数列的综合应用

.第十六节　数列的综合应用[自我反馈]1．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝aeq\o\al(2,n)(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝(　　)A．－1或2　　　　　　　B．0或2C．2D．1解析：选C　由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝aeq\o\al(2,n)，解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数)，又bn＋1bn－1＝beq\o\al(2,n)＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，当an为偶数时，,3an＋1，当an为奇数时.))若a6＝1，则m所有可能的取值为(　　)A．{4,5}B．{4,32}C．{4,5,32}D．{5,32}解析：选C　an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，当an为偶数时，,3an＋1，当an为奇数时，))注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数．由a6＝1一直往前面推导可得a1＝4或5或32.3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：由题意知等差数列{an}的公差d＝eq\f(a3－a1,2)＝2，则a4＝8，a5＝10，设所加的数为x，依题意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11.：－114．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得eq\f(21－2n,1－2)≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.答案：65．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，故an＝2n－1(n∈N*)．又数列{bn}为等比数列，设公比为q，∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝eq\f(21－2n,1－2)－n.所以Tn＝2n＋1－2－n.考向一　等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2016·模拟)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)求数列{bn}的前n项和.【母题变式】1.若本例题条件“{bn-an}是等比数列”变为“{bn-an}是等差数列”,其他条件不变,求数列{bn}的通项公式.2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列”变为“an+2an-1=”,求数列{bn}的通项公式.【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则=　(　　)A.2B.3C.5D.6【加固训练】1.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q为　(　　)A.-2B.1C.-2或1D.2或-12.(2016·模拟)已知数列{an}是公差大于零的等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)设cn=anan+1,求数列的前n项和Tn.因为d>0,所以d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2×2n-1=2n,即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).考向二　数列中的图表问题【典例2】(1)(2016·模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:12　34　5　67　8　9　10…　…　…　…　…按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.(2)(2016·模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8. a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 … a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 … a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 … a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 … … … … … …求数列{an,2}的通项公式.【解题导引】(1)求出第n行(n≥3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)⇒q2(1+d)=8,解得d=1,q=2.a1,2=2⇒an,2=2×2n-1=2n.【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键(1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置.(2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出.(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式.【变式训练】(2016·模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列数为aij(i,j∈N*),则a43=______.【加固训练】1.(2016·模拟)已知an=()n,把数列{an}的各项排列成如下的三角形形状.a1a2　a3　a4a5　a6　a7　a8　a9………………………记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=　(　　)2.(2016·模拟)正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn=______.【解析】由题意知,前n组共有1+3+5+…+(2n-1)=n2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一个数为(n-1)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n项和公式可得3.(2016·模拟)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2　　a3a4　　a5　　a6a7　　a8　　a9　　　a10……记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足=1(n≥2).(1)证明数列成等差数列,并求数列{bn}的通项公式.(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.考向三　数列的实际应用问题【典例3】(2016·日照模拟)某大学教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?【规解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下:第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清;第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元;…第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元.10年后应还款总数为20000(1+10%)10.【一题多解】第1次还款x元之后欠银行20000(1+10%)-x=20000×1.1-x,第2次还款x元后欠银行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x,…【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表: 数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少 等比数列 简单递推数列 指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列{an}满足an+1=1.2an-a(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求an还是Sn,特别是要弄清项数.【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?(参考数据:1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)答:到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房的面积构成数列{bn},由题意可知,{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400×1.08n-1.由题意可知an>0.85bn,有250+(n-1)×50>400×1.08n-1×0.85.当n=5时,a5<0.85b5,当n=6时,a6>0.85b6,即满足上述不等式的最小正整数n为6.答:到2020年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【加固训练】1.(2016·模拟)《丘建算经》卷上第22题为:今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布,则每天比前一天多织______尺布.　(　　)2.某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污.现以降低SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨,已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨.(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨?(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度.在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p,为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以,求p的取值围.答:按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约为43.5万吨.答:SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值围为(4.94%,1).考向四　数列与函数、不等式的综合问题【考情快递】【考题例析】命题方向1:数列与函数的综合问题【典例4】(2014·高考)设fn(x)=x+x2+…+xn-1,n∈N,n≥2.命题方向2:数列与不等式的综合问题【典例5】(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式.(2)证明:【技法感悟】1.解决函数与数列的综合问题的基本思路(1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点;因此可考虑借助数形结合的思想思考数列问题.(2)可将数列问题转化为函数问题,借助函数的知识,如单调性、最值来解决.2.数列中不等式的处理方法(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.(3)比较方法:作差或者作商比较.【题组通关】1.(2016·模拟)已知等比数列{an}的首项a1=2014,公比为q=,记bn=a1a2a3…an,则bn达到最大值时,n的值为　(　　)A.10B.11C.12D.不存在2.(2016·模拟)已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值围是__________.3.(2016·滨州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中b2=5,且公差d=2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)是否存在正整数n,使得a1b1+a2b2+…+anbn>60n?若存在,求出n的最小值,若不存在,请说明理由.【解析】(1)a1=1,an+1=2Sn+1,所以当n≥2时,an=2Sn-1+1,相减得:an+1=3an(n≥2),又a2=2a1+1=3,所以a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,an=3n-1.又b2=b1+d=5,所以b1=3,bn=2n+1.(2)an·bn=(2n+1)·3n-1,令Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1①,3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n②,①-②得:-2Tn=3×1+2(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n,所以Tn=n×3n,所以n×3n>60n,即3n>60,当n≤3时,3n<60,当n≥4时,3n>60,所以存在n的最小值为4.课时提升作业1.(2014·高考)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的　(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.当a1<0,q>1时,{an}是递减数列;当{an}为递增数列时,a1<0,0<q<1或a1>0,q>1.因此,“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】(2016·模拟)在公差不为0的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=　(　　)A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7,所以2a3-+2a11=4a7-=0,解得a7=0或4,因为{bn}为等比数列,所以bn≠0,所以b7=a7=4,b6b8==16.2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于　(　　)A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】选A.由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.(2016·聊城模拟)已知a,1,c成等差数列,a2,1,c2成等比数列,则log(a+c)(a2+c2)=　(　　)A.1B.1或log26C.3D.3或log26【解析】选B.由条件得ac=±1,所以log(a+c)(a2+c2)=log2(4-2ac)=1或log26.4.(2016·模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小的一份为　(　　)A.B.C.D.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20,由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得d=,所以最小1份为a-2d=20-=.5.(2016·模拟)已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于　(　　)A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+====2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则m==3,n==6,因此+=+=2.6.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n的值为　(　　)A.5B.6C.7D.8【解析】选C.由已知式子变形得3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以8为首项,-为公比的等比数列,则|Sn-n-6|=|an-1+an-1-1+…+a1-1-6|==6×<,化简得3n-1>250,故满足条件的最小整数n的值为7.7.(2016·模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有20%改选B菜;而选B菜的,下星期一会有30%改选A菜,用an表示第n个星期一选A菜的人数,如果a1=428,则a4的值为　(　　)A.324B.316C.304D.302【解析】选B.依题意有:an=an-1+(500-an-1)=an-1+150(n≥2,n∈N*),即an-300=(an-1-300)(n≥2,n∈N*),an=128·+300,因此a4=128·+300=316.【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月累积的需求量Sn(单位:万件)近似地满足Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度,需求量超过1.5万件的月份是　(　　)A.5月,6月　　　　B.6月,7月C.7月,8月D.8月,9月【解析】选C.设第n个月的需求量为an,因为从年初开始的n个月累积的需求量为Sn(n=1,2,3,…,12).所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(21n-n2-5)-[21·(n-1)-(n-1)2-5]=(-n2+15n-9).当n=1时,a1=S1=,适合上式,综上可知,an=(-n2+15n-9).令an>1.5,即(-n2+15n-9)>1.5,解得6<n<9.又n的取值为1,2,3,…,12,所以n=7或n=8.8.已知数列{an}为等差数列,a1=1,公差d≠0,a1,a2,a5成等比数列,则a2016的值为　　　　.【解析】由已知得=a1a5,所以(1+d)2=1+4d,d=2,所以a2016=1+2015×2=4031.答案:40319.(2016·滨州模拟)在等比数列{an}中,0<a1<a4=1,则能使不等式++…+≤0成立的最大正整数n是　　　　.【解析】设等比数列公比为q,由已知得a1q3=1,且q>1,++…+=(a1+a2+…+an)-=-≤0,化简得q-3≤q4-n,则-3≤4-n,n≤7.答案:710.(2016·模拟)设数列{an}满足a2+a4=10,点Pn(n,an)对任意的n∈N*,都有向量=(1,2),则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　.【解析】由题意可知,Pn+1(n+1,an+1),所以=(1,an+1-an)=(1,2),所以an+1-an=2,所以数列是以2为公差的等差数列,又a2+a4=10,所以a1=1,an=2n-1,Sn=1+3+…+(2n-1)=n2.答案:n211.(2016·天津模拟)如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项(如表所示),按如此规律下去,则a2017+a2018+a2019=　　　. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6【解析】a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4等,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,…,偶数项为1,2,3,…,故a2017+a2019=0,a2018=1009.答案:100912.(2016·模拟)已知数列与满足:a1+a2+a3+…+an=log2bn.若为等差数列,且a1=2,b3=64b2.(1)求an与bn.(2)设cn=·,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)由已知得:a1+a2+a3=log2b3,①a1+a2=log2b2,②①-②得,a3=log2=6,因为a1=2,所以公差d=2,所以an=2n,因为a1+a2+…+an=log2bn,即=log2bn,所以bn=2n(n+1).(2)由题意得cn=(3n+1)4n-1,Tn=4+7·4+10·42+…+(3n+1)4n-1,③4Tn=4·4+7·42+10·43+…+(3n+1)4n,④③-④得:-3Tn=4+3·4+3·42+…+3·4n-1-(3n+1)4n,-3Tn=4+3(4+42+…+4n-1)-(3n+1)4n,-3Tn=4+3·-(3n+1)4n,整理得:Tn=n·4n(n∈N*).13.记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式an及Sn.(2)若cn=n2+λan,n=1,2,3,…,问是否存在实数λ,使得数列{cn}为单调递增数列?若存在,请求出λ的取值围;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)设公差为d,构造方程组求出a1,d,进而可求an,Sn.(2)利用cn+1-cn>0恒成立求解.【解析】(1)设公差为d,由S3=9,=a3·a8,得:解得:a1=2,d=1.所以an=n+1,Sn==+n.(2)由题知cn=n2+λ(n+1),若使{cn}为单调递增数列,则cn+1-cn=(n+1)2+λ(n+2)-[n2+λ(n+1)]=2n+1+λ>0对一切n∈N*恒成立,即:λ>-2n-1对一切n∈N*恒成立,又φ(n)=-2n-1是单调递减的,所以当n=1时,φ(n)max=-3,所以λ>-3.【加固训练】(2016·模拟)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn=anloan,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.【解析】(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,所以a2+a4=20,所以解得或又数列{an}单调递增,所以q=2,a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.(2)因为bn=2nlo2n=-n·2n,所以Sn=-(1×2+2×22+…+n·2n),2Sn=-[1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1],两式相减,得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,所以Sn+n·2n+1>62,即2n+1-2>62,即2n+1>64=26,所以n+1>6,从而n>5,故正整数n的最小值为6.所以使Sn+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值为6.14.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2Sn·Sn-1(n≥2).求证:++…+≤-.【证明】因为an=-2Sn·Sn-1(n≥2),所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1(n≥2).两边同除以Sn·Sn-1,得-=2(n≥2),所以数列是以==2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.将Sn=代入an=-2Sn·Sn-1,得an=因为=<=(n≥2),=,所以当n≥2时,++…+=++…+<++…+=-;当n=1时,==-.综上,++…+≤-.【加固训练】(2016·模拟)已知公差不为0的等差数列的前n项和为Sn,S5=25,且a2,a5,a14成等比数列.(1)求数列的通项公式.(2)设bn=,Tn=b1·b2·b3·…·bn,求证:Tn≥.【解析】(1)设公差为d(d≠0),因为S5=25,所以5a1+d=25,即a1+2d=5.因为a2,a5,a14成等比数列,所以(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,即6a1d-3d2=0.因为d≠0,所以d=2a1,所以a1=1,d=2.则an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)因为bn==,所以Tn=b1·b2·b3·…·bn=×××…×.因为>,n∈N*,所以当n≥2时,=××××××…××>××××××…××=.即Tn>,n≥2.又当n=1时,T1=≥=成立,综上,当n∈N*时,Tn≥成立.【新题快递】1.【2015高考，文10】已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则，．【答案】【解析】由题可得，，故有，又因为，即，所以.2.【2016高考文科】（本小题满分12分）已知数列{}的首项为1，为数列的前n项和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差数列，求的通项公式；（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）已知的递推式，一般是写出当时，，两式相减，利用，得出数列的递推式，从而证明为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到的表达式，再由解出的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率.由解得.所以，，3.【2014，文19】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，学科网函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：据题设可得，.（1）当时，将相除，可得商为常数，从而证得其为等比数列.（2）首先可求出在处的切线为，令得，由此可求出，.所以，这个数列用错位相消法可得前项和.4.【2014年普通高等学校招生全国统一考试卷18】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式.（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（Ⅱ）当时，，显然，不存在正整数，使得.当时，，令，即，解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.综上所述，当时，不存在正整数；当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.单纯的课本容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。._1531507897.unknown_1531508077.unknown_1531508283.unknown_1531508590.unknown_1531508708.unknown_1531508748.unknown_1531508618.unknown_1531508356.unknown_1531508099.unknown_1531507979.unknown_1531508048.unknown_1531507950.unknown_1531507669.unknown_1531507741.unknown_1531507607.unknown