空间飞行器主动段的轨道估计与误差分析

第29卷第2期 2013年3月 后 勤 工 程 学 院 学 报 JOURNAL OF LOGISTICAL ENGINEERING UNIVERSITY Vol. 29 No. 2 Mar. 2013 文章编号：1672 - 7843（2013）02 - 0074 - 08 doi：10. 3969/j. issn. 1672 - 7843. 2013. 02. 014 空间飞行器主动段的轨道估计与误差分析 ①吴松林 1a，陈体英 2，杨辉跃 1b，沈艳林 1b （1. 后勤工程学院 a. 基础部，b. 后勤信息与军事物流工程系，重庆 401311； 2. 西南大学附属中学 数学组，重庆 400715） 摘 要 为了对无源探测卫星系统的定轨方式和精度进行定量分析，通过坐标转 换、受力分析、拟合、最小二乘法、微分方程数值解法与误差分析等方法，建立了基于卫星 无源探测的空间飞行器在主动段的交汇定位优化模型和运动方程模型。基于模拟数据 和模型，给出了卫星和空间飞行器的轨道曲线以及卫星的系统误差。经过系统误差修 正，空间飞行器的估计轨道误差仅为7.582 1 m。 关键词 卫星；空间飞行器；轨道；系统误差；参数估计 中图分类号：O141 文献标志码：A The Orbit Estimation and Error Analysis of Space Vehicle in Active Period Wu Song⁃lin1a，Chen Ti⁃ying2，Yang Hui⁃yue1b，Shen Yan⁃lin1b （1. a. Dept. of Fundamental Studies，b. Dept. of Logistics Information & Logistics Engineering，LEU，Chongqing 401311，China；2. Math Group，High School Affiliated to Southwest University，Chongqing 400715，China） AbstractFor quantitative research on location and error of satellite system，optimization model of intersection orbit location and motion equation model for space vehicle in active period based on passive detection satellite are comprehensively built by some mathematical methods，which involves coordinate conversion，force analysis，fitting，least square method，numerical solution of dif⁃ ferential equation，and error analysis method. Then the satellite system’s error and the space vehicle’s orbit are estimated. Based on simulation data and these models，the orbit curves of satellite and other space vehicle and the system error of satellite are given. Through system error correction，the space vehicle’s track error is estimated only 7.582 1 m. These models are of important theoreti⁃ cal and practical significance for the location of space vehicle. Keywordssatellite；space vehicle；orbit；system error；parameter estimation 一个国家发射特殊目的的卫星，对它国发射的空间飞行器实施监控并作出快速反应，这对于维护国 家安全具有重要战略意义。发现发射和探测其轨道参数是实现监控和作出反应的第一步。卫星居高临 下，是当今探测空间飞行器发射与轨道参数的重要平台。观测卫星上的探测器包括有源和无源两类[1]：有 源探测器采用主动方式搜寻目标，同时具备定向和测距两种能力；无源探测器则被动接收目标辐射。利 用无源探测的观测卫星常采用红外光学探测器，只接收目标的红外辐射信息，可定向却不能测距。但可 以借助多颗（含两颗）观测卫星的同步观测进行逐点定位，再结合空间飞行器的运动模型进行轨道参数估 计。观测卫星对于空间飞行器的观测数据通常可以由观测坐标系中的两个无量纲比值确定： 收稿日期：2012-10-08 作者简介：吴松林，男，副教授，硕士，主要从事概率统计和数学建模研究。 第2期 吴松林等 空间飞行器主动段的轨道估计与误差分析 α = ys xs,β = zs xs。 式中：xs,ys,zs为空间飞行器在观测坐标系中的坐标。观测数据不可避免地带有各种误差，包括随机误差 和系统误差[2]。 本文模型以两个中低轨近圆轨道卫星为观测星座，重点关注重力斜飞段后程，对假想某一空间飞行 器进行仿真观测，分别生成仿真观测数据组 ( )ti,α i,βi ,i= 1,2,⋯,600。利用仿真观测数据，对其轨道参数进 行估计。主要问题：1）根据观测卫星在基础坐标系初始时刻的三维位置和速度以及观测卫星的运动方 程，计算其三维位置；2）依据给定的仿真数据，6号和9号观测卫星对空间飞行器形成了立体交叠观测，结 合立体几何知识按照逐点交汇定位的思路，选取适当的空间飞行器主动段的 vmr( )t 和 m ( )t 表示模型，依据 运动方程给出空间飞行器的轨道估计；3）给出2颗观测卫星的系统误差估计结果。 1 模型假设 针对问题提出如下假设：1）在重力斜飞段后程，空间飞行器所受外力仅为重力和推力，不考虑空气阻 力，并视重力加速度为定值；2）不考虑空间飞行器在飞行过程中绕其质心的转动；3）测试数据的随机误差 是零均值的正态分布。 2 模型准备 2.1 数据分析 2颗观测卫星的初始状态参数如表1所示。 表1 6号和9号观测卫星在初始时刻的状态参数 Tab. 1 The initial state parameters of the 6th and 9th satellites 卫星序号 6号 9号 横坐标/km 7 345 767.764 73 9 092 044.771 85 纵坐标/km 5 627 233.486 33 1 732 113.220 57 竖坐标/km -1 215 187.241 96 1 732 113.220 57 横坐标速度/m·s-1 -2 264.234 36 -1 566.513 18 纵坐标速度/m·s-1 4 147.452 23 4 453.807 60 竖坐标速度/m·s-1 4 533.747 07 4 453.807 60 6号和9号观测卫星到地心距离分别为9 332.885，9 416.247 km，速度分别为6 548.51，6 490.514 m/s， 属于近地轨道卫星。2颗观测卫星对空间飞行器有 600个观测点，时间跨度为[50，170] s，观测值 ( )t,α,β 的散点分布如图1所示。 显见，散点基本连成一条光滑曲线，未有异常数据，说明观测数据基本可靠。 2.2 坐标转换[3] 如图2所示，O c- xcyczc是基础坐标系，O s-xsyszs为观测坐标系。其中，观测坐标系原点 O s是卫星坐 标，xs轴沿 O cO s连线离开地球方向为正，zs轴与 xs垂直指向正北，ys轴按右手系确定，因而 xs,zs,zc共面。 （a）6号观测卫星 （b）9号观测卫星 图1 2颗观测卫星对空间飞行器的观测值 Fig. 1 Observation data of the space vehicle by the 6th and 9th satellites 75 后 勤 工 程 学 院 学 报 2013年 设基础坐标系的卫星坐标为 ( )x0,y0,z0 ，基础坐标系的基向量为 ( )nx,ny,nz ，观测坐标系的一组过原点O s且相互垂直的基向量为 ( )xs,ys,zs ， 则可取 xs= ( )x0,y0,z0 。由于 xs,zs,zc共面，ys垂直于该平面，所以 ys可取 为该面的法向量 ( )-y0,x0,0 ，因此令 ys= ( )-y0,x0,0 。又因 zs⊥ xs,zs⊥ ys， 可取 zs= ( )-x0,-y0,( )x20 + y20 z0 。 在三维空间中，有两组坐标基 ( )nx,ny,nz 和 ( )xs,ys,zs ，根据线性代 数的基变换知识，可得变换矩阵为 æ è ç ç ççç ç ö ø ÷ ÷ ÷÷÷ ÷ x0 y0 z0-y0 x0 0 -x0 -y0 x 2 0 + y20 z0 。 标准化后的坐标变换矩阵为 P = æ è ç ç ç ç ç ç ççç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ x0 x20 + y20 + z20 y0 x20 + y20 + z20 z0 x20 + y20 + z20 - y0 x20 + y20 x0 x20 + y20 0 - x0 x20 + y20 x20 + y20 + z20 - y0 x20 + y20 x20 + y20 + z20 x20 + y20 z0 x20 + y20 + z20 。 设转换矩阵 R = P -1 ，则坐标变换公式为 æ è çç ö ø ÷÷ xc yc zc = æ è çç ö ø ÷÷ x0 y0 z0 + R æ è çç ö ø ÷÷ xs ys zs ， （1） 式中：( )xc,yc,zc 为 O c-xcyczc的坐标；( )xs,ys,zs 为 O s-xsyszs的坐标。 3 模型建立 3.1 观测卫星在任意时刻的位置计算 3.1.1 观测卫星运动方程 根据文献[4]，观测卫星一般没有火箭推力，其运动方程可以简化为 r″( )t = F e = - G m ||r( )t 3r( )t 。 （2） 式中：r( )t = ( )x( )t,y( )t,z( )t 为观测卫星在基础坐标系的位置向量。 求高阶常微分方程组的数值解时，通常需经变量代换进行降阶处理[5]。记 x = z1 , x′= z2 , y = z3 , y′= z4 , z= z5 , z′= z6，则式（2）可转化为： z1′ = z2,z2′ = - G m z1( )x2 + y2 + z2 3 2 ,z3′ = z4,z4′ = - G m z3 ( )x2 + y2 + z2 3 2 ,z5′ = z6,z6′ = - G m z5 ( )x2 + y2 + z2 3 2 。 （3） 3.1.2 数值求解 对式（3）进行数值求解，以表 1中 9号观测卫星的位置和速度为初始条件，利用Matlab编程 [6]，采用 od45算法，取步长为0.1 s，在 [ ]0,250 s进行数值计算，得到9号观测卫星轨道的散点分布如图3所示。 图2 坐标转换示意 Fig. 2 Sketch of coordinate conversion 76 第2期 吴松林等 空间飞行器主动段的轨道估计与误差分析 3.2 空间飞行器的轨道估计 3.2.1 时间配准 时间配准最简单有效的方法是以时间为变量对观测值 α与 β 进行插值或者拟合。若采用拟合方法，根据拟合的 α与β 对时 间 t的函数关系，就可以提取2颗卫星在同一时刻的观测值。 显著性水平为0.05时，对6号观测卫星： ì í î ï ï α ( )6 ( )t = -2.5622×10-6t2 + 0.00120t+ 0.02177， β ( )6 ( )t = -3.4716×10-6t2 + 0.00118t+ 0.01360。 该 拟 合 方 程 的 可 决 因 数 分 别 为 ρ( )6α = 0.9999 ， ρ( )6β = 0.9997，误差平方和分别为8.52×10-6，1.1×10-5，说明拟合效果非常好。 对9号观测卫星： ì í î ï ï α ( )9 ( )t = -3.7513×10-6t2 + 9.2572×10-4t-0.664 5， β ( )9 ( )t = -1.6610×10-6t2 + 0.0010t+ 0.4163。 该拟合方程的可决因数分别为 ρ( )9α = 0.9951 , ρ( )9β = 0.9999,误差平方和分别为1.52×10-5，4.96×10-6，误 差也非常小。 3.2.2 交汇定位 利用2颗卫星对空间飞行器定位[7-13]，可采用交汇定位法。其基本思想是利用空间坐标变换，将2颗卫 星在各自观测坐标系对空间飞行器的观测数据转换为基础坐标系的空间飞行器坐标。由于某时刻同一 空间飞行器的空间位置是固定的，因此2组坐标为同一值，从而通过解方程组可计算出空间飞行器坐标， 实现交汇定位。设 x( )is 为第 i颗观测卫星对空间飞行器的观测横坐标，则在同一时刻，6号和9号观测卫星 对空间飞行器的观测坐标为 x( )is ( )1,α ( )i,β ( )i ,i= 1,2。 对 i=1，2号观测卫星，根据空间坐标转换，有 æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ x( )ic y ( )ic z( )ic = æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ x( )i0 y ( )i0 z( )i0 + R ( )i æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ 1 α ( )i β ( )i x( )is 。 （4） 因为 ( )x( )1c ,y ( )1c ,z( )1c 和 ( )x( )2c ,y ( )2c ,z( )2c 均为空间飞行器在基础坐标系的坐标，故两者相等。由式（4）得 æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ x( )20 -x( )10 y ( )20 -y ( )10 z( )20 -z( )10 = R ( )1 æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ 1 α ( )1 β ( )1 x( )1s -R ( )2 æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ 1 α ( )2 β ( )2 x( )2s 。 该方程组是含3个方程，2个未知数 x( )1s ,x( )2s 的超定方程，利用最小二乘法建立优化模型 miné ëêê ù ûúú∑i= 1 3 ( )zi-xix( )1s -yix( )2s 2 ， 其中: æ è çç ö ø ÷÷ z1 z2 z3 = æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ x( )20 -x( )10 y ( )20 -y ( )10 z( )20 -z( )10 ； æ è çç ö ø ÷÷ x1 x2 x3 = R ( )1 æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ 1 α ( )1 β ( )1 ； æ è çç ö ø ÷÷ y1 y2 y3 = R ( )2 æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ 1 α ( )2 β ( )2 。 通过该模型可得最优解 x( )1s ,x( )2s ，代入 x( )1s ( )1,α ( )1,β ( )1 T 或者 x( )2s ( )1,α ( )2 ,β ( )2 T ，得到空间飞行器的2条轨道如 图4所示。2条轨道的平均误差平方和为88.71 m。总的来说，2条轨道非常接近，可以将坐标分量取平均 图3 9号观测卫星的完整运动轨道Fig. 3 Whole movement orbit of the 9th satellite 77 后 勤 工 程 学 院 学 报 2013年 后作为空间飞行器的最终坐标，从而实现对空间飞行器的定位。 3.2.3 空间飞行器质量模型 3.2.3.1 模型建立 根据题意和模型假设，在重力斜飞段后程，空间飞行器所受空气阻力远小于重力，可忽略不计。在任 意时刻空间飞行器受力情况如图5所示。 F T 为空间飞行器燃料燃烧产生的推力，其大小设为定值，方向 与空间飞行器运动轨道的切线方向一致，θ 为 F T 与 xs的夹角，显然 0°≤ θ≤ 90°始终成立。 设空间飞行器坐标 P′= ( )x0,y0,z0 ，将 F T 沿重力方向与垂直于重力方向分解，得 F T cosθ 和 F T sinθ 。 根据牛顿第二定律和力的合成原理，有 ( )F T cosθ-m g 2 + ( )F T sinθ 2 = m a 。 （5） 式中：g 为空间飞行器的重力加速度；a 为空间飞行器的合成加速度。 整理式（5）并进行化简，可得 m 的一元二次方程 m 2( )g2-a2 -2m gF T cosθ + F 2T = 0。 一般而言，由于 m 为严格单调递减的非负函数，且 a≥ gsinθ ，因此空间飞行器质量模型为 m ( )t = F T cos( )θ( )t - a 2( )t -g2sin2[ ]θ( )t g2-a2( )t 。 由向量余弦可知 θ( )t = O cP′⋅v||O cP′⋅ ||v= ( )x0,y0,z0 æèç ö ø÷ dxdt, dy dt,dzdt x20 + y20 + z20 æè öødxdt 2 + æèç ö ø÷ dy dt 2 + æè öødzdt 2 。 a( )t 的值等于位移的二阶导数，即 a( )t = æèç öø÷d 2x dt2 2 + æèç ö ø÷ d2y dt2 2 + æèç ö ø÷ d2z dt2 2 。 模型中推力 F T 是一个未知参数，在设计空间飞行器时，推 力和质量存在一定的关系。只要推力足够提供加速度，质量的 大小并不影响空间飞行器轨道的设计，本文取FT =1×106 N。 3.2.3.2 模型求解 根据6号和9号卫星观测数据计算出的空间飞行器坐标， 代入空间飞行器质量模型，并采用指数模型拟合（图6），得到 拟合方程为 图4 空间飞行器的轨道定位误差 Fig. 4 Orbit location error of the space vehicle 图5 空间飞行器受力示意 Fig. 5 Force sketch of the space vehicle 图6 指数模型拟合的质量变化曲线Fig. 6 Quality change fitting curves throughindex model 78 第2期 吴松林等 空间飞行器主动段的轨道估计与误差分析 m ( )t = 14 694e-0.020153t + 4 372.6， 其误差平方和为1.729 2，拟合效果也很好。 3.2.4 轨道估计 根据变质量的质点动力学[14]，空间飞行器在基础坐标系的主动段简化运动方程为 r″( )t = F e+ F T = - G m ||r( )t 3r( )t + vr( )t ṁ ( )t m ( )t 。 （6） 式中：向量 F e表示空间飞行器所受的外力加速度之和；F T 表示火箭产生的推力加速度；r( )t 为空间飞行 器在基础坐标系的位置矢量；r″( )t 表示 r( )t 对时间 t的二阶导数；vr( )t 为燃料相对于火箭尾部喷口的喷 射速度矢量，一般情况下它可以表示为 vr( )t = ||vr( )t æ è ç ç ççç ç ö ø ÷ ÷ ÷÷÷ ÷ dxdt æè öø dxdt 2 + æèç ö ø÷ dy dt 2 + æè öødzdt 2 dy dt æè öø dxdt 2 + æèç ö ø÷ dy dt 2 + æè öødzdt 2 dzdt æè öø dxdt 2 + æèç ö ø÷ dy dt 2 + æè öødzdt 2 。 若空间飞行器质量按指数模型变化，则 ṁ ( )t m ( )t = k2k1ek2t k1ek2t + k3 = k2 1+ k4e-k2t ，其中 k4 = k3k1 。 于是，空间飞行器在基础坐标系的主动段运动轨道方程为： ì í î ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï x″( )t = - G mx( )x2 + y2 + z2 3/2 + ||vr( )t dxdt æè öø dxdt 2 + æèç ö ø÷ dy dt 2 + æè öødzdt 2 k2 1+ k3e-k2t ， y″( )t = - G my( )x2 + y2 + z2 3/2 + ||vr( )t dy dt æè öø dxdt 2 + æèç ö ø÷ dy dt 2 + æè öødzdt 2 k2 1+ k3e-k2t ， z ″( )t = - G m z( )x2 + y2 + z2 3/2 + ||vr( )t dzdt æè öø dxdt 2 + æèç ö ø÷ dy dt 2 + æè öødzdt 2 k2 1+ k3e-k2t 。 对上述空间飞行器轨道方程，只需知道初始空间飞行器的坐标和速率，便可进行数值求解，得到估计 的运动轨道。 3.2.5 模型求解 以第50 秒的观测值作为初始条件，对轨道模型进行数 值求解，得到估计轨道如图 7所示。由图可见，在短时间 内，估计轨道与基准轨道吻合较好，误差在1 km以内，这是 由于数值求解的初始值取自基准轨道。但随着时间的增 加，估计误差增大，这是因为数值求解过程是通过迭代运算 完成的，迭代运算导致了误差累积。 通过误差平方和的计算，指数模型的估计轨道与交汇 定位轨道的误差平方和为 718.06，空间飞行器轨道与基准 轨道更为接近。实际上，空间飞行器质量随燃料燃烧逐渐 减小，当燃料燃尽，空间飞行器质量即为有效载荷质量，此 图7 空间飞行器的估计轨道Fig. 7 Estimated orbit of the space vehicle 79 后 勤 工 程 学 院 学 报 2013年 后空间飞行器质量稳定，符合实际情况。 3.3 观测卫星系统误差估计[15] 3.2节空间飞行器在指数模型下的估计轨道是在仅考虑 正态随机误差时计算得到的，可视为不存在系统误差的基准 轨道。根据此基准轨道坐标值，利用空间坐标转换方程可以 反推出观测卫星对空间飞行器观测值的估计值；然后，通过与 实际观测值的比较分析和计算，实现对系统误差的估计。 3.3.1 观测值与其估计值的转换关系 依问题，可将各种系统误差折合为三轴指向误差。在 α,β 二维观测数据平面上，三轴指向误差表现为 2个平移误 差 Δα,Δβ 和 1个旋转误差 Δθ ，如图 8所示。记 A( )α,β 是根据基准轨道计算所得的理论位置，A′( )α′,β′ 为实际观测位置，它包含系统误差 Δα,Δβ,Δθ 。 通过空间几何关系可知，在二维平面 α,β 上，根据坐标旋转，有 æ èç ö ø÷ α′ β′ = æè öøcosΔθ -sinΔθsinΔθ cosΔθ æèç ö ø÷ α + Δα β + Δβ 。 （7） 由于旋转误差 Δθ的值通常较小，因此可作如下近似：cosΔθ≈ 1，sinΔθ≈ Δθ。对式（7）化简，整理得：{α′= α -βΔθ + Δα -ΔβΔθ，β′= β + αΔθ + Δβ + ΔαΔθ。 （8） 若已知向量 ( )α,β 和它的观测值向量 ( )α′,β′，式（8）只有 Δα,Δβ,Δθ 三个未知量，可以通过最小二乘 法求得最优解，即得系统误差。 3.3.2 基准向量 ( )α,β 的计算 对 i( )i= 1,2 号观测卫星，有 æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ x( )ic y ( )ic z( )ic = æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ x( )i0 y ( )i0 z( )i0 + R ( )i æ è ç çç ç ö ø ÷ ÷÷ ÷ 1 α ( )i β ( )i x( )is 。 将估计轨道上各点坐标值与观测卫星坐标值代入上述方程组，对每一空间坐标点可列出3个方程，每 个方程有3个未知数 α,β 和 xs，因此就可解得观测卫星轨道上所有点对应的 ( )α,β 。 3.3.3 系统误差估计 由于系统误差 Δα,Δβ,Δθ通常为定值，又 ( )α,β ，( )α′,β′已知，则可建立非线性规划模型，利用Lingo软 件求解。设目标函数为 Q = minæèç ö ø÷∑i= 1 600 ( )α′-α + βΔθ-Δα + ΔβΔθ 2 +∑ i= 1 600 ( )β′-β -αΔθ-Δβ -ΔαΔθ 2 ， 得到的结果如表2所示。 表2 6号和9号观测卫星系统误差估计结果Tab. 2 Estimation results of system error by the 6th and 9th satellites 卫星序号 6号 9号 Δα -0.015 1.36×10-4 Δβ 0.008 1.39×10-4 Δθ 0.133 1.40×10-4 3.3.4 修正系统误差后的空间飞行器轨道估计 根据二维平面 α,β 上的坐标旋转式（7），可得卫星观测数据的修正公式为 æ èç ö ø÷ α β = æè öøcosΔθ -sinΔθsinΔθ cosΔθ -1æ èç ö ø÷ α′ β′ - æèç ö ø÷ Δα Δβ 。 图8 系统误差的转换关系 Fig. 8 Conversion relation of system error 80 第2期 吴松林等 空间飞行器主动段的轨道估计与误差分析 对卫星观测数据的系统误差进行修正后，得到6号和9 号观测卫星对空间飞行器的轨道如图9所示。从图中可以 得出结论：经过系统误差修正，2颗卫星对空间飞行器估计 的轨道基本完全一致，其误差平方和为7.582 1 m。 4 模型评价 在建立模型过程中思路严谨，对不同情况能有针对性 地建模，模型推导详实；在编程计算过程中，计算方法得当， 计算结果可信；从误差分析上看，不管是拟合误差，还是估 计轨道误差都比较小，说明模型是可靠的。 参考文献 [1]王志刚，施志佳.远程火箭与卫星轨道力学基础[M].西安：西北工业大学出版社，2006：51-65. 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