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复变函数与积分变换试题与答案 一 判断正确与错误（每题 3 分） 1．若 与 都是调和函数，则( , )u x y ( , )v x y ( ) ( , ) i ( , )f z u x y v x y= + 是解析函数。 （ ） 2．因为 ，所以在复平面上| sin | 1z ≤ sin z有界。 （ ） 3．若 ( )f z 在 解析，则0z ( ) ( )nf z 也在 解析。 （ ） 0z 4．对任意的 ， （ ） z 2Ln 2 Lnz = z 二 填空（每题 3 分） 1． i 2 2i =− − ， iarg 2 2i =− − 。 2． ln( 3i)− = ， ii = 。 3. 在 映 照 2( ) 2 4f z z= + z 下 ， 曲 线 C 在 iz = 处 的 伸 缩 率 是 ，旋转角是 。 4. 是0z = 2 4 1 e z z − 的 阶 极 点 ， 2 4 1Re [ ,0] zes z − = 。 三 解答题（每题 7分） 1. 设 2 2 2( ) i( )2f z x axy by cx dxy y= + + − + + 。问常数 为何值时, , ,a b c d ( )f z 在 复平面上处处解析？并求这时的导数。 2. 求 1 3( 1)− 的所有三次方根。 3． 2 d C z z∫ 其中C是 到0z = 3 4iz = + 的直线段。 4． 。(积分曲线指正向) | | 2 e cos dz z z z=∫ 5． | | 2 d ( 1)( 3)z z z z z= + −∫ 。(积分曲线指正向) 6 将 1( ) ( 1)( 2 f z z z = − − ) 在1 | 上展开成罗朗级数。 | 2z< < 7.求将单位圆内 | | 保形映照到单位圆内 | |1z < 1w < 且满足 1( ) 0 2 f = ， 1 πarg ( ) 2 2 f ′ = 的分式线性映照。 四 解答题（1,2,3 题各 6 分, 4 题各 9分） 1．求 （ k为正实数）的傅氏变换。 0 0( ) e 0kt t f t t− <⎧= ⎨ ≥⎩ 2. 设 2 2( ) e e sin 6 ( )t tf t t t t tδ−= + + + , 求 ( )f t 的拉氏变换。 3. 设 2 21( ) ( 1F s s s= + ) ，求 的逆变换。 ( )F s 4. 应用拉氏变换求解微分方程 2 3 e (0) 0, (0) 1 ty y y y y −′′ ′⎧ + − =⎨ ′= =⎩ 复变函数与积分变换试题答案 一 判断正确与错误（每题 3 分） 1 若 与 都是调和函数，则( , )u x y ( , )v x y ( ) ( , ) i ( , )f z u x y v x y= + 是解析函数。（×） 2．因为 | s ，所以在复平面上in | 1z ≤ sin z有界。 （×） 3．若 ( )f z 在 解析，则0z ( ) ( )nf z 也在 解析。 （√） 0z 4．对任意的 ， （×） z 2Ln 2 Lnz = z 二 填空（每题 3 分） 1． i 2 2 2i 4 =− − ， i πarg[ ] 2 2i 4 3= −− − 。 2． πln( 3i) ln 3 i 2 − = − , π 2 πi 2i e k− −= 。 3.在映照 2( ) 2 4f z z= + z下，曲线C在 iz = 处的伸缩率是 4 2 ，旋转角是 π 4 。 4. 是0z = 2 4 1 e z z − 的3阶极点， 2 4 1 e 4Re [ ,0] 3 z s z − = − 。 三 解答题（每题 7分） 4. 设 2 2 2( ) i( )2f z x axy by cx dxy y= + + − + + 。问常数 为何值时, , ,a b c d ( )f z 在 复平面上处处解析？并求这时的导数。 解: 因为 2u x ay x ∂ = +∂ , 2 u ax by y ∂ = +∂ , 2 v cx dy x ∂ = +∂ , 2 v dx y y ∂ = +∂ ,(2 分)则 对任意的 ( , )x y 有 u v x y u v y x ∂ ∂⎧ =⎪∂ ∂⎪⎨∂ ∂⎪ = −⎪∂ ∂⎩ 即 2 2 2 2x ay dx y ax by cx dy + = +⎧⎨ + = − −⎩ (1 分) 可得: (2 分 ). 这 时 , 2, 1a d b c= = = = − ( ) i 2( ) 2i( ) 2 2iu vf z x y x y z z x x ∂ ∂′ = + = + − − −∂ ∂ 或 (2 分) 5. 求 1 3( 1)− 的所有三次方根。 解: 1 3 2 +1 2 +1( 1) cos π+isin π 0,1, 2 3 3 k k k− = = (4 分), 0 π π 1 3cos +isin = +i 3 3 2 2w = , 1 cos π+isinπ = 1w = − , 2 5π 5π 1cos +isin = i 3 3 2 2w = − 3 (3 分) 3． 2 d C z z∫ 其中C是 到0z = 3 4iz = + 的直线段。 解: 原式 3 33 2 2 3 4i 3 4i 0 0 (3 4i)[ d ] [ ] (2 3 3 zz z + + += = =∫ 分 分 分)或 原式 34 13 2 3 3 3 3 00 4 4 4(1 i) d (1 i) [ ] 9(1 i) (2 3 3 3 3 xx x= + = + = +∫ 分 分 分) 4． 。(积分曲线指正向) | | 2 e cos dz z z z=∫ 解:原式=0. (7 分) 5． | | 2 d ( 1)( 3)z z z z z= + −∫ 。(积分曲线指正向) { } (2 0 1 2πi Res[ ,0] Res[ , 1] (3 1 1 πi2πi[lim lim ] (2 ( 1)( 3) ( 3) 6z z f f z z z z→ →− = + − + = −+ − − 分) 解: 原式 分) = 分) 6 将 1( ) ( 1)( 2 f z z z = − − ) 在1 | 上展开成罗朗级数。 | 2z< < 1 1 0 1 1 1(1 ] (3 3 2 1 2 n n n n z z z z ∞ + + = = − + +− − ∑解: 原式 分)=- 分) 7.求将单位圆内 | | 保形映照到单位圆内 | |1z < 1w < 且满足 1( ) 0 2 f = ， 1 πarg ( ) 2 2 f ′ = 的分式线性映照。 i 1 2( ) e (411 2 z w f z z θ − = = − 解: 设 分) , 则 i1 4 π( ) e (2 2 3 2 f θ θ′ = ⇒ = 分) , 故 2 1i (2 2 zw z −= − 分). 四 解答题（1,2,3 题各 6 分, 4 题 9 分） 1．求 （ k为正实数）的傅氏变换。 0 0( ) e 0kt t f t t− <⎧= ⎨ ≥⎩ i ( i ) 00 1 1( ) e e d (2 [e ] i i kt t k tF t k k ω ωω ω ω +∞ − − − + +∞−= = =+ +∫解: 分) . 3. 设 2 2( ) e e sin 6 ( )t tf t t t t tδ−= + + + , 求 ( )f t 的拉氏变换。 3 2 2 1 1 6( ) 1 (1,2,2,1 ) ( 1) ( 2) 36 F s s s s = + + ++ − +解: 分 6. 设 2 21( ) ( 1F s s s= + ) ，求 的逆变换。 ( )F s (1 ) 2 2 1 1[ ( )] [ ] [ ] sin (2.5,2.5 ) 1 F s t t s s = − = −− 分 -1 -1 -1解: L L L 分 4. 应用拉氏变换求解微分方程 2 3 e (0) 0, (0) 1 ty y y y y −′′ ′⎧ + − =⎨ ′= =⎩ 2 1( ) (0) (0) 2[ ( ) (0)] 2 ( ) , (3 ) 1 s Y s sy y sY s y Y s s ′− − + − − = +解: 因为 分 所以 (2 )2 3 1 1( ) (2 ) ( 1)( 1)( 3) 8( 1) 4( 1) 8( 3) sY s s s s s s s += = − −− + + − + + 分 分 3 33 1 1 1 5 1( ) e e e (2 ) ( ) ch sh e (2 ) 8 4 8 8 8 8 t t t ty t y t t t− − −= − − = + −分 或 分