卢卡西维茨对逻辑的贡献

卢卡西维茨对逻辑的贡献 〔波兰 〕 科塔本斯基 波兰逻辑发展的最近一个时期的杰出人物是卢卡西维茨 , 他是特瓦多斯基的学生 , 后来 继承和发展了皮尔士 、 耶芳斯 、 施罗德 掀 、 弗雷格 、 罗素和怀特海 , 维拉 蒂 、 库蒂拉 和西欧其他逻辑泰斗的成就 。 他首先研究 、 思考的是什么 他 发现了什么 解释了什么 把所有这些问题归为一点 , 我们可以回答说 , 卢卡西维茨创造了 一个可以进行命题演算的完整的公理系统系列 他第一个建立了多值逻辑系统 他把亚里士 多德的三段论公理化 他证明了亚里士多德的三段论与斯多葛派的逻辑之间的真正关系 他 发掘了斯多葛逻辑的基本 , 从而为该派逻辑的历史特点和评价带来一场革命 他证明了 大量的逻辑定理 , 他发明了一个没有括号和其他标点符号的逻辑断定符号系统 而且 , 他还 阐述了可能性概念并提出一个倍受赞誉的新的推理分类 ①。 我们不打算长篇讨论这个大题 目 , 我们只讨论它的要点 , 同时还要谈一下卢卡西维茨的努力与他一直注意的现代世界的逻辑发 展的相互关系 。 命题演算的公理系统 。 对“命题演算 ,, 一词当然要解释一下 , 它被称为逻辑的基础部分 , 较之亚里士多德的传统逻辑更为基本 。 传统逻辑有断定 , 或更明确地说 , 有名词范围之间的 相互依属关系 , 比如断定 如果有些 是 例如 , 有些哺乳动物是食肉动物 , 则有些 是 有些食肉动物是哺乳动物 。 表述这条论题的字母 和 叫作名词变项 。 命题演算可以得 出其他几个论题 如果从 得出 , 则从非 得出非 。 用这个论题可以表达 如果从存 在着正义得出可以保护受伤者 , 则从不允许保护受伤者就可以得出不存在正义 。 这里 和 是命题变项 , 因为它们不代表名词而代表完整的命题 。 因此命题演算是一个断定整体 , 它涉 及命题不同组织之间的相互关系 。 命题之间的相互关系是可以判定的 , 而且与构成这些命题 的名词没有关系 。 我们上面用例子表述的断定意谓 如果第二个命题与第一个命题是以条件 式联系起来的 , 那么第一个命题的否定和第二个命题的否定也是用这种条件式联系起来的 。 但是命题还有其他许多种结合 , 比如以 ,’且 ’’形式表达的合取式 , 以 或 ’’形式表达的析 取式 。 这里又得出命题演算的论题 如果 且 , 则 或 , 更简单地说 , 两个命题的合 取式蕴含它们的析取式 或者 , 如果并非 且 , 则非 或非 , 或更简单地说 , 合取式 的否定蕴含其否定支的析取式 。 我们用来说明的这些例子极其简单 , 但是命题演算包含大量 断定 , 其中很多断定非常复杂 。 顺便说一句 , 近十年来 , 人们已经认识到命题公式以其构成 模式给电子研究技术带来直接的帮助 , 这使它们应用于计算机的构造 。 然而 , 这不是卢卡西 维茨和其他数理逻辑大师如此偏爱地发展命题演算的原因 。 他们在这方面表现出的兴趣主要 作者是波兰社会科学院前院长 。 本文是他在波兰社会科学院图书馆 年 月 巧 日在罗马召开的会议上讲演的一 部分 , 讲演的题 目是《波兰逻辑学 特点及外来影响 》 , 本文标题系译者所加 。 —译者① 波库斯基和斯卢佩基 《卢卡西维茨的逻辑著作》 , 科塔本斯基《 卢卡西维茨论逻辑史的著作 》 , 载《逻辑研究 》 卷 年波文版 。 在于 对纯数学中采用的论证结构进行分析将不可避免地导致这种命题演算的依属性 , 而且 日常生活中采取的推理常常是根据命题演算的某些相对简单的模式来进行的 此外 , 有些常 见的推理错误不过是违反了命题演算的简单断定 。 汇集命题演算的定理必然要在演绎系统之中。 这个任务在于突出这种逻辑划分的一组公 理 , 列出全部基本词汇 , 借助这些基本词汇来定义其他词汇 , 从公理和专门定义 出发 , 运用 已给定的 自明的变形规则推演出整个系列 , 就象代数中建立和转换方程式那样 。 这样我们就 解释了什么叫 “ 命题演算 ,, , 它也许使人想到这个演算实际上要进行一些数学演 算 。 众 所 周 知 , 弗雷格创立了命题演算的第一个公理系统 , 其他系统接踵而来 。 各种系统的主要区别在 于基本词汇和公理的选择 , 但是其改进的趋向却都是减少基本词汇和公理的数量以及构成公 理的符号的级量 。 卢卡西维茨顺应这个趋向 , 简化了弗雷格 、 怀特海和罗素 、 希尔伯特 、 尼 科的公理系统 , 并创立了自己的公理系统 。 结果 , 他的工作使他 自己成为现代世界上也许可 以说是最杰出的命题演算的行家 。 最先扩展命题演算的成就也应归功于卢卡西维茨 , 这里我们指的是创造命题演算的第一 个多值系统 , 在命题演算中 , 人们根据与给定的系统的原则相符合的直陈命题所能获得的逻 辑值的数量 , 区别出二值逻辑 , 三值逻辑 , 值逻辑 , 等等 。 而且 , 逻辑值首先是真和假 。 此外 , 如果人们承认所有确切的断定或者是真的或者是假的 , 这就限于二值逻辑的范围 。 相 反 , 如果人们承认一个给定论题既不真 , 也不假 , 也许是另一种情况 , 比如 , 也许是不定的 或者更简单地说是可能的 , 结果人们就引人第三个逻辑值 , 这就是三值逻辑。 同时 , 也可以 承认直陈命题有 值 , 因此这是 值逻辑 。 今天 , 存在着各种各样的命题演算系统 三值 的 、 值的 、 甚至无穷值的 。 卢卡西维茨当之无愧地是概述三值命题演算的第一人 。 在三值 命题演算中 , 表示整个命题或者真 、 或者假这条规律的析取式 自然不再起作用了 , 因此产生 了非亚里士多德逻辑系统 而且早在此以前 , 当人们否定了过直线外给定的一点只能引一条 直线与该直线平行这个论题之后 , 也因此而产生了非欧几何系统 。 卢卡西维茨正是想在逻辑 上完成类似罗巴切夫斯基发现的做法 。 他希望象扩展几何学领域一样 , 这个发现最终能够扩 展逻辑的领域 。 与卢卡西维茨同时 , 波斯特也提出一个三值逻辑系统 , 但是就这 个 问 题发表第一篇论文的是卢卡西维茨 ⑧。 非亚里士多德逻辑系统至今好象仍不适合广泛应用 , 尤 其是人们还不能将多值逻辑应用于或然性理论 , 尽管它似乎可以协调既不真也不假的逻辑值 和一给定的断定的或然性程度 。 然而这些系统已经表明可用于解决二值标准逻辑领域的某些 问题 。 它们可以为建立模态逻辑系统更好地提供方便 , 也就是说 , 在模态逻辑中除了一给定 命题的否定 比如 , 命题是 ,’ ,, , 除了命题 ,’卜 ,, 之外 , 还引人“ 可能 刀 , 因而引人“ 必然 办 这样形式的命题 。 卢 卡西维茨与塔尔斯基一道 , 描述了模态逻辑系统 。 这里最好补充一句 。 卢卡西维茨用现代的表述方式回答了亚里士多德关于预测或预见事 实的命题逻辑值的老问题 , 这些预测或命题依赖于活动主体根据 自己的企图所做的有关未来 的判定 。 例如 , “ 明天将发生海战或者明天将不发生海战力这样的命题承认这样一个事实 , 这 场海战发生与否 , 取决于总司令 。 卢卡西维茨从亚里士多德得到启发 , 承认 海 战 或 者 将 发 生 , 或者不发生 , 但是 由于在判定之前这个析取式的每一项既不真也不假 , 就不能恰当地说 这场海战将既不发生 , 也不不发生 , 对这些支命题的预测既不真也不假 , 却偏偏有第三个逻 ② 卢卡西维茨《 三值逻辑 》载《哲学运动》 卷 波文版 年 波斯特《初等命题的一般理论导言 》载 《 美国数学通 讯 》 卷 珍 年 辑值 , 可以说属于 中间状态 。 因此 , 亚里士多德至少承认对预测问题可以采取这样一种解决 办法 , 所以尽管他在 自己的逻辑中只考虑真假作为逻辑值 , 并且看到上述例外 , 他却没有非 常严格地说出三值逻辑 , 即非亚里士多德逻辑 。 正因为如此 , 卢卡西维茨逐渐地更愿意称这 样的系统为非克吕西普斯系统 , 因为正是斯多葛逻辑的创始人克吕西普斯坚决地捍卫了二值 逻辑 。 卢卡西维茨的非决定论思想常常围绕着可能性和或然性的观念 。 正象我们在他的早期科 学著作中看到的那样 , 他在考虑这个问题时创造出或然性概念 , 不是作为事实的性质 , 而是 作为某种命题的性质 。 他以这种方式考虑问题比凯因斯早几年 , 可是后来后者被认为是这个 概念的创始人 。 ⑧在卢卡西维茨看来 , 不能充分确定的命题就是或然的 , 因此 叫作 “命 题 函 项 ”, 例如以下是投掷般子的一个命题函项 ,’ 是得出五点的投掷 ” , 这里变项 可以代替 般子投掷的名称 , 而投掷次数是有限的 。 测量这个命题函项的或然性的程度 , 要以得出五点 的投掷次数做分子 , 以投掷般子的次数做分母 。 现在我们再回到命题演算这个卢卡西维茨得心应手的领域 。 我们前面说过他重新评价了 斯多葛逻辑的历史 。 这正是初级形式的命题演算 , 而不是复杂的亚里士多德的三段论模式 , 正如人们根据逻辑史权威的意见 我认为主要是普兰托的意见 所认为的那样 。 继卢卡西维茨 的研究之后 , 了解情况的人再也不怀疑斯多葛派创造的较之亚里士多德更为基本的不同的逻 辑分支 , 即命题之间关系的逻辑 , 这与命题本身的主项及其属性之间的关系毫无关系 。 亚里 士多德的三段论在年代上更早 , 但是从逻辑系列的次序来看 , 却是第二位的 , 因为它是关于 事物性质的 。 而且非正式地说 , 它借用了斯多葛逻辑的某些模式 , 比如构成易位的模式 , , , ’ 。 若是说出卢卡西维茨是在命题演算及其发展的领域 , 还是在亚里 士 多 德 的三段论的领域 , 表现出更加革新的思想 , 这的确很不容易 。 他参照原著 , 历史地深人地研 究了亚里士多德的三段论 , 留下一个颇有价值的论题 。 这个论题出现在他的一本书中 , 该书 写于都柏林 , 并在牛津出版 , 题为《从现代逻辑观点看亚里士多德的三段论 》 年第二版 。 读者们在这本书中发现作者尖锐地批判了那些对亚里士多德逻辑的错误解释 , 深刻地反映了 亚里士多德逻辑 , 并且从他的断定得出一个公理系统 。 这个公理系统在亚里士多德的概念和 原则范围之内 , 只加 了 《工具论 》 中的一条非存在原则 , 但是完全符合亚里士多德本人的精 神 , 即名词之间要同一 , 即同一律 。 最后还应该说一下上述卢卡西维茨的另一个功绩 , 即他的无括号表示逻辑公式的方法 。 拥护逻辑斯蒂的人并不特别客观地估计这种方法的价值 , 而是把它当作一种纯技术性成果 。 现在人们干脆称它为“波兰符号 ,, 。 它有这样一种性质 , 即不要括号 , 也不要任何标点符号 。 我们不想详细地解释它 , 这会使听众感到厌烦 。 我们仅仅要说 , 它是令人钦佩的 , 因为是它 使根据规则严格进行的逻辑演绎成为可能 。 如果不是在逻辑领域中 , 我们还在哪里有权并且 有责任关心绝对的严格性呢 下面有一个例子 前面提到过易位这样一个逻辑规则 , 它的符 号化是 。 我们现在用 替换 , 用 十 替换 , 用 , 替换 , 这样就 不得不引入括号 , 得出 〔 ‘ 」 , ‘ 十 尸 〕。 相反 , 在 “波兰符号 , 表示的公式 中进行替换就没有这样的拼凑 , 我们可以得到 。 今天 , 卢卡西维 茨的符号已经在全世界的逻辑领域 中得到广泛的应用 。 王 路摘译 ③ 波考斯基和斯卢佩基 “ 在他的理论中 , 最有价值和最独特的东西是他把或然性定义为语言形式的而不是事件的 性质 , 在这一点上他比《论或然性 》中包含的凯因斯的思想早八年 。 ”