1)2n 4.倒序相加法：如已知函数 求： 。 5.通项分解法： 如：an=2n+3n 五、其它方面 1、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：   (1)当 ,d<0时，满足 的项数m使得取最大值. (2)当 ,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 4、求数列{an}的最大、最小项的方法： 1 an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 2 (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 六、专题讲座一 《数列求和题的基本思路和常用方法》 数列求和是«数列»一章中的一个重要内容,是高考考试中的常见题型这类试 题形式变化多样,但又具有一定的规律可循.而多数考生在解题时由于思路不清、找不准方法常常出现种种错误,导致解题失败.现给出几种数列求和的不同方法,并就题例分述如下. 1． 公式法：很多求和问题可以利用(等差、等比)数列的前n项和公式解决,在 具体问题中记住并熟练应用下列几个常用公式： ① ; ② ;③ ④ ; ⑤ 例如: 已知数列 的通项公式为 ,求其前n项和 解: EMBED Equation.3 2． 折项分组法:把一不能直接求和的数列的每一项分解成几个可以求和的 新数列，分别求和. 例如：已知数列 的通项公式为 ,求其前n项和 解: EMBED Equation.3 +（ ）= 此方法常用于解形如数列 的前n项和(其中 是等差数列, 是等比数列). 3． 裂项相消法:把数列的每一项拆为两项之差,求和时使大部分项能“正”、 “负”相消, 变为求有限几项的和.常用裂项公式为： ① ;② ; ③ ;④ ; ⑤ 。 例如⑴求和 = 解: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ⑵已知数列 的通项公式为 ，求其前n 项和 解: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＝ 利用裂项相消法求和时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些项.此方法常用于解形如数列 的前n项和(其中 是等差数列) 4． 倒序相加法:一个数列,如果距首末等距离的两项的和相等，那么求这个数 列的前n项和可通过将正写和反写的和式相加,变为规则数列的求和。如等差数列前n项和公式的推导。 例如:求和 解: ① 又 ② ①+②得: EMBED Equation.3 此法常用于解形如 的和.(其中 是等差数列) 5.错项相减法：如果数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一个 因子成公差为d的等差数列,第二个因子成公比为q的等比数列,可将此数列前n项的和乘以公比q 然后错项相减从而求出Sn. 例如:求已知数列 的通项公式为 ，求其前n 项和 解: ① 则 EMBED Equation.3 ② ， ①-②得: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 6.变换法 ：利用转化思想将其求和问题转化为等差、等比求和题或利于求和式的题目。 例如:求数列： 的前n项和 . 解:若 ,则 EMBED Equation.3 若 , EMBED Equation.3 = 7.并项求和法:如果数列中各项正负相间(即通项公式中含有(-1) )且相邻两项的和为常数或奇数项、偶数项分别由等差数列、等比数列等规则数列的项构成的数列，求和时可以重新组合成几个规则数列求和进行计算，但要注意项数n的奇偶性,常常需分项数n为奇数和偶数来进行讨论。 例如：已知数列 的通项公式为 ，求前n 项和 解法一: ＝ EMBED Equation.3 当n为奇数时 ＝ ;当n为偶数时 ＝ 综上所述: 解法二: ＝ EMBED Equation.3 当n为奇数时 ＝ 当n为偶数时 ＝ 综上所述: 方法小结: 1. 数列求和的关键在于分析数列的通项公式的结构特征，在具体解决求和问 题中, 要善于从数列的通项入手观察数列通项公式的结构特征与变化规律，根据通项公式的形式准确、迅速地选择方法,从而形成“抓通项、寻规律、定方法”的数列求和思路是解决这类试题的诀窍. 2. 一般地，非等差（比）数列求和题的通常解题思路是：如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律一般可用错项相减法、倒序相加法来解决；如果每项可写成两项之差一般可用裂项法；如果能求出通项，可用拆项分组法；如果通项公式中含有(-1) 可用并项求和法. 专题讲座二、关联数列的数表问题专题训练 一、求数表所暗示的规律（即通项公式） 1．下面的数表所暗示的一般规律是 。 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 二、求表中指定的某些项 2．能够在如右上表所示的 正方 形的25个空格中填入正整数，使得每 一行，每一列都成等差数列，问必须 填进标有*号的空格的数是 。 3．能够在如右表所示的 正方形的9个空 格中填入正整数，使得每一行都成等差数列，每 一列都成等比数列，问必须填进标有*号的空格 的数是 。 4．全体正奇数排成右下表：其构成规律是：第 行恰有 个连续奇数；从第二行起，每一行第一个数与上一行最后的一个数是相邻奇数，则2005是第 行的第 个数。 三、求数表中所有项的和 5.如右图，在杨辉三角形中从上往下共有 行，其中非1的数字之和是 。 四、求数表中指定项的和 6． 个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知 , , ,试求 的值. 五、关联数表、数列的综合题 7．把自然数按上小下大、左小右大的

原则

组织架构调整原则组织架构设计原则组织架构设置原则财政预算编制原则问卷调查设计原则

排成如图三角形数 表（每行比上一行多一个数）：设 （i、j∈N*）是位于 这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数， 如 ＝8． （I）若 ＝2006，求i、j的值； （II）记三角形数表从上往下数第n行各数的和为 ，令 ．若数列 的前 项和为 ，求 的表达式． 专题二参考答案： 1．设第 行左边第一个数为 ，则 ， ， 。 叠加得 ，而第 行等式左边是 个奇数的和，故第 行所暗示的一般规律是 。 2．记 为从上到下第 行，从左到右第 列的格所填的数，则 。由第3行得 ，由第3列得 ，所以 。 由第2行得 ，由第3列得 所以 ，解得 。 所以 ， 。故标有*号的空格应填142。 3．设标有*号的空格应填 ，根据中间空格列方程得： 解得 ，故标有*号的空格应填4。 4． 行共有 个奇数，因此，第 行的最后一个数是 。从而第 行的第一个数是 令 。解得 ， 。 故2005是第45行第 个数，则 ，得 。 于是2005是第45行第13个数。 5．第1行数字和为1，第2行数字和为2，第3行数字和为4 ,第 行数字和为 ， 于是所有数字和 。 数表里共有 个1，故非1的数字和为 。 6．设第一行数列公差为 ,各列数列的公比为 ,则第四行数列公差是 ,于是可得 解此方程组,得 ,由于所给 个数都是正数,必有 ,从而有 , 于是对任意的 ,有 .得 , 又 两式相减后得: 所以 . 8．（I）三角形数表中前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝ 个数， 即第i行的最后一个数是 ， ∴要使 ＝2006的i是不等式 的最小正整数解． 因为 ，所以i＝63． 于是第63行的第一个数是 ． ∴j＝ ． （II）∵三角形数表中前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝ 个数， ∴前n行的所有自然数的和为 ＝ ＋ EMBED Equation.DSMT4 [ －1] ＝ ． ∴ ＝ － ＝…＝ ． ∴当n≥2时， ＝ ． 其前n项和 ＝1＋ ＝1＋ ． 0 y 2y x 2x 103 74 186 * 1 3 12 * 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 � EMBED Equation.3 ��� 第四题 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 � EMBED Equation.3 ��� 第五题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……………………… 第 1 页 共 15 页 _1066479796.unknown _1137315657.unknown _1166880313.unknown _1202363982.unknown _1202407980.unknown _1202408712.unknown _1202409131.unknown _1202409312.unknown _1202409534.unknown _1206123478.unknown _1232257641.unknown _1288513836.unknown _1232257606.unknown _1202409663.unknown _1206123013.unknown _1202409612.unknown _1202409477.unknown _1202409503.unknown _1202409445.unknown _1202409227.unknown _1202409257.unknown _1202409154.unknown _1202408878.unknown _1202409000.unknown _1202409074.unknown _1202408971.unknown _1202408779.unknown _1202408850.unknown _1202408767.unknown _1202408152.unknown _1202408525.unknown _1202408536.unknown _1202408366.unknown _1202408088.unknown _1202408122.unknown _1202408025.unknown _1202364551.unknown _1202407745.unknown _1202407837.unknown _1202407948.unknown _1202407791.unknown _1202407693.unknown _1202407718.unknown _1202407667.unknown _1202364259.unknown _1202364345.unknown _1202364415.unknown _1202364308.unknown _1202364029.unknown _1202364051.unknown _1202363999.unknown _1181628375.unknown _1199206318.unknown _1202361428.unknown _1202361987.unknown _1202363933.unknown _1202361443.unknown _1202323648.unknown _1202360989.unknown _1199868349.unknown _1199868399.unknown _1200764730.unknown _1199868373.unknown _1199868292.unknown _1199207596.unknown _1198950367.unknown _1198950920.unknown _1198951249.unknown _1198951818.unknown _1198952226.unknown _1198953921.unknown _1198952197.unknown _1198951478.unknown _1198950926.unknown _1198950783.unknown _1198950898.unknown _1198950761.unknown _1181628891.unknown _1198949436.unknown _1198949558.unknown _1198949257.unknown _1198948230.unknown _1198948610.unknown _1184952035.unknown _1181628732.unknown _1181628754.unknown _1181628484.unknown _1179467633.unknown _1179744394.unknown _1179744557.unknown _1179744684.unknown _1179744849.unknown _1179744941.unknown _1179744998.unknown _1179744826.unknown _1179744609.unknown _1179744495.unknown _1179744531.unknown _1179744457.unknown _1179467897.unknown _1179744211.unknown _1179744258.unknown _1179744171.unknown _1179467822.unknown _1179467854.unknown _1179467794.unknown _1176054579.unknown _1179467520.unknown _1179467575.unknown _1179467604.unknown _1179467544.unknown _1176054736.unknown _1179467332.unknown _1176054630.unknown _1166880318.unknown _1176053752.unknown _1176054557.unknown _1175342738.unknown _1166880315.unknown _1166880317.unknown _1166880314.unknown _1166880281.unknown _1166880298.unknown _1166880302.unknown _1166880306.unknown _1166880311.unknown _1166880312.unknown _1166880308.unknown _1166880309.unknown _1166880310.unknown _1166880307.unknown _1166880304.unknown _1166880305.unknown _1166880303.unknown _1166880300.unknown _1166880301.unknown _1166880299.unknown _1166880294.unknown _1166880296.unknown _1166880297.unknown _1166880295.unknown _1166880292.unknown _1166880293.unknown _1166880284.unknown _1137316278.unknown _1166880272.unknown _1166880275.unknown _1166880276.unknown _1166880274.unknown _1137320234.unknown _1166880271.unknown _1147020271.unknown _1137316292.unknown _1137320232.unknown _1137316150.unknown _1137316185.unknown _1137316198.unknown _1137316174.unknown _1137316031.unknown _1137316085.unknown _1137315805.unknown _1094648296.unknown _1102604751.unknown _1102604848.unknown _1102605312.unknown _1106577180.unknown _1106577343.unknown _1106577880.unknown _1106577936.unknown _1106577928.unknown _1106577793.unknown _1106577879.unknown _1106577225.unknown _1102605329.unknown _1102605310.unknown _1102605311.unknown _1102605308.unknown _1102605309.unknown _1102605306.unknown _1102605307.unknown _1102604854.unknown _1102604759.unknown _1102604846.unknown _1102604847.unknown _1102604841.unknown _1102604839.unknown _1102604756.unknown _1094733737.unknown _1102604738.unknown _1102604741.unknown _1102604720.unknown _1094733840.unknown _1094733934.unknown _1094734094.unknown _1094733776.unknown _1094649190.unknown _1094649465.unknown _1094649728.unknown 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