多功能题典·高中数学（第四版）

书书书 　图书在版编目 （犆犐犘） 数据 　多功能典．高中数学／况亦军主编．—４版．—上海：华东师范大学出版社，２０１３．３　ＩＳＢＮ９７８ ７ ５６７５ ０４７８ ３ 　Ⅰ．①多… Ⅱ．①况…　Ⅲ．①中学数学课 高中 习题集 Ⅳ．①Ｇ６３４ 　中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字（２０１３）第０５３４３４号 　 !"#$%&'()*+,-./ 主 编　况亦军总 策 划　倪　明项目编辑　孔令志审读编辑　王小双　石　岩装帧设计　黄惠敏 出版发行　华东师范大学出版社社　　址　上海市中山北路３６６３号　邮编２０００６２网　　址　狑狑狑．犲犮狀狌狆狉犲狊狊．犮狅犿．犮狀电　　话　０２１ ６０８２１６６６　行政传真０２１ ６２５７２１０５客服电话　０２１ ６２８６５５３７　门市（邮购）电话０２１ ６２８６９８８７地　　址　上海市中山北路３６６３号华东师范大学校内先锋路口网　　店　犺狋狋狆：??犺犱狊犱犮犫狊．狋犿犪犾犾．犮狅犿／ 印 刷 者　浙江省临安市曙光印务有限公司开　　本　７８７×１０９２　１６开印　　张　３５．７５字　　数　１４３６千字版　　次　２０１３年５月第４版印　　次　２０１３年５月第１８次书　　号　犐犛犅犖９７８ ７ ５６７５ ０４７８ ３／犌·６３０３定　　价　５４．００元 出 版 人　朱杰人 （如发现本版图书有印订质量问题，请寄回本社客服中心调换或电话０２１ ６２８６５５３７联系） 　　　　!"# 自２００７年面市以来，《多功能题典》越来越受到读者的肯定。题典家族也在不停地增添新丁， 目前，题典家族已有１６个成员，涵盖中小学的主要学科。为了答谢读者的厚爱，２０１３年《多功能 题典》进行了全新修订，初中各学科根据最新修订后的课标编写，高中各学科增录了近年大学自主 招生试题。同时该套书更换了较大的开本，读者使用起来将更加方便。另外，优化了网络检索功 能，更能满足ｅ 学习的高效率。当您进入题典的网络检索系统时，相信您一定会有新的收获。 下面让我们一起来看看题典家族的吧。 作者权威　题典家族的编写队伍由各学科考试命题的专家、学者与长期在教学第一线的资深 特、高级教师组成。他们各取所长、各展所能，把自己长期积累、精心筛选的新颖而的经典试 题奉献出来，共同打造出这一套高品质的丛书。 题目典范　题典家族不受教材版本限制，按各学科知识内容编排，不仅与教学要求相对应，更 体现了学科知识的完整性、系统性和科学性。书中每一道试题的编制和确定都经过了多道关卡， 从作者编选、教学使用到主编总纂、编辑审读，再到专家审定，每一个环节都精益求精，从而确保题 题经典。 体例新颖　题典家族不仅为每一道题提供了精妙的“题解”，更积极引导读者“解题”，注重方 法、思路的点拨，还为每一道题标出了难度星级，使读者学有所思、学有所得，不仅能举一反三，更 能了解自己的学习水平，把握学习方向。 超强检索　题典家族配备了强大的网络检索功能。当您需要某种检索时，可以方便地进入网 站（ｈｔｔｐ：／ ／ｔｉｄｉａｎ．ｅｃｎｕｐｒｅｓｓ．ｃｏｍ．ｃｎ），从难度、题型、知识点、技巧等不同维度，及关键字进 行组合检索，就像使用Ｇｏｏｇｌｅ和百度一样方便。 题典家族立意新颖，篇幅较大，难免有疏漏之处，敬请不吝指正。 华东师范大学出版社 教辅分社 　　　　$%& 这本高中数学解题辞典，是依据现行高中数学课程和原有的教学大纲要求，结合近年高 考大纲进行编写．全书收集了高中数学的各类典型题近３０００道．目的在于帮助学生遇到困难时方 便查阅，丰富教师备课资料． 目前，在市场上已有不少同类书．在编写的过程中，我们努力在选题的典型性、材料的新颖性、 分布的合理性、解题的规范性等方面下功夫．为了让这本题典发挥更好的作用，我们给每一道题目 标注了难度，提供了包含知识点１、知识点２、方法与能力、题型的索引，方便读者根据不同的需要进行检索、 查询．尤其是，在出版社编辑的努力下，为这套书设计了多维度、多功能的网上检索系统．因此，这本题典取 名为《多功能题典·高中数学》． 对题目划分难度并非易事，全体作者基于本人经验在共同讨论的基础上趋于基本的一致，将 难度分成四个等级．一星（★　）题为基本题，着重考查某一章的基本知识和基本技能；二星（★★　 ）题主 要涉及某一章的知识和方法，并结合其他章节的内容；三星（★★★）题的解决一般需要特殊一点的方 法，或者需要对过程的结论或最终的结论进行探索；四星（★★★★）题综合性最强，解题的切入点往往并 不明晰，需要通过尝试、探索才能解决，也是本书难度的最高级，但一般不超过高考题的难度． 在能力方面，国家课程标准提出了在数学教学过程中要注意培养学生的逻辑思维能力、运算 能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题能力等多个能力目标．应当认为，基本的逻辑推理能 力和运算能力是处理每一个数学问题的基础，而分析问题和解决问题能力则包含了十分丰富的内 涵．在本题典中，我们尝试对能力目标作一些细化，提出了诸如数学发现能力、数学模式识别能力、 数学建模能力、学习能力、创新能力等相对而言含义比较单一的能力要求． 而对题型，既采用选择题、填空题、解答题等题型的客观分类，又用证明题、应用题、探索题等 题型的主观分类，以适应教学的习惯和不同需要． 对如此多的题目赋有多种指标，这是困难的工作，也是一个尝试．虽然许多指标的确定是集体 讨论、初步研究的结果，但不一定很成熟，仅供大家参考．如有不当之处，恳请广大读者批评指正． 本书可供高中各个年级的学生在学习数学的过程中使用．对于高一年级和高二年级的学生， 标注了“★　”和“★★　 ”的问题可作为阅读材料和自主练习使用，而标注了“★★★”的问题建议大家在老师的 指导下认真研读，标注了“★★★★”的问题则应当留待高三年级进行数学综合复习时使用． 　　参加编写有王永庆（第１至第４章）、李娜（第１０章）、葛晨娴（第１２章）、周珺（第１６ 章）、贺谊浩（第９章、第１９章）、况亦军与柴劼伟（第７章、第８章、第１３章、第２０章）、王 宏（第５章、第６章、第１１章、第１４章）、顾滨（第１７章）、刘丽霞（第１５章）、况亦军（第１８ 章），最后由况亦军统稿、定稿． 作　者 ２０１２年１２月 　　　　'%( 第１章　集合与简易逻辑 §１ １　集合 １………………………………… §１ ２　简易逻辑 ８…………………………… 第２章　函　　数 §２ １　函数的概念与性质 １５………………… §２ ２　幂函数、指数函数、对数函数 ３８……… 第３章　函数的应用 §３ １　函数与方程 ６６………………………… §３ ２　函数模型及其应用 ７１………………… 第４章　不 等 式 §４ １　不等式的性质与证明 ７９……………… §４ ２　解不等式 ８９…………………………… §４ ３　不等式的应用 ９８……………………… 第５章　直线和平面 §５ １　平面 １０８……………………………… §５ ２　直线与直线的位置关系 １１０………… §５ ３　直线与平面的位置关系 １１６………… §５ ４　平面与平面的位置关系 １３４………… 第６章　几 何 体 §６ １　棱柱、棱锥 １５７………………………… §６ ２　旋转体 １７７…………………………… 第７章　直 线 方 程 §７ １　直线 １８４……………………………… §７ ２　线性规划 ２０４………………………… 第８章　圆 与 方 程 §８ １　圆的方程 ２１１………………………… §８ ２　直线与圆、圆与圆的位置关系 ２１５…… 第９章　算　　法 §９ １　算法 ２２７……………………………… §９ ２　程序框图 ２２９………………………… 第１０章　三 角 函 数 §１０ １　任意角三角函数 ２３５………………… §１０ ２　两角和与差的三角函数 ２４７………… §１０ ３　三角函数的图象与性质 ２６８………… §１０ ４　解斜三角形 ２９１……………………… §１０ ５　反三角函数、三角方程 ３００………… 第１１章　平 面 向 量 §１１ １　平面向量的概念和运算 ３０７………… §１１ ２　平面向量的坐标表示 ３１５…………… 第１２章　数　　列 §１２ １　数列 ３２１……………………………… §１２ ２　等差数列与等比数列 ３２７…………… §１２ ３　数列的应用 ３５４……………………… §１２ ４　数学归纳法 ３６１……………………… §１２ ５　数列极限 ３６９………………………… 第１３章　圆锥曲线 §１３ １　曲线与方程 ３７９……………………… §１３ ２　椭圆、双曲线、抛物线 ３８７…………… 第１４章　空间向量 §１４ １　空间向量的概念和运算 ４３２………… §１４ ２　空间向量的坐标表示 ４３７…………… 第１５章　导数、积分 §１５ １　函数极限、导数 ４５１………………… §１５ ２　导数的应用 ４５６……………………… §１５ ３　不定积分、定积分 ４７０……………… 　　　　% 第１６章　复　　数 §１６ １　复数的概念 ４７６……………… §１６ ２　复数的运算 ４７８……………… 第１７章　排列、组合、二项式定理 §１７ １　计数原理、排列数和组 合数 ４９１……………………… §１７ ２　排列、组合 ４９７………………… §１７ ３　二项式定理 ５０５……………… 第１８章　概率 、统计 §１８ １　随机事件的概率 ５１１………… §１８ ２　互斥事件和相互独立事件的 概率 ５２０……………………… §１８ ３　离散型随机变量的概率 分布 ５２６……………………… §１８ ４　基本统计方法 ５３３…………… 第１９章　矩阵、行列式 §１９ １　矩阵 ５３９……………………… §１９ ２　行列式 ５４４…………………… 第２０章　参数方程、极坐标 §２０ １　参数方程 ５４９………………… §２０ ２　极坐标 ５５７…………………… 书书书 第１章　集合与简易逻辑  ／１　　　　 第１章　集合与简易逻辑 §１ １　集　　合 !"#$%&' １．１．１ ★　 若集合犕＝｛狓狘狓≤６｝，犪＝槡５，则下列结论中正确的是（　　）． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）｛犪｝犕　　 （Ｂ）犪犕（Ｃ）｛犪｝∈犕　　 （Ｄ）犪犕 解析　因为槡５＜６，则槡５∈犕，｛犪｝犕，所以答案为Ａ． 　１．１．２　 ★　 已知集合犃＝｛０，１｝，犅＝｛狔狘狔２＝１－狓２， 狓∈犃｝，则犃与犅的关系是（　　）．（Ａ）犃＝犅　　（Ｂ）犃犅　　（Ｃ）犃∈犅　　（Ｄ）犃犅解析　由已知得集合犅＝｛－１，０，１｝，所以犃犅，答案为Ｂ． １．１．３ ★　 下列四个关系中，正确的是（　　）． （Ａ）∈｛０｝ （Ｂ）０｛０｝（Ｃ）｛０｝∈｛０，１｝ （Ｄ）０∈｛０，１｝ 解析　与｛０｝，｛０｝与｛０，１｝是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达；而０∈｛０｝，又０是集合｛０，１｝中的元素，所以０∈｛０， １｝是正确的，答案为Ｄ． 　１．１．４　 ★　 设犪，犫∈犚，集合｛１，犪＋犫，犪｝ ｛＝ ０，犫犪，｝犫 ，则犫－犪＝（　　）． （Ａ）１ （Ｂ）－１ （Ｃ）２ （Ｄ）－２ 解析　由已知得０∈｛１，犪＋犫，犪｝，而犪≠０，于是，只 能犪＋犫＝０，则犫犪 ＝－１，又－１∈｛１，犪＋犫，犪｝，所 以犪＝－１，犫＝１，犫－犪＝２，答案为Ｃ． １．１．５ ★　 用适当的方式写出下列集合： （１）组成中国国旗的颜色名称的集合　　　　； （２）不大于６的非负整数所组成的集合　　　　； （３）所有正奇数组成的集合　　　　； （４）方程狓３＋６＝０的实数解构成的集合 　　　　； （５）不等式狓２－５狓＋４＜０的解集　　　　；（６）在直角坐标平面中，第一象限内的所有点组 成的集合　　　　； （７）在直角坐标平面中，直线狔＝２狓－１上的所有点组成的集合　　　　． 解析　（１）组成中国国旗的颜色名称的集合是 ｛红，黄｝． （２）不大于６的非负整数所组成的集合是｛０，１， ２，３，４，５，６｝． （３）所有正奇数组成的集合是｛狓狘狓＝２犽＋１， 犽∈犖｝．（４）方程狓３＋６＝０的实数解构成的集合是 ｛狓狘狓３＋６＝０，狓∈犚｝．（５）不等式狓２－５狓＋４＜０的解集｛狓狘狓２－５狓＋ ４＜０｝或写成｛狓狘１＜狓＜４｝．（６）在直角坐标平面中，第一象限内的所有点组 成的集合是｛（狓，狔）狘狓＞０且狔＞０｝．　（７）在直角坐标平面中，直线狔＝２狓－１上的所有点组成的集合是｛（狓，狔）狘狔＝２狓－１｝． 　１．１．６　 ★　 如果集合犃＝｛狓狘狓＜犪｝中正整数有且仅有 ５个，则犪的取值范围是 ． 解析　由已知可得只能是正整数１，２，３，４，５∈犃，而６犃，所以犪的取值范围是５＜犪≤６． １．１．７ ★　 若集合｛狓狘狘狓狘－犪＝０｝＝，则犪的取值范围是 ． 解析　若集合｛狓狘狘狓狘－犪＝０｝＝，即关于狓的方程狘狓狘＝犪无解，所以犪的取值范围是犪＜０． 　１．１．８　 ★　 集合犃＝｛狓狘－３≤狓≤２｝，犅＝｛狓狘２犿－ １≤狓≤２犿＋１｝，若犅犃，则犿 的取值范围是 　　　　． 解析　由已知可得 ２犿－１≥－３，２犿＋１≤２｛ ， 解得－１≤犿≤ １２． １．１．９ ★★　 若集合犕＝｛０，１，２｝，犖＝｛（狓，狔）狘狓－ ２狔＋１≥０且狓－２狔－１≤０，狓，狔∈犕｝，则犖中元素的个数为（　　）． （Ａ）９ （Ｂ）６ （Ｃ）４ （Ｄ）２ 解析　将点（０，０），（１，１），（２，２），（０，１），（１，０）， （０，２），（２，０），（１，２），（２，１）的坐标代入不等式组 狓－２狔＋１≥０， 狓－２狔－１≤０｛ ，可知只有点（０，０），（１，１），（１， ０），（２，１）四个点在集合犖内，所以答案为Ｃ． 　１．１．１０　 ★★　 定义集合运算：犃⊙犅＝ ｛狕狘狕＝狓狔（狓＋ 狔），狓∈犃，狔∈犅｝，设集合犃＝｛０，１｝，犅＝｛２，３｝，则集合犃⊙犅的所有元素之和为（　　）． （Ａ）０　 （Ｂ）６ （Ｃ）１２ （Ｄ）１８ 解析　由已知可得犃⊙犅＝ ｛０，６，１２｝，所以，犃⊙犅中所有元素之和为１８，答案为Ｄ． １．１．１１ ★★　 设是犚上的一个运算，犃是犚的非空子集，若对任意犪，犫∈犃，有犪犫∈犃，则称犃对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于 ２　　　　 ／!"#$%&'()*+,-./ 零）四则运算都封闭的是（　　）． （Ａ）自然数集 （Ｂ）整数集 （Ｃ）有理数集 （Ｄ）无理数集 解析　任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两 个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理 数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运 算都封闭的，答案为Ｃ． 　１．１．１２　 ★★　 设集合犃＝ ｛狓狘狘狓－犪狘＜１，狓∈犚｝， 犅＝｛狓狘狘狓－犫狘＞２，狓∈犚｝，若犃犅，则实数犪、犫必满足（　　）． （Ａ）狘犪＋犫狘≤３ （Ｂ）狘犪＋犫狘≥３（Ｃ）狘犪－犫狘≤３ （Ｄ）狘犪－犫狘≥３ 解析　犃＝｛狓狘犪－１＜狓＜犪＋１｝，犅＝｛狓狘狓＜ 犫－２或狓＞犫＋２｝，要使得犃犅，则应有犪＋１≤犫－ ２或犪－１≥犫＋２，即犪－犫≤－３或犪－犫≥３，所以 狘犪－犫狘≥３，答案为Ｄ． １．１．１３ ★★　 已知集合犕＝｛狓狘狓≤犪２＋犫２｝，其中犪、 犫是常数．给出下列四个命题： ①２犪犫一定属于犕； ②２犪犫一定不属于犕； ③ －２犪犫一定属于犕；④ －２犪犫一定不属于犕，其中正确命题的序号是　　　　（写出所有正确命题的序号）． 解析　由（犪－犫）２≥０和（犪＋犫）２≥０对任意犪，犫∈犚恒成立可得２犪犫≤犪２＋犫２，－２犪犫≤犪２＋犫２，所以 ２犪犫∈犕，－２犪犫∈犕，在上述四个命题中，①和③是正确的． 　１．１．１４　 ★★　 已知集合犃是非零实数集的子集，并且有 如下性质：对任意狓∈犃，必有３－２狓 ∈犃．问： （１）集合犃可否有且仅有一个元素？如果可以， 求出所有满足要求的集合犃；若不可以，则说明理由； （２）集合犃可否有且仅有两个元素？如果可以， 求出所有满足要求的集合犃；若不可以，则说明理由． 解析　（１）若集合犃中有且仅有一个元素狓，则３－ ２狓 ＝狓，即狓２－３狓＋２＝０，解得狓＝１或狓＝２，所 以集合｛１｝和｛２｝是两个满足要求的单元集． （２）由（１）可知，集合｛１，２｝是满足要求的二元集． 若集合 犃 ＝ ｛犪，犫｝是满足要求的二元集，并且 ３－２犪 ＝犫， ３－２犫 ＝犪 烅 烄 烆 ， 即 ３犪－２＝犪犫，３犫－２＝犪犫｛ ，则犪＝犫，矛盾，所以满 足要求的二元集只能是｛１，２｝． １．１．１５ ★★★ 同时满足｛１｝犃｛１，２，３，４，５｝，且犃中所有元素之和为奇数的集合犃 的个数是（　　）． （Ａ）５　　 （Ｂ）６　　 （Ｃ）７　　 （Ｄ）８ 解析　若犃为二元集，则犃可为｛１，２｝、｛１，４｝；若犃为三元集，则犃可为｛１，２，４｝、｛１，３，５｝；若犃为四元集， 则犃可为｛１，２，３，５｝、｛１，３，４，５｝；若犃为五元集，则犃 可为｛１，２，３，４，５｝，所以，共有７个符合条件的集合，答 案为Ｃ． 　１．１．１６　 ★★★ 对于集合犃和犅，当犃犅时，下列集合之间的关系一定不能成立的是（　　）． （Ａ）犃 （Ｂ）犅（Ｃ）犅＝ （Ｄ）犃＝ 解析　由于不存在集合是空集的真子集，因此，由犃 犅可得犅≠，所以答案为Ｃ． １．１．１７ ★★★ 已知集合犃是整数集犣的非空子集，任取 犪、犫∈犃，若犪＋犫∈犃、犪－犫∈犃、犪犫∈犃同时成立，并且犃是有限集，那么满足要求的集合犃（　　）． （Ａ）不存在 （Ｂ）有且仅有一个 （Ｃ）有不止一个的有限个 （Ｄ）有无穷多个 解析　任取犽∈犃，由于犪，犫∈犃，必有犪＋犫∈犃，可得犽＋犽＝２犽∈犃，２犽＋犽＝３犽∈犃，同理可知，对任意正整数狀，都有狀犽∈犃．如果犽≠０，则集合犃是无限集，矛盾．而犃＝｛０｝显然是一个满足要求的集合，所 以答案为Ｂ． 　１．１．１８　 ★★★ 写出集合犃＝｛（狓，狔）狘狓２＋狔２＝２且狓＋ 狔＝０｝的所有子集：　　　　． 解析　集合犃＝｛（１，－１），（－１，１）｝，所以犃的所有 子集是 ，｛（１，－１）｝，｛（－１，１）｝，｛（１，－１）， （－１，１）｝． １．１．１９ ★★★ 已知集合犕＝｛狓狘狓＝３犿＋１，犿∈犣｝，集合犖 ＝ ｛狔狘狔＝３狀＋２，狀∈犣｝，若狓０ ∈ 犕， 狔０∈犖，则狓０狔０与犕及犖的关系是狓０狔０ 犕， 狓０狔０ 犖． 解析　由狓０∈犕得，存在犿∈犣，使得狓０＝３犿＋１．由狔０∈犖得存在狀∈犣，使得狔０＝３狀＋２，则狓０狔０＝（３犿＋１）（３狀＋２）＝９犿狀＋６犿＋３狀＋２＝３（３犿狀＋ ２犿＋狀）＋２，所以狓０狔０犕，狓０狔０∈犖． 　１．１．２０　 ★★★ 用适当的方式写出下列集合并化简： （１）方程狓２＋２＝０的全体实数解组成的集合： 　　　　； （２）函数狔＝３狓＋２，１≤狓≤３的所有因变量组成的集合：　　　　； （３）函数狔＝－狓２＋４狓＋３，狓∈犚的所有因变量 组成的集合：　　　　． 解析　（１）方程狓２＋２＝０的全体实数解组成的集合 是｛狓狘狓２＋２＝０，狓∈犚｝＝；（２）函数狔＝３狓＋２，１≤狓≤３的所有因变量组 第１章　集合与简易逻辑  ／３　　　　 成的集合是｛狔狘狔＝３狓＋２，１≤狓≤３｝＝｛狔狘５≤ 狔≤１１｝；（３）函数狔＝－狓２＋４狓＋３，狓∈犚的所有因变量组成的集合是｛狔狘狔＝－狓２＋４狓＋３，狓∈犚｝＝｛狔狘 狔≤７｝． １．１．２１ ★★★ 已知集合｛狓狘犪狓２＋２狓＋１＝０，犪∈犚，狓∈犚｝中有且仅有一个元素，则犪的值是　　　　．解析　要使得集合｛狓狘犪狓２＋２狓＋１＝０，犪∈犚，狓∈ 犚｝中有且仅有一个元素，则犪＝０或Δ＝２２－４犪＝０，所以犪＝０或犪＝１． 　１．１．２２　 ★★★ 已知集合犃＝｛狓狘狓２－３狓＋２＝０，狓∈ 犚｝，犅＝｛狓狘狓２－犪狓＋（犪－１）＝０，狓∈犚｝，犆＝｛狓 狘狓２－犫狓＋２＝０，狓∈犚｝，若犅犃，犆犃，求实数犪、犫应满足的条件． 解析　集合犃＝｛１，２｝，而狓２－犪狓＋（犪－１）＝０，即为（狓－１）（狓－犪＋１）＝０．若犪－１＝１，即犪＝２，则 犅＝｛１｝满足；若犪－１≠１，即犪≠２，则犅＝｛１，犪－１｝，由犅犃知犪－１＝２，即犪＝３．对于集合犆，由犆犃 知，若犆＝，则Δ＝（－犫）２－８＜０，解得－ 槡２２＜ 犫＜ 槡２２；若犆为单元集，则Δ＝（－犫）２－８＝０，此时 犆＝｛槡２｝或犆＝｛－槡２｝，与犆犃矛盾；若犆＝｛１，２｝，即犆中方程两根为１和２，则犫＝３．所以犪、犫应满足的 条件是犪＝２或犪＝３，而－ 槡２２＜犫＜ 槡２２或犫＝３． １．１．２３ ★★★ 已知实数犪、犫使得｛犪，犪２，犪犫｝＝｛１，犪， 犫｝，求犪、犫的值． 解析　由｛犪，犪２，犪犫｝＝｛１，犪，犫｝，可得 犪＋犪２＋犪犫＝１＋犪＋犫， 犪·犪２·犪犫＝１·犪·犫｛ ， 显然犪≠０且犪≠１． 于是 犪２＋犪犫＝１＋犫，犫＝０｛ ， 所以 犪＝－１，犫＝０｛ ． 　１．１．２４　 ★★★★ 设集合 犕 ＝ ｛１，２，３，４，５，６｝，犛１，犛２，…，犛犽都是犕 的含两个元素的子集，且满足：对任意的犛犻＝｛犪犻，犫犻｝，犛犼＝｛犪犼，犫犼｝（犻≠犼，犻，犼∈｛１，２， ３，…，犽｝），都有 ｛ｍｉｎ 犪犻犫犻，犫犻犪 ｝犻 ≠ ｛ｍｉｎ 犪犼犫犼，犫犼犪 ｝犼（ｍｉｎ｛狓，狔｝表示两个数狓、狔中的较小者），则犽的最大值是（　　）． （Ａ）１０ （Ｂ）１１ （Ｃ）１２ （Ｄ）１３ 解析　集合犕的所有两元子集是｛１，２｝，｛１，３｝，｛１， ４｝，｛１，５｝，｛１，６｝，｛２，３｝，｛２，４｝，｛２，５｝，｛２，６｝， ｛３，４｝，｛３，５｝，｛３，６｝，｛４，５｝，｛４，６｝，｛５，６｝，共计 １５个，其中，不同 ｛ｍｉｎ 犪犻犫犻，犫犻犪 ｝犻 （犻＝１，２，…，１５）有１２，１３，１４，１５，１６，２３，２５，３４，３５，４５，５６共１１ 个，所以答案为Ｂ． １．１．２５ ★★★★ 集合犛＝｛狓狘（狓＋犪）（狓２＋犫狓＋犮）＝０， 狓∈犚｝，犜＝ ｛狓狘（犪狓＋１）（犮狓２＋犫狓＋１）＝０， 狓∈犚｝，其中犪、犫、犮都是实数，若狘犛狘、狘犜狘分别为集合犛、犜的元素个数，则下列结论不可能的是（　　）． （Ａ）狘犛狘＝１且狘犜狘＝０（Ｂ）狘犛狘＝１且狘犜狘＝１ （Ｃ）狘犛狘＝２且狘犜狘＝２（Ｄ）狘犛狘＝２且狘犜狘＝３ 解析　如果犪＝０，犮≠０，犫２－４犮＜０，则方程 （狓＋犪）（狓２＋犫狓＋犮）＝０ 有唯一解狓＝０，而方程 （犪狓＋１）（犮狓２＋犫狓＋１）＝０ 无解．此时，狘犛狘＝１且狘犜狘＝０．如果犪犮≠０，犫２－４犮＜０，则方程（狓＋犪）（狓２＋犫狓＋犮）＝０有唯一解狓＝－犪，而方程（犪狓＋１）（犮狓２＋犫狓＋１） ＝０有唯一解狓＝－１犪，此时，狘犛狘＝１且狘犜狘＝１． 如果犪犫≠０，犮＝犫２４，犪≠犫２，方程（狓＋犪）（狓２＋ 犫狓＋犮）＝０即（狓＋犪）狓２＋犫狓＋犫２（ ）４ ＝０，解得 狓＝－犪，狓＝－犫２，而（犪狓＋１）（犮狓２＋犫狓＋１）＝０即 （犪狓＋１）犫２４狓２＋犫狓＋（ ）１ ＝０，解得狓＝－１犪，狓＝ －２犫．此时，狘犛狘＝２且狘犜狘＝２． 若狘犜狘＝３，则（犪狓＋１）（犮狓２＋犫狓＋１）＝０必须有犪≠０，犮≠０，犫２－４犮＞０．而狓＝－犪必定是方程（狓＋犪）（狓２＋犫狓＋犮）＝０的解，当犫２－４犮＞０时，狓２＋犫狓＋犮＝０必有两个不相同的解．而要使得狘犛狘＝２，则 必须（－犪）２－犪犫＋犮＝０，此时，犮 －１（ ）犪 ２＋犫 －１（ ）犪 ＋ １＝０，即狓＝－１犪 是犮狓２＋犫狓＋１＝０的解，于是 狘犜狘＝２，矛盾．所以狘犛狘＝２与狘犜狘＝３不能同时成立，答案为Ｄ． 　１．１．２６　 ★★★★ 设犛是整数集犣的非空子集，如果任取犪， 犫∈犛有犪犫∈犛，则称犛关于数的乘法是封闭的．若犜， 犞是犣的两个不相交的非空子集，犜∪犞＝犣，且任取犪，犫，犮∈犜有犪犫犮∈犜；任取狓，狔，狕∈犞，有狓狔狕∈ 犞，则下列结论恒成立的是（　　）． （Ａ）犜，犞中至少有一个关于乘法是封闭的 （Ｂ）犜，犞中至多有一个关于乘法是封闭的 （Ｃ）犜，犞中有且只有一个关于乘法是封闭的 （Ｄ）犜，犞中每一个关于乘法都是封闭的 ４　　　　 ／!"#$%&'()*+,-./ 解析　由于犜和犞是犣的两个不相交的非空子集，且 犜∪犞＝犣，则１必属于集合犜和犞中的某一个，不妨设１∈犜，令犮＝１并任取犪，犫∈犜，则犪犫×１∈犜，即 犪犫∈犜，所以，集合犜关于乘法是封闭的．结论Ａ是正确的． 若集合犜＝｛狓狘狓＝２犽，犽∈犣｝，犞＝｛狓狘狓＝ ２犽＋１，犽∈犣｝，则犜和犞是犣的两个不相交的非空子集，犜∪犞＝犣，由于三个偶数的乘积必为偶数，三个奇数的乘积必为奇数，犞和犜是两个满足要求的犣的子 集，并且对乘法都是封闭的．所以，结论Ｂ和Ｃ都是不 正确的． 若集合犜为非负整数集，犞 为负整数集，则犜和 犞是整数集犣的两个不相交的非空子集，且犜∪犞＝ 犣，三个非负整数的乘积仍然是非负整数，并且任取犪， 犫∈犜，都有犪犫∈犜，即集合犜关于乘法是封闭的，而任取狓，狔，狕∈犞，都有狓狔狕∈犞（任意三个负整数的乘积仍为负整数），狓狔犞（任意两个负整数的乘积为正整数），所以集合犞 关于乘法不封闭．结论Ｄ是不正 确的． 综上所述，答案为Ａ． １．１．２７ ★★★★ 设犘是一个数集，且至少含有两个数，若对 任意犪，犫∈犘，都有犪＋犫，犪－犫，犪犫，犪犫 ∈犘（除数 犫≠０），则称犘是一个数域．例如有理数集犙是数域， 数集犉＝｛犪＋犫槡２狘犪，犫∈犙｝也是数域．有下列命题： ① 整数集是数域； ② 若有理数集犙犕，则数集犕必为数域； ③ 数域必为无限集； ④ 存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是　　　　（把你认为正确的命题的序号填上）． 解析　因为任意两个整数的商不一定是整数，故命题 ①不正确；当集合犕 ＝犙∪｛槡２｝时，由于１∈犙，而 １ 槡２ 犕，故命题②不正确；由数域犘的定义知，必有 犫犫 ＝１∈犘，从而２∈犘，则３∈犘，…，所以，整数集 犣犘，故数域犘中必有无穷多个元素，命题③正确； 由于数集犉＝｛犪＋犫槡２狘犪，犫∈犙｝是数域，则将其中 的槡２换成槡３，槡５，…等仍为数域，所以数域有无穷多 个，命题④正确．所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④． 　１．１．２８　 ★★★★ 非空集合犌关于运算满足：（１）对任意 犪，犫∈犌，都有犪犫∈犌；（２）存在犲∈犌，使得对一切犪∈犌，都有犪犲＝犲犪＝犪，则称犌关于运算 为“融洽集”．现给出下列集合和运算： ①犌＝｛非负整数｝，为整数的加法； ②犌＝｛偶数｝，为整数的乘法； ③犌＝｛平面向量｝，为平面向量的加法； ④犌＝｛二次三项式｝，多项式的乘法；其中犌关于运算为“融洽集”的是　　　　（写出所有“融洽集”的序号）． 解析　对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中犲＝０；对于偶数集和乘法运算，其中不存在满足要求的元素犲；对于平面向量集 合以及向量的加法运算，任意两个平面向量之和仍为 该平面内的向量，犲＝０→；对于二次三项式集合以及多项式的乘法，其中不存在满足要求的元素犲．所以集合 犌关于运算为“融洽集”的是①和③． １．１．２９ ★★★★ 如果集合犕＝｛狓狘狓＝犪２＋１，犪∈犖｝， 犘＝｛狔狘狔＝犫２－４犫＋５，犫∈犖｝，求证：犕犘． 解析　任取狓∈犕，则一定存在犪∈犖，使得狓＝犪２＋ １＝（犪＋２－２）２＋１＝（犪＋２）２－４（犪＋２）＋５，此时，必有犪＋２∈犖，所以，狓∈犘，即犕犘．当犫＝２时，狔＝犫２－４犫＋５＝１，即１∈犘．若 １∈犕，则１＝犪２＋１，解得犪＝０与犪∈犖 矛盾，即 １犕．所以，犕犘． 　１．１．３０　 ★★★★ 已知集合犛＝ ｛狓狘狓＝ 犿２ ＋狀２，犿， 狀∈犣｝．求证：若犪，犫∈犛，则犪犫∈犛． 解析　由犪，犫∈犛得，存在整数狆，狇，狉，狊，使得犪＝ 狆２＋狇２，犫＝狉２＋狊２，则犪犫＝（狆２＋狇２）（狉２＋狊２）＝ 狆２狉２＋狇２狊２＋狆２狊２＋狇２狉２＝（狆狉＋狇狊）２＋（狆狊－狇狉）２，其中狆狉＋狇狊和狆狊－狇狉都是整数，所以犪犫∈犛． １．１．３１ ★★★★ 已知集合犘＝｛狓狘狓＝犿２＋狀２，犿∈犣， 狀∈犣｝，集合犙＝｛狔狘狔∈犖，２狔＝狊２＋狋２，狊∈犣， 狋∈犣｝，求证：犘＝犙． 解析　任取狓∈犘，则存在整数犿和狀，狓＝犿２＋狀２，于是２狓＝２（犿２＋狀２）＝（犿＋狀）２＋（犿－狀）２，其中 犿＋狀和犿－狀都是整数，所以狓∈犙，即犘犙．任取狔∈犙，则狔∈犖，且存在狊∈犣，狋∈犣，２狔＝ 狊２＋狋２，由２狔是偶数得狊与狋或同为偶数，或同为奇数， ４狔＝２（狊２＋狋２），则狔＝ 狊＋狋（ ）２ ２＋ 狊－狋（ ）２ ２，不论狊与 狋同为偶数还是同为奇数，狊＋狋和狊－狋总是偶数，狊＋狋２ ∈犣，狊－狋２ ∈犣，所以狔∈犘，即犙犘． 所以犘＝犙． 　１．１．３２　 ★★★★ 已知集合犃＝｛狓狘狓＝１２犪＋８犫，犪，犫∈犣｝， 犅＝｛狔狘狔＝２０犮＋１６犱，犮，犱∈犣｝．判断集合犃与集合 犅之间存在什么关系，并说明理由． 解析　若狔∈犅，即狔＝２０犮＋１６犱＝１２犮＋８（犮＋２犱），因为犮，犱∈犣，则有犮＋２犱∈犣，从而狔∈犃，于是犅 第１章　集合与简易逻辑  ／５　　　　 犃；若狓∈犃，则狓＝１２犪＋８犫＝６０犪－４８犪＋４０犫－ ３２犫＝２０（３犪＋２犫）＋１６（－３犪－２犫），因为犪，犫∈犣，则有 ３犪＋２犫，－３犪－２犫∈犣，于是犃犅．所以犃＝犅． ("#$%)* １．１．３３ ★　 已知全集犐＝ ｛犪１，犪２，犪３，犪４，犪５，犪６｝，集合 犃＝｛犪１，犪３，犪４，犪５｝，犅 ＝ ｛犪１，犪４｝，则 犃 ∩瓓犐犅 ＝（　　）． （Ａ）｛犪１，犪４｝　　 （Ｂ）｛犪２，犪６｝（Ｃ）｛犪３，犪５｝　　 （Ｄ）｛犪２，犪３，犪５，犪６｝解析　瓓犐犅＝｛犪２，犪３，犪５，犪６｝，所以犃∩瓓犐犅＝｛犪３，犪５｝，答案为Ｃ． 　１．１．３４　 ★　 若集合犕＝｛狓狘狘狓狘≤２｝，犖＝｛狓狘狓２－ ３狓＝０｝，则犕∩犖＝（　　）． （Ａ）｛３｝　　 （Ｂ）｛０｝　　 （Ｃ）｛０，２｝　　（Ｄ）｛０，３｝ 解析　犕＝［－２，２］，犖＝｛０，３｝，所以犕∩犖＝｛０｝，答案为Ｂ． １．１．３５ ★　 设全集犐＝ ｛２，３，５｝，犃＝ ｛狘犪－５狘，２｝， 瓓犐犃＝｛５｝，则犪的值为（　　）．（Ａ）２　　 （Ｂ）８ （Ｃ）２或８　　 （Ｄ）－２或８ 解析　由犃∪瓓犐犃＝犐得狘犪－５狘＝３，所以犪＝２或 ８，答案为Ｃ． 　１．１．３６　 ★　 设集合犕＝｛狓狘犪１狓２＋犫１狓＋犮１＝０｝，犖＝ ｛狓狘犪２狓２ ＋犫２狓＋犮２＝０｝，则方程 （犪１狓２ ＋犫１狓＋ 犮１）（犪２狓２＋犫２狓＋犮２）＝０的解集是（　　）．（Ａ）犕∩犖 （Ｂ）犕∪犖 （Ｃ）犖 （Ｄ）犕 解析　由（犪１狓２＋犫１狓＋犮１）（犪２狓２＋犫２狓＋犮２）＝０可得 （犪１狓２＋犫１狓＋犮１）＝０或（犪２狓２＋犫２狓＋犮２）＝０，所以该方程的解集是犕∪犖，答案为Ｂ． １．１．３７ ★　 若集合犕 ＝ ｛（狓，狔）狘狓＋狔＝０｝，犘＝｛（狓，狔）狘狓－狔＝２｝，则犕∩犘＝（　　）．（Ａ）（１，－１） （Ｂ）｛狓＝１｝∪｛狔＝－１｝（Ｃ）｛１，－１｝ （Ｄ）｛（１，－１）｝ 解析　由 狓＋狔＝０，狓－狔＝２｛ ，得 狓＝１，狔＝－１｛ ，所以犕 ∩犘＝ ｛（１，－１）｝，答案为Ｄ． 　１．１．３８　 ★　 若犃、犅、犆为三个集合，犃∪犅＝犅∩犆，则一定有（　　）． （Ａ）犃犆 （Ｂ）犆犃（Ｃ）犃≠犆 （Ｄ）犃＝ 解析　任取狓∈犃，则狓∈犃∪犅＝犅∩犆，于是狓∈ 犅∩犆，则狓∈犆，所以犃犆，答案为Ａ． １．１．３９ ★　 已知犃＝｛狓狘狓≤７｝，犅＝｛狓狘狓＜２｝，犆＝｛狓狘狓＞５｝，则犃∩犅＝　　　　；犃∪犆＝　　　　； 犃∩犅∩犆＝　　　　． 解析　由已知得犃∩犅＝｛狓狘狓＜２｝，犃∪犆＝犚， 犃∩犅∩犆＝． 　１．１．４０　 ★　 若集合犃＝｛狓狘－２＜狓＜１或狓＞１｝，犅＝｛狓狘犪≤狓≤犫｝满足犃∪犅＝ ｛狓狘狓＞－２｝，犃∩ 犅＝｛狓狘１＜狓≤３｝，则犪＝　　　　；犫＝　　　　． 解析　如图所示，在数轴上画出集合犃∪犅和犃∩犅可得犪＝１，犫＝３． 题１．１．４０ 题１．１．４１ １．１．４１ ★　 全集犝的子集犃、犅、 犆的关系如图所示：其中三个 圆分别表示集合犃、犅、犆，试用 集合犃、犅、犆的运算结果表述 图中的阴影所代表的集合： 　　　　． 解析　图中的阴影部分表示集合瓓犝犃∩犅∩犆． 　１．１．４２　 ★★　 设犃、犅、犐均为非空集合，且满足犃  犅犐，则下列各式中错误的是（　　）．（Ａ）（瓓犐犃）∪犅＝犐 题１．１．４２ （Ｂ）（瓓犐犃）∪（瓓犐犅）＝犐（Ｃ）犃∩（瓓犐犅）＝（Ｄ）（瓓犐犃）∩（瓓犐犅）＝瓓犐犅解析　集合犃、犅、犐的关系如图所示，可知（瓓犐犃）∪ （瓓犐犅）＝ 瓓犐犃≠犐，所以答案为Ｂ． １．１．４３ ★★　 已知集合犕＝｛（狓，狔）狘狓，狔∈犣｝，犘＝ ｛（狓，狔）狘狔＝槡２狓，狓∈犚｝，则犕∩犘是（　　）．（Ａ） （Ｂ）单元集 （Ｃ）非单元集的有限集 （Ｄ）无限集 解析　函数狔＝槡２狓的图象过点（０，０），当狓＝犽（犽∈ 犣，犽≠０）时，狔＝槡２犽犣，所以犕∩犘＝｛（０，０）｝，答案为Ｂ． 　１．１．４４　 ★★　 设全集犐＝｛（狓，狔）狘狓，狔∈犚｝，集合犕＝ （狓，狔）狔－３狓－２＝｛ ｝１ ，犖＝｛（狓，狔）狘狔≠狓＋１｝，那 么瓓犐（犕∪犖）＝（　　）．（Ａ）　　 （Ｂ）｛（２，３）｝ （Ｃ）（２，３）　　 （Ｄ）｛（狓，狔）狘狔＝狓＋１｝ 解析　集合犐表示平面上所有的点，集合犕表示直线 狔＝狓＋１上除（２，３）外的所有点，集合犖表示不在直线狔＝狓＋１上的所有点，所以犕∪犖表示平面上除（２，３）外的所有点，所以，瓓犐（犕∪犖）是集合｛（２，３）｝，答案为Ｂ． ６　　　　 ／!"#$%&'()*+,-./ １．１．４５ ★★　 设全集犝＝｛（狓，狔）狘狓∈犚，狔∈犚｝，集合犃＝｛（狓，狔）狘狓≥０，狔∈犚｝，犅＝｛（狓，狔）狘狓∈ 犚，狔≥０｝，则瓓犝（犃∪犅）＝ ． 解析　犃∪犅＝｛（狓，狔）狘狓≥０或狔≥０｝，集合犃∪犅由直角坐标平面上第一、第二、第四象限及狓轴和狔轴上的点构成，于是，瓓犝（犃∪犅）是由直角坐标平面上第三象限内点构成，所以 瓓犝（犃∪犅）＝｛（狓，狔）狘狓＜０且狔＜０｝． 　１．１．４６　 ★★　 若全集犐＝犚，犳（狓），犵（狓）都是定义域为犚的函数，犘＝｛狓狘犳（狓）＜０｝，犙＝｛狓狘犵（狓）≥０｝，则 不等式组 犳（狓）＜０，犵（狓）＜｛ ０的解集用犘、犙表示为　　　　． 解析　由已知可得不等式犵（狓）＜０的解集是瓓犐犙，所以不等式组的解集是犘∩瓓犐犙． １．１．４７ ★★　 设犘表示△犃犅犆所在平面上的点，则集 合｛犘狘犘犃＝犘犅｝∩｛犘狘犘犅＝犘犆｝＝　　　　． 解析　由已知得点犘到△犃犅犆 三顶点等距，所以 ｛犘狘犘犃＝犘犅｝∩ ｛犘狘犘犅＝犘犆｝＝ ｛△犃犅犆 的外心｝． 　１．１．４８　 ★★　 若集合犃是一个有限集，我们以犳（犃）表示该 集合中元素的个数．例如：犳（）＝０，犳（｛犪｝）＝１等等． （１）已知集合犕＝｛（狓，狔）狘狔＝狓２，狓∈犚｝，若集合犖 ＝ ｛（狓，狔）狘狔＝犫｝，其中犫是实常数，求 犳（犕∩犖）的值；（２）已知集合犕＝｛（狓，狔）狘狔＝狓２，狓∈犣｝，若集合犘＝｛（狓，狔）狘狔＝狓＋狆｝，其中狆是实常数，如 果存在整数犽使得（犽，犽２）∈犕∩犘，求证：犳（犕∩ 犘）＝２． 解析　（１）若犫＜０，则犳（犕∩犖）＝０；若犫＝０，则 犳（犕∩犖）＝１；若犫＞０，则犳（犕∩犖）＝２．（２）由已知可得关于狓的方程狓２＝狓＋狆有一个根是犽，则犽２＝犽＋狆，即狆＝犽２－犽，于是，方程狓２＝ 狓＋狆即为狓２－狓－（犽－１）犽＝０，即（狓－犽）（狓＋犽－ １）＝０，解得狓＝犽或狓＝１－犽，所以犕∩犘＝｛（犽， 犽２），（１－犽，（１－犽）２）｝，由犽是整数得犽≠１－犽，则 犳（犕∩犖）＝２． １．１．４９ ★★★ 设全集为犚，犃＝｛狓狘狓２－５狓－６＞０｝， 犅＝｛狓‖狓－５狘＜犪｝（犪是常数），且１１∈犅，则（　　）． （Ａ）瓓犚犃∪犅＝犚　　 （Ｂ）犃∪瓓犚犅＝犚　　（Ｃ）瓓犚犃∪瓓犚犅＝犚　　 （Ｄ）犃∪犅＝犚 解析　集合犃＝｛狓狘狓＞６或狓＜－１｝，由１１∈犅得 狘１１－５狘＜犪，即犪＞６，而集合犅＝（５－犪，５＋犪），此时５－犪＜－１，５＋犪＞１１，所以犃∪犅＝犚，答案为Ｄ． 　１．１．５０　 ★★★ 已知犘＝ ｛狔狘狔＝狓２＋１，狓∈犚｝，犙＝｛狔狘狔＝狓＋１，狓∈犚｝，则犘∩犙＝（　　）． （Ａ）｛（０，１），（１，０）｝　　 （Ｂ）｛０，１｝　　 （Ｃ）｛１，２｝　　 （Ｄ）｛狔｜狔≥１｝ 解析　集合犘、犙分别是函数狔＝狓２＋１，狔＝狓＋１的值域，于是犘＝［１，＋∞），犙＝犚，所以犘∩犙＝［１， ＋∞），答案为Ｄ． １．１．５１ ★★★ 若犘∩犛＝，且犕＝｛犘′狘犘′是犘的子集｝，犖＝｛犛′狘犛′是犛的子集｝，则下列各式中一定成 立的是（　　）． （Ａ）犕∩犖＝ （Ｂ）犕∩犖＝｛｝ （Ｃ）犕∩犖犘∩犛 （Ｄ）犕∩犖＝犘∩犛 解析　由是任何集合的子集，可得∈犕且 ∈ 犖．任取犘′∈犕，且犘′≠，则犘′犘，如果犘′犛，则存在狓∈犘′，有狓∈犘且狓∈犛，与犘∩犛＝矛盾，所以犘′不是犛的子集，犘′犖，同理可得犛′∈犖且 犛′≠，有犛′犕，即犕与犖有且仅有一个公共元素 ，所以犕∩犖＝｛｝，答案为Ｂ． 　１．１．５２　 ★★★ 设全集犝 ＝犖，集合犃＝ ｛狓狘狓＝２狀， 狀∈犖｝，犅＝｛狓狘狓＝３狀，狀∈犖｝，则瓓犝（犃∪犅）＝（　　）． （Ａ）｛狓狘狓＝６狀，狀∈犖｝（Ｂ）｛狓狘狓＝６狀±１，狀∈犖｝（Ｃ）｛狓狘狓＝６狀±２，狀∈犖｝（Ｄ）｛狓狘狓＝６狀±３，狀∈犖｝ 解析　对于狓＝２狀，狀∈犖，若狀＝３犽（犽∈犖），则 狓＝６犽；若狀＝３犽－１（犽∈犖），则狓＝６犽－２；若狀＝ ３犽－２（犽∈犖），则狓＝６犽－４，对于狓＝３狀，若狀＝ ２犽（犽∈犖），则狓＝６犽；若狀＝２犽－１（犽∈犖），则 狓＝６犽－３，所以瓓犝（犃∪犅）＝ ｛狓狘狓＝６狀±１，狀∈ 犖｝，答案为Ｂ． １．１．５３ ★★★ 我们称（犘，犙）为“有序集合对”，其中犘、犙 是集合，当犘≠犙时，认为（犘，犙）与（犙，犘）是两个不同的“有序集合对”．那么，使得犃∪犅＝｛犪，犫｝成立的“有序集合对”（犃，犅）共有（　　）个． （Ａ）９ （Ｂ）４ （Ｃ）７ （Ｄ）１６ 解析　若犃＝，则只能犅＝｛犪，犫｝；若犃＝｛犪｝，则 犅可以为｛犫｝或｛犪，犫｝；若犃＝｛犫｝，则犅可以为｛犪｝或 ｛犪，犫｝；若犃＝｛犪，犫｝，则犅可以是，｛犪｝，｛犫｝，｛犪， 犫｝这四个集合中的某一个，所以，使得犃∪犅＝｛犪，犫｝成立的“有序集合对”（犃，犅）共有９个，答案为Ａ． 　１．１．５４　 ★★★ 已知集合犕＝｛２，３，犿２＋４犿＋２｝，犘＝｛０， ７，犿２＋４犿－２，２－犿｝满足犕∩犘＝｛３，７｝，则实数 犿的值是　　　　． 解析　由已知得７∈犕，则犿２＋４犿＋２＝７，解得犿＝ １或犿＝－５．若犿＝１，则犿２＋４犿－２＝３，２－犿＝ １．若犿＝－５，则２－犿＝７，与集合中元素的互异性矛 盾，所以犿的值是１． 第１章　集合与简易逻辑  ／７　　　　 １．１．５５ ★★★ 已知集合犘＝｛狓狘－２≤狓≤５｝，非空集合 犙＝｛狓狘犽＋１≤狓≤２犽－１｝，若犘∩犙＝，则犽的取值范围是 ． 解析　要使得犙≠，应有２犽－１≥犽＋１，解得犽≥２，要使得犘∩犙＝，则应有犽＋１＞５或２犽－１＜－２， 解得犽＞４或犽＜－１２，所以犽的取值范围是犽＞４． 　１．１．５６　 ★★★ 如果全集犝 ＝ ｛犪，犫，犮，犱，犲，犳｝，犃＝ ｛犪，犫， 犮，犱｝，犃 ∩ 犅 ＝ ｛犪｝，瓓犝（犃∪犅）＝ ｛犳｝，则 犅＝ 　　　　． 解析　如图所示，由表示集合犝、犃、犅的图形可得只有 犲∈（瓓犝犃）∩犅，所以犅＝｛犪，犲｝． 题１．１．５６ 　 题１．１．５７ １．１．５７ ★★★ 如果全集犝 含有１２个元素，犘、犙都是犝 的子集，犘∩犙中含有２个元素，瓓犝犘∩瓓犝犙含有４个元素，瓓犝犘∩犙含有３个元素，则犘含有　　　　个元素，犙含有　　　　个元素． 解析　如图所示，由表示集合犝、犘、犙的图形可得犘、 犙中各有５个元素． 　１．１．５８　 ★★★ 已知集合犃＝｛狓狘狓＝５犽＋３，犽∈犖｝， 犅＝｛狓狘狓＝７犽＋２，犽∈犖｝，则犃∩犅中的最小元素是　　　　． 解析　由已知可得集合犃＝ ｛３，８，１３，１８，２３，２８， ３３，…｝，犅＝｛２，９，１６，２３，３０，…｝，所以犃∩犅中的最小元素是２３． １．１．５９ ★★★ 集合犃＝｛狓狘狓＝犽２，犽∈犖｝，犃犻＝｛狓狘狓＝１０犽＋犻，犽∈犖｝，其中犻∈｛０，１，２，…，９｝，那么，使得犃∩犃犻＝的犻是 ．解析　集合犃是由全体非负整数的完全平方数构成的集合，完全平方数的个位数只可能是０，１，４，９，６， ５，而非负整数集合犃犻中每一个整数的个位数都是犻，所以，当犻＝２，３，７，８时，犃∩犃犻＝． 　１．１．６０　 ★★★ 已知常数犪是正整数，集合犃 ｛＝ 狓狘狓－ 犪狘＜犪＋１２，狓∈ ｝犣 ，犅＝｛狓‖狓狘＜２犪，狓∈犣｝，则 集合犃∪犅中所有元素之和为　　　　． 解析　由狘狓－犪狘＜犪＋１２可得－１２＜狓＜２犪＋１２， 而狓∈犣，于是犃＝｛０，１，２，３，…，２犪－１，２犪｝．由 狘狓狘＜２犪得 －２犪＜狓＜２犪，又狓∈犣，则犅 ＝ ｛－（２犪－１），－（２犪－２），…，（２犪－２），（２犪－１）｝．于是，犃∪犅＝｛－（２犪－１），－（２犪－２），…，－１，０， １，…，（２犪－２），（２犪－１），２犪｝，其中所有元素之和为 ２犪． １．１．６１ ★★★ 已知集合犃＝｛狓狘狓２－犪狓＋犪２－１９＝０｝， 犅＝｛狓狘狓２－５狓＋６＝０｝，犆＝｛狓狘狓２＋２狓－８＝０｝，若犃∩犅≠，犃∩犆＝，求犪的值． 解析　集合犅＝ ｛２，３｝，集合犆＝ ｛２，－４｝，要使得 犃∩犅≠，犃∩犆＝，则应有３∈犃，２犃．于是３２－３犪＋犪２－１９＝０，即犪２－３犪－１０＝０，即（犪＋２）（犪－５）＝０，解得犪＝－２或犪＝５．若犪＝５，则犃＝｛狓狘狓２－５狓＋６＝０｝＝｛２，３｝，与犃∩犆≠，矛盾；若犪＝－２，则犃＝｛狓狘狓２＋２狓－１５＝０｝＝｛－５， ３｝，此时犃∩犅≠，犃∩犆＝．所以犪＝－２． 　１．１．６２　 ★★★★ 我们将犫－犪称为集合｛狓狘犪≤狓≤犫｝的“长 度”．若集合犕 ｛＝ 狓犿≤狓≤犿＋ ｝３４ ，犖 ｛＝ 狓狀－ １３≤狓≤ ｝狀 ，且犕和犖都是集合｛狓狘０≤狓≤１｝的 子集，则集合犕∩犖的“长度”的最小值是（　　）． （Ａ）１３ （Ｂ）１１２ （Ｃ）２３ （Ｄ）５１２ 解析　集合犕和犖 的“长度”分别是３４和１３，又犕和 犖 都是集合｛狓狘０≤狓≤１｝的子集，于是，当犿＝１４， 狀＝０时，集合犕∩犖的“长度”取得最小值 １３－１４＝ １１２，答案为Ｂ． １．１．６３ ★★★★ 对于集合犃、犅，定义集合运算：犃－犅＝ ｛狓狘狓∈犃 且狓 犅｝，则下列结论中不正确的是（　　）． （Ａ）若犃－犅＝犃，则一定有犅＝ （Ｂ）若犃＝犅，则犃－犅＝ （Ｃ）（犃－犅）∩（犅－犃）＝（Ｄ）（犃－犅）∪（犅－犃）＝（犃∪犅）－（犃∩犅） 题１．１．６３ 解析　若集合犃是正整数集合，即犃＝犖，集合犅是负整数集合，即犅＝ ｛狓狘狓＝－狀， 狀∈犖｝，任取狓∈犃，必有 狓犅，此时 犃 －犅 ＝ 犃， 犅≠，所以选项Ａ不正确．当犃＝犅时，使得狓∈犃和狓犅同时成立的元素狓不存在，所以选项Ｂ正确． ８　　　　 ／!"#$%&'()*+,-./ 如图所示，由表示集合的图形可知 （犃－犅）∩（犅－犃）＝ 和（犃－犅）∪ （犅－犃）＝ （犃∪犅）－（犃∩犅）都是正确命题，所以答案为Ａ． 　１．１．６４　 ★★★★ 已知集合犃＝｛狓狘狓２＋（犿＋２）狓＋１＝０， 狓∈犚｝，且犃∩犚＋＝ ，求实数犿 的取值范围． 解析　若犃＝，则Δ＝（犿＋２）２－４＜０，解得－４＜ 犿＜０；若犃≠，则由狓２＋（犿＋２）狓＋１＝０没有正数 根得 （犿＋２）２－４≥０，－（犿＋２）≤０｛ ， 解得犿≥０．所以犿的取值范围是犿＞－４． １．１．６５ ★★★★ 若集合犃＝｛狓狘狓２－２犪狓＋犪＝０，狓∈犚｝， 犅＝｛狓狘狓２－４狓＋犪＋５＝０，狓∈犚｝．（１）若犃＝犅＝，求犪的取值范围； （２）若犃和犅中至少有一个是，求犪的取值范围； （３）若犃和犅中有且仅有一个是，求犪的取值范围． 解析　（１）若犃＝，则４犪２－４犪＜０，解得０＜犪＜１．若犅＝，则１６－４（犪＋５）＜０，解得犪＞－１，所以使 犃＝犅＝成立的犪的取值范围是０＜犪＜１．（２）由（１）可知，设犃′＝（０，１），犅′＝（－１，＋∞），则使犃和犅中至少有一个是的实数犪∈犃′∪犅′，所以使犃和犅中至少有一个是的实数犪的取值范围是犪＞－１．（３）使犃和犅中有且仅有一个是的犪∈［犃′∩（瓓犚犅′）］∪［（瓓犚犃′）∩犅′］，所以，使犃和犅中有且仅有一个是的犪的取值范围是－１＜犪≤０或犪≥１． 　１．１．６６　 ★★★★ 已知集合犐＝｛１，２，３，…，狀｝，其中狀是正整数，狀≥１５，集合犃、犅都是犐的真子集，犃∩犅＝ ，犃∪犅＝犐，证明：在集合犃或集合犅中，必有两个数的和是完全平方数． 解析　由于１∈犐＝犃∪犅，则１∈犃和１∈犅至少有一个成立，又犃∩犅＝，于是，不妨设１∈犃．如果集合犃、犅中的任意两数之和都不是完全平方数，则由 １∈犃得３∈犅，并有６∈犃，１０∈犅，１５∈犃，而１＋ １５＝１６＝４２，于是集合犃以及集合犅中的任意两数之 和都不是完全平方数这一假设不成立，所以在集合犃 或集合犅中，必有两个数的和是完全平方数． 题１．１．６７ １．１．６７ ★★★★ 对于集合犕、犖，定 义集合运算：犕－犖＝｛狓狘狓∈ 犕且狓犖｝．试指出运算犕－（犕－犖）的结果并予以证明． 解析　如图所示，利用表示集合 犕和犖 的图形可得犕－（犕－ 犖）＝犕∩犖． 任取狓∈犕－（犕－犖），则狓∈犕，狓犕－犖．如果狓犖，则有狓∈犕－犖，矛盾，于是狓∈犖．所以 狓∈犕且狓∈犖，则狓∈犕∩犖，即犕－（犕－犖） 犕∩犖．任取狓∈犕∩犖，则狓∈犕且狓∈犖．如果狓∈ 犕－犖，则狓犖，矛盾，于是狓犕－犖，从而狓∈ 犕－（犕－犖），即犕∩犖犕－（犕－犖）．所以犕－（犕－犖）＝犕∩犖． 　１．１．６８　 ★★★★ 已知全集犝＝｛１，２，３，４｝，集合犃犝，对于狓∈犝，如果狓∈犃，则２狓犃，如果狓∈瓓犝犃，则 ２狓瓓犝犃，求集合犃． 解析　由已知可得，１和２，２和４既不能同时属于犃， 也不能同时属于瓓犝犃