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多功能题典·高中数学竞赛(第三版)

2013-08-26 30页 pdf 16MB 1137阅读

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多功能题典·高中数学竞赛(第三版)
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体例新颖!题典家族不仅为每一道题提供了精妙的%题解&!更积极引导读者%解题&!注重方 法$思路的点拨!还为每一道题标出了难度星级!使读者学有所思$学有所得!不仅能举一反三!更 能了解自己的学习水平!把握学习方向! 超强检索!题典家族配备了强大的网络检索功能!当您需要某种检索时!可以方便地进入网 站'0112())134356!/76829/::!7;/和百度一样方便! 题典家族立意新颖!篇幅较大!难免有疏漏之处!敬请不吝指正! 华东师范大学出版社 教辅分社 !!再版前言 !!)**?年@月本书第一版出版!获得了广大学生$教师和家长的好评!读者的总体评价大致如 下(题目丰富!类型多+难度分类细!针对性强!对数学竞赛和自主招生都有一定的帮助!读者的好 评!是对编者最好的肯定和鼓励!为使本书更完善!也为了更好地回报广大读者的厚爱!编者完成 了对本书的修订! 此次修订!在保留原有体例$编排的基础上!增加了近几年典型的新赛题!改写了一些问题的 解法!订正了一些错误!同时删去了一些较偏较难的题目! 新版采用新的开本和排版方式!以使读者更为方便地阅读!衷心希望各种不同层次和需求的 读者可以在这本题典中获益! 单!墫!熊!斌 )*,.年A月)*日 !!前!言 !!华东师范大学出版社的数学奥林匹克小丛书'蓝本书*!又添了一个新丁,,,"多功能题典- 高中数学竞赛#! 各种数学竞赛!年复一年地进行!参与的人越来越多!已经成为全民性的健脑活动!竞赛题成 千上万!纷至沓来!于是!竞赛题典也就自然地应运'适应需要*而生! 编题典!有两种不同的方针! 一种是求全!希望能将所有出现过的竞赛题全部搜罗进来!一网打尽!但这样做!篇幅势必非 常巨大!至少是这部题典的五六倍!其中大同小异的题将相当的多!而遗漏又很难避免!何况!新 题不断出现!%全&又很快变为不全!与其花大力气编这样的书!不如做成光盘或利用网络更为 合适! 我们采取另一种方针!即求精!在众多的赛题中精选出一部分%好题&!一道题被选中!原因不 尽相同!或可作典型!或非常独特+或有深刻的背景!或解法值得留意+或为原创而饶有新意!或可 作推广至一般情形+..读者由这些题!举一反三!可以收到更多的益处! 有不少题的解!是我们自己的解法!如!将 '!"#$*'!"%)#$*#'!"%,#$*)作为$的一次数! 很容易得出它在区间/*!!"B)0上恒为负!又如!采用向量!立即得出单位向量 "##&'$ "##&($ "##&)的和 为零!从而两两的夹角为,)**!这些都比常见的%标准&解法简明! 书中所需知识与使用的符号!可在书末附录中查到! 为适应不同的需要!我们将题目的难度分为四级!一个星的比较容易!四个星的最难!一$二$ 三$四个星的比!大致为,CACAC,! 代数部分由熊斌$冯志刚$刘诗雄编写!几何部分由田廷彦$刘诗雄$万军编写!组合部分由张 思汇$熊斌编写!数论部分由单墫$王巧林编写! 希望使用本题典的读者!能用较少的时间!取得较好的效果!希望这本题典能对数学竞赛的 发展!起一些推进作用! 单!墫 )**?年@月 目!录 第一篇!代数第 1章!集合与函数 #…………………………1+1!集合的概念与运算 #……………………1+2!映射与函数 !………………………………1+3!二次函数 *…………………………………1+4!幂函数(指数函数与对数函数 )………1+5!函数的最大值与最小值 '………………1+6!函数迭代与函数方程 ##…………………第 2章!三角函数 #)……………………………2+1!三角函数 #)………………………………2+2!三角方程与三角不等式 !(………………2+3!解三角形 *!………………………………第 3章!数列 ("…………………………………3+1!等差数列与等比数列 ("…………………3+2!递推数列 (*………………………………3+3!数列综合题 )$……………………………第 4章!不等式 &&………………………………4+1!不等式的解法 &&…………………………4+2!平均不等式 '#……………………………4+3!柯西不等式 %$……………………………4+4!排序不等式 #"*……………………………4+5!含参数的不等式 #"'………………………4+6!不等式综合问题 ##*………………………第 5章!复数 #$!………………………………5+1!复数的概念与运算 #$!…………………5+2!复数与方程 #$&……………………………5+3!复数与几何 #$%……………………………第 6章!多项式 #*(……………………………6+1!一元多项式的概念与基本性质 #*(……6+2!多项式的根及其应用 #*'………………6+3!整系数多项式 #(!…………………………6+4!不可约多项式 #()………………………… 第二篇!几何第 7章!直线形综合题 #)"……………………第 8章!圆 #)&……………………………………8+1!圆的一般问题 #)&………………………… 8+2!圆的幂(根轴(极点极线与调和点列 #&&……………………………………8+3!圆与切线 #'#………………………………8+4!多圆问题 #''………………………………第 9章!相似&位似'变换与反演变换 #%)…第 10章!平面几何问题的非纯几何解法 !"!…10+1!三角方法 !"!……………………………10+2!向量方法 !#'……………………………10+3!复数方法 !!)……………………………第 11章!几何不等式与几何极值 !$'………第 12章!立体几何 !("…………………………12+1!直线与平面 !("…………………………12+2!棱柱(棱锥与棱台 !($…………………12+3!旋转体 !)(………………………………12+4!轨迹与多面体 !&!………………………第 13章!解析几何 !&)…………………………13+1!坐标法 !&)………………………………13+2!直线方程 !'(……………………………13+3!圆 !%(………………………………………13+4!椭圆 $"&……………………………………13+5!双曲线 $!!………………………………13+6!抛物线 $$#………………………………13+7!参数方程与极坐标 $*(………………… 第三篇!数论第 14章!数的整除性 $)"………………………14+1!整除 $)"……………………………………14+2!互质 $&(……………………………………14+3!因数与倍数 $&&…………………………14+4!质数与合数 $')…………………………14+5!其他 $%)……………………………………第 15章!同余 *"*………………………………第 16章!数字问题 *"%…………………………16+1!数字和 *"%………………………………16+2!数字 *#!……………………………………第 17章!数论函数 *!$………………………… #&!#!)"*与+", *!$……………………………17!2!其他数论函数 *$"………………………第 18章!不定方程 *$*…………………………18!1!分式方程 *$*…………………………… 18!2!方程组 *$'………………………………18!3!整式方程 **#……………………………18!4!指数方程 *(*……………………………18!5!含- 的方程 *)"…………………………18!6!其他方程 *)!……………………………第 19章!杂题 *)$………………………………19!1!平方数 *)$………………………………19!2!分数(小数(无理数 *)%…………………19!3!等差数列 *&%……………………………19!4!数列 *'!……………………………………19!5!多项式(函数 *'*…………………………19!6!集合 *''……………………………………19!7!表示 *%$…………………………………… 第四篇!组合第 20章!集合与子集族 ("*…………………20!1!子集族 ("*………………………………20!2!集合的划分 ("(…………………………20!3!集合综合问题 (")………………………第 21章!组合计数 (#$…………………………21!1!对应法 (#$………………………………21!2!递推法 (#)………………………………21!3!容斥原理及其他方法 (!"………………第 22章!图论 (!(………………………………22!1!图论问题 (!(……………………………22!2!图论方法 (!)……………………………第 23章!染色问题 ($*…………………………23!1!染色问题 ($*……………………………23!2!染色方法 ($%…………………………… 第 24章!组合最值问题 (*(…………………24!1!不等式估计 (*(…………………………24!2!平均值原理 (*)…………………………24!3!其他估计方法 (*'………………………第 25章!母函数与组合恒等式 (((…………25!1!母函数方法 (((…………………………25!2!组合恒等式 ((&…………………………第 26章!操作与博弈 ()"………………………26!1!操作问题 ()"……………………………26!2!博弈问题 ()(……………………………第 27章!组合构造 (&"…………………………27!1!存在性问题 (&"…………………………27!2!构造方法 (&*……………………………第 28章!组合几何 (&%…………………………28!1!常用方法 (&%……………………………28!2!极值问题 (%(……………………………第 29章!组合方法 )"$…………………………29!1!数学归纳法 )"$…………………………29!2!算两次 )"&………………………………29!3!抽屉原理与极端原理 )#"……………… 附录有关的重要定理(公式与概念 )#*…………… 代数 )#*……………………………………… 几何 )#)……………………………………… 初等数论 )!!………………………………… 组合 )!$……………………………………… 功能检索表 )!*…………………………………… 书书书 第一篇!代!!数 第 1章 集合与函数 !"!!集合的概念与运算 !#!#! !" 设集合!"!#!"#""##"#$#"若!中所 有三元子集的三个元素之和组成的集合为$ " !%!"#"%"&#"求集合!& 解析!显然"在!的所有三元子集中"每个元素均出 现了#次"所以 #$#!'#"'##'#$%"$%!%'#'%'&"!%" 故#!'#"'##'#$"%"于是集合!的四个元素分 别为 %%$%!%"'"%%#"""%%%"("%%&"%#" 因此"集合!"!%#"("""'#& !#!#$ !"" 设集合( !" ))"# !(($ *"! +"*%!+"*"这里 +!"+""&"+"((&$!槡"%!"槡"'!##&问(中的不 同整数共有多少个' 解析!由条件可知+"*%!+"* $ !$槡"%!%""$槡"% !%$槡"'!%"$槡"'!%"#"!#%"槡""!"#'"槡"#" 设使得+"*%!+"* "#%"槡""!和#'"槡"的下标*的 个数分别为#(,(-"则)"$#%"槡"%#','$#' "槡"%-"且#','-"!(($&这里)$!的充要条件是 #"-"转为求满足"#',"!(($的非负整数解的组 数&#可取("!"&"%("&所以"(中的不同整数共 有%(#个& !#!#% !"" 一个$元实数集合(的所有子集的元 素和的总和等于"((&$这里空集的元素和认为是 (%&求(的所有元素的和& 解析!设("!#","-".#"则$#','-'.%/"#" "((&$因为(中的每个元素恰在(的"#个子集中出 现%"故#','-'.""%!&所求的为"%!& !#!#& !" 已知元素$!""%$!%$"这里!"!$+" )%0#+%)"',"(#"$"!$+")%0+"%#)%," (#&求#",的值& 解析!由条件可知 #)!%""',"(" !"%#)"%,"(! "解得#" %#",")& !#!#' !"" 已知集合!"!$+")%0)"#+'"#" $"!$+")%0)"0+'!0#"且!%$是一个单元 集&求#的取值范围& 解析!作出函数)" +'! 的图象"然后 讨论直线)"#+'" 的位置&利用图象可 知*当#&!时"!% $是单元集+当%!' #'!时"!%$是二 元集+当#(%!时" !%$也是单元集& 所求#的取值范围是$*+"*!,)-!",+%& !#!#( !"" 已知集合 ! !" $+")%)%#+%" " #' #! "$"!$+")%0$#"%!%+'$#%!%)"!%#& 问*实数#为何值时"!%$"*' 解析!当#"!时"$"*"符合要求&当#+!时" 集合!表示直线)"$#'!%+%"#'!$++"%"而 $表示直线)"%$#'!%+' !%#%!&由!%$"*" 知这两条直线平行"或交于一点1使1的横坐标为 +""&前者要求#'!"%$#'!%且%"#'!+ !% #%! "后者要求"$#'!%%"#'!"%"$#'!%' !% #%! &分别求解可得#"%!或#$ %""! #*$ &于 是"当#$ *!"*$"!"%! #" 时"!%$"*& !#!#) !"" 已知集合!"!$+")%0#+')"!#" $"!$+")%0+'#)"!#"2"!$+")%0+"')"" !#&问* $!%当实数#为何值时"$!)$%%2是一个"元集' $"%当实数#为何值时"$!)$%%2是一个#元集' 解析!显然$("!%$!%2"$!"(%$$%2"所以" $("!%"$!"(%$$!)$%%2& $!%#"(时"直线#+')"!与+'#)"!均 与圆+"')""!相切" $!)$%%2"!$("!%"$!"(%#& #"!时"直线#+')"!与+'#)"!重合" "!!!!.多功能题典)高中数学竞赛----------------------------------------------------------- 即连结$("!%"$!"(%的直线" $!)$%%2"!$("!%"$!"(%#& #+("!时"直线#+')"!与圆+"')""! 有一个不同于$("!%"$!"(%的交点" 0$!)$%%20&#& 因此#"("!& $"%这时#+("!"而且直线#+')"!与圆 +"')""!的另一个交点也是直线+'#)"!与圆 +"')""!的另一个交点"即这点是#+')"!与 +'#)"!的交点"从而+")" !#'!"代入+"' )""!得+")"3 !槡""#"%!3槡"& !#!#* !"" 设集合!"$"4满足*!%4"$%4" !%$"!)$)4"!)$&证明*4"!%$& 解析!!%$"!%4,4&另一方面"4,!) $)4"!)$"故对4中的任意元素+"都有+$ !)$"即+$!或+$$&若+$!"则+$!%4" !%$+若+$$"则+$$%4"!%$&所以" 总有+$!%$&从而"4,!%$&综合以上两方面 得4"!%$& !#!#+ !""" 给定整数5&#"设!!"!""&"!"5是集 合!!"""&"5#的两两不同的非空子集"记!"5,!. !!&求 # "5 6"! 0!6%!6'!0 0!60)0!6'!0 的最大值& 解析!对任意的6$!(6("5%"如果0!6%!6'!0" ("则0!6%!6'!00!60)0!6'!0"(+以下假设0!6%!6'!0&!& 由于!6%!6'!,!6及!6%!6'!,!6'!"所以 0!6%!6'!0(/01$0!60"0!6'!0%& 又由于!6 +!6'! 及0!6 %!6'!0&!"所以 /23$0!60"0!6'!0%&"& 因此 # "5 6"! 0!6%!6'!0 0!60)0!6'!0(# "5 6"! ! /23$0!60"0!6'!0% (# "5 6"! ! 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" 利用7"5$#/"可知只能是后一种情形"解得5" ""7"%&综上所述"$9":"7"5%"$#"!"%""%& !#$#$ !" 设7"5$#/"7(5&集合!"!#!"&" #7#"$"!,!"&",5#& $!%求所有!到$的映射的个数+ $"%求所有!到$的单射的个数+ $#%是否存在!到$上的满射' 解析!$!%由于!中的每一个元素都有5个$中的 第!章!集合与函数!$!!!!!------------------------------------------- 元素可以作为它的像"所以"! 到$ 的映射共有 57 个& $"%依次确定!中元素#!"&"#7 的像"方法数 分别为5"5%!"&"5%$7%!%&所以"!到$的单 射共有5$5%!%&$5%7'!%$"875%个& $#%当5"7时"存在!到$上的满射"满射共 有5/ 个&而当507时"不存在!到$上的满射& !#$#% !"" 设1"!505&#"5$#/#&函数8*1. #/的定义如下*对5$1"8$5%是所有不是5的约数 的正整数中最小的数&求函数8的值域& 解析!函数8的值域; "!:0:$#/":为某个质 数的正整数次幂#& 一方面"设:$;"即存在5$1"使得!"""&" :%!都是5的约数"但:5&若:不是某个质数的正 整数次幂"则可将:分解为两个互质的正整数:! 和 :"的积"这里"(:!':"':&这导致:!15":"15" 结合$:!":"%"!"就有:!:"15"即:15"矛盾&所以" ;中的数只能是某个质数的正整数次幂的形式& 另一方面"设:$#/":"9!"这里9为质数" !$#/&并设9!"9""&"9*是所有小于9!的质数" 取!!"&"!*$#/"使得9!66 09!"!(6(*&令5" 9!!!&9!**)9!%!"则由8$5%的定义可知"8$5%"9!& 综上可知"8的值域即为;& !#$#& !" 设#$0!%为常数"函数8$+%"#+%! #+'! " +$%&! $!%判断函数8$+%的奇偶性+ $"%证明*8$+%是%上的增函数+ $#%求8$+%的值域& 解析!$!%8$%+%"#%+%! #%+'! " !%#+ !'#+ "% #+%! #+'! " %8$+%"所以"8$+%是奇函数& $"%8$+%"!% " #+'! �!时"函数)"#+递 增" " #+'! 递减"所以"8$+%是%上的增函数& $#%利用#+ 0("可知#+'!0!"从而(' " #+'! '""故%!'!% "#+'!'!&所以"8$+%的 值域为$*!",+%& !#$#' !" 函数8*%.%满足*对任意+")$%"都 有8$+')%"8$+%'8$)%&证明*8$+%为奇函数& 解析!条件式中取+")"("得8$(%""8$(%" 8$(%"(&再取)"%+"得8$(%"8$+%'8$%+%" 8$%+%"%8$+%&所以"8$+%为奇函数& !#$#( !" 设8是定义在%上的函数&证明*8$+% 可以表示为%上的一个奇函数与一个偶函数之和& 解析!令<$+%" !"$8$+%'8$%+%%"=$+%" ! " $8$+%%8$%+%%"则<$%+%"<$+%"=$%+%" %=$+%"且8$+%"<$+%'=$+%& 评注!解答中的<$+%与=$+%可以通过解下述方程 组得出& 8$+%"<$+%'=$+%" 8$%+%"<$%+%'=$%+%"<$+%%=$+%! & !#$#) !" 已知函数8$+%"#+',-+'.的图象与它的 反函数的图象完全重合&问*这函数应具有何种形 式' 这里#(,(-(.为常数"并且#(-不同时为(& 解析!由)"#+',-+'.可得+ " .)%, %-)'# &因此" 8$+%的反函数为8%!$+%" .+%, %-+'# &由条件可知 #+', -+'. " .+%, %-+'# "即 $-.'#-%+"'$."%#"%+%,$#'.%"(& 上式左边应为一个零多项式"即-$#'.%"."% #""%,$#'.%"("这表明#'."(或者#" .$+(%且,"-"(&所以"8$+%"#+',-+%#或者 8$+%"+& !#$#* !" 是否存在单射8*%.%"使得对任意+$ %"都有8$+"%%8"$+%& !$' 解析!若存在满足条件的单射"则令+"(和!"得 8$(%%8"$(%& ! $ " 8$!%%8"$!%& ! $ 2 3 4 " 于是 8$(%%!$ %" " ((" 8$!%% !$ %" " ((&故8$(%"8$!%" !""这与8 为单射矛盾&所以"不存在符合要求的单射& !#$#+ !" 奇函数8$+%在定义域$*!"!%内是递增 的&已知8$!%7%'8$7"%!%'("求实数7的取 值范围& 解析!由条件知8$!%7%'%8$7"%!%"8$!%7"%& 所以"7应同时满足条件 %!'!%7'!" %!'!%7"'!" !%7'!%7" 2 3 4 " 解得 &!!!!.多功能题典)高中数学竞赛----------------------------------------------------------- ('7'!&! !#$#!,!""" 已知8$+%(<$+%是定义在%上递增的 一次函数"8$+%为整数当且仅当<$+%为整数&证明* 对一切+$%"8$+%%<$+%为整数& 解析!设8$+%"#+',"<$+%"-+'."#0(" -0(&我们先证明#"-&若不然"由对称性不妨设 #0-&! 当+"%,# 时"8$+%"("因此< %,$ %# 是整 数+当+"%,%!# 时"8$+%"!"因此< %,%!$ %# 是 整数&故 !< %,$ %# %< %,%!$ %# " -) %,$ %# '$ %. % -) %,%!$ %# '$ %. "%-# 是一个整数"但这与#0-0(矛盾& 因此#"-&又当+"%,# 时"8$+%"("因此 < %,$ %# ".%,是整数"在此对任意的+$%" 8$+%%<$+%",%.是整数& !"%!二次函数 !&%&! !" 设8$+%是一个二次函数"函数<$+%满 足*<$+%""+8$+%"<$+'!%%<$+%""+'!)+"" +$%&求<$+%的表达式& 解析!设8$+%"#+"',+'-$#","-$%"#+(%& 于是 !"+'!$#$+'!%"',$+'!%'-%%"+$#+"',+'-% ""+'!)+"" 所以"对任意+$%"都有 "#$+'!%"'",$+'!%'"-%#+"%,+%-""+"" 即 #+"'$$#',%+'"#'-""+"" 对比两边+各次项的系数可得*#""","%&" -"%$"从而 <$+%""+'!$+"%$+%"%& !&%&$ !" 设#(,为实常数"已知对任意>$%"关于 +的二次函数)"$>"'>'!%+"%"$#'>%"+'>"' ##>',图象恒过点$!"(%&求#(,的值& 解析!依题意"可得 $>"'>'!%%"$#'>%"'>"' ##>',"("对任意实数>恒成立&因此左边是关于> 的零多项式"所以 !%$#'##"(" !%"#"',"(! "解得 #"! " ,"!! & !&%&% !" 函数8$+%")+"%$*'!#%+'*"%*% "&问* $!%*为何值时"方程8$+%"(的两个根分别落在区 间$("!%和$!""%内' $"%*为何值时"不等式8$+%'(的解集包含区间 $(""%' 解析!$!%由于二次函数)"8$+%的二次项系数大 于零"开口向上"因此"条件等价于 8$(%0(" 8$!%'(" 8$"%0( 2 3 4 " 即有 *"%*%"0(" *"%"*%&'(" *"%#*0( 2 3 4 " 解得%"'*'%!或者#'*'$& $"%利用二次函数的性质"可知条件等价于 8$(%((" 8$"%((! "即有 * "%*%"((" *"%#*((! " 解得((*("& !&%&& !"" 求所有的实数#"使得对任意实数+"函 数8$+%"+"%"+% +%!%# % +%" '$的值 都是非负实数& 解析!由条件知 8$(%"% !'# '"&(" 8$!%"% # '"&(! " 解得 %"(#(!& 下面证明*当%"(#(!时"对任意+$%"都 有8$+%&(& 事实上"记>"+%!"则 8$+%">"% >%# % >%! '#& 记<$>%">"'#% >%# % >%! & 当>(#时"<$>%">"'#%$#%>%%$!%>%" >"'">'"%#"$>'!%"'$!%#%&(+ 当#(>(!时"<$>%">"'#%$>%#%%$!% >%">"'"'#"结合#&%"知<$>%&(+ 当>&!时"<$>%">"'#%$>%#%%$>%!%" >"%">'$'#"$>%!%"'#'#&#'#&!& 所以"当%"(#(!"总有8$+%&(& 满足条件的#构成的集合为!#0%"(#(!#& !&%&' !"" 设实数#(,(-(7满足条件* $!%#(7都为正实数+ $"% # 7'" ' , 7'! ' - 7 " (& 求证*方程#+"',+'-"(有一个根属于区间 $("!%&! 第!章!集合与函数!'!!!!!------------------------------------------- 解析!记8$+%"#+"',+'-"则由条件可知 8 7 7'$ %! "# 77'$ %! " ', 7 7'$ %! '- "# 7 7'$ %! " % #7 7'" "% #7 $7'!%"$7'"% '(& 另一方面"若-0("则8$(%"-0(+若-((" 则 8$!%"#','- " # 7'" '$7'!% # 7'" ' , 7'! ' -$ %7 %-7 " # 7'" % - 7 0 (& 所以"总有8$(%8 77'$ %! '(或8 77'$ %!8$!%' (&从而"方程总有一个根属于 (" 77'$ %! 或 7 7'! "$ %! "命题成立& !&%&( !"" 设#(,为实数"而方程+"'#+',"( 有两个实根&证明*存在整数5"使得 5"'#5', (/23 ! $ "! " #"%$槡! #, & 解析!记8$+%"+"'#+',"$+%"%$+%#%"这 里"&#是方程的两个实根&易知 #"%$槡 ,""%#&如果"(#中有一个为整数"不妨设"$!"则令 5"""就有 8$5%"("命题显然成立&如果"(#都不为整数"取7$!"使得7'"' 7'!&分两种情形讨论* $!%若7'#"则 ! 8$7%8$7'!% " $7%"%$7'!%"%$7%#%$7'!%#% "$"%7%$7'!%"%$#%7%$7'!%#% ( $"%7%'$7'!%"%$ %" " $#%7%'$7'!%#%$ %" " "$ %!$ " & 所以"8$7%与 8$7'!% 中有一个不大于!$& $"%若#'7则 ! 8$7%8$7'!% "$"%7%$7'!%"%$7%#%$7'!%#% ( ! $ $$"%7%$7'!%#%'$7'!%"%$7%#%%" " ! $ $"%#%"& 所以" 8$7% 与 8$7'!% 中有一个不大于 ! " #"%$槡 ,& !&%&) !"" 设二次函数8$+%"#+"',+'-$#"," -$%"#+(%满足条件* $!%当+$%时"8$+%$%"8$"%+%"且8$+%&++ $"%当+$$(""%时"8$+%( +'!$ %" " + $#%8$+%在%上的最小值为(& !!求最大的7$7 0!%"使得存在>$%"只要 +$-!"7,"就有8$+'>%(+& 解析!因为8$+%$%"8$"%+%"+$%"可知二次函 数8$+%的对称轴为+"%!&由$#%知8$+%的开口 向上"即#0("于是有8$+%"#$+'!%"$#0(%& 由$!%得8$!%&!"由$"%得8$!%( !'!$ %" " " !"从而8$!%"!"即#$!'!%""!&所以#" !$" 8$+%" ! $ $+'!%"& 因为抛物线8$+%" !$$+'!%" 的图象开口向 上"而)"8$+'>%的图象是由)"8$+%的图象平 移>个单位得到&要在-!"7,上")"8$+'>%的图 象在)"+的图象下方"且7最大"则!和7应当是 关于+的方程 ! $ $+'>'!%""+&!的两个根&将 +"!代入方程!"得>"(或>"%$& 当>"(时"代入!"得+!"+""!$这与70 !矛盾/%+ 当>"%$时"代入!"得+!"!"+""5"所以 7"5&! 又当>"%$时"对任意+$-!"5,"恒有$+% !%$+%5%(("于是!$$+%$'!%"(+"即 8$+%$%(+& 所以"7的最大值为5& !&%&* !"" 设5是不小于#的正整数"5个实数 +!"&"+5具有如下性质*对任意一个二次函数)" (!!!!.多功能题典)高中数学竞赛----------------------------------------------------------- 8$+%"数8$+!%"&"8$+5%中至少有三个数相同&证 明*+!"&"+5中至少有三个数相同& 解析!取一个二次函数8$+%"$+%7%""这里7$ %"使得7'/01!+!"&"+5#&由于函数)"8$+% 在对称轴的右边单调递增"因此若?"@07"且 8$?%"8$@%"则有?"@&注意到"+!"&"+507" 且8$+!%"&"8$+7%中有至少三个数相同"从而" +!"&"+5中也至少有三个数相同& !&%&+ !"" 已知#(,(-(.(A都为实数"且方程 #+"'$-%,%+'A%."($#+(%有一个大于!的 实根&证明*方程#+$',+#'-+"'.+'A"(至少 有两个实根& 解析!记8$+%"#+$',+#'-+"'.+'A"则 8$+%"#+$'$-%,%+"'$A%.%',+#' !,+"'.+'. "<$+"%'$,+"'.%$+'!%& ! 这里<$+%"#+"'$-%,%+'A%.& 由条件"知存在"0!"使得<$"%"("结合!式可知 8$%槡"%8$槡"%"$,"'.%"$!%槡"%$!'槡"% "$,"'.%"$!%"%((& 这表明8$*槡"%与8$槡"%不同为正数也不同为负数& 所以"8$+%"(有一个根属于-*槡""槡",&设 8$+%"$+%#%=$+%"#$-*槡""槡","则=$+%是一个三次多项式"=$+%至少有一个实根& 综上可知"8$+%"(至少有两个实根"命题 获证& !&%&!,!""" 实系数二次函数8$+%和<$+%满足*对 任意正实数+"若<$+%为整数"则8$+%也为整数&证 明*存在整数7(5"使得 8$+%"7<$+%'5& 解析!设8$+%"#+"',+'-"<$+%"9+"':+' B"这里#","-"9":"B$%"且#+("9+(& 不妨设90($否则用*<$+%代替<$+%讨论%" 进一步"还可设:"("否则作代换+.+%:"9即可 转为:"(的情形& 现在对任意*$#/"*0B"令>" *%B槡9 "则 <$>%"*$!"从而"有 8$>%" #$*%B% 9 ',>'-$!& 注意到"上式对任意*$#/$*0B%成立"故 8 ! *'!%B槡$ %9 %8 ! *%B槡$ %9 $!& 于是"对任意*$#/$*0B%"都有 , 槡9 ) ! *'!%槡 B' *%槡 B ' # 9 $!& ! 令*.,+"可知# 9 $!&进一步"还应有,"("否 则取*充分大"使 , 槡9 ) ! *'!%槡 B' *%槡 B $$("!%" 则结论!不成立& 现在令7 " # 9 "5"-%7B"就有8$+%" 7<$+%'5"这里7$!&再由<$>%与8$>%都为整数 知5$!&! 综上可知"存在7"5$!"使得8$+%"7<$+%'5& !"&!幂函数"指数函数与对数函数 !#&#! !" 设#是一个不等于!的正实数&函数8$+% 满足*8$#+%"+&求8$!%和8$"%的值& 解析!在条件式中分别令+"(和+"96:#""得 8$!%"("8$"%"96:#"& !#&#$ !" 函数8$+%满足*对任意+")$%"都有 8$+)%"8$+%'8$)% ! 且8$"%"!&求8 !$ %'$ 的值& 解析!在!中令+")"!"可知8$!%""8$!%" 8$!%"(&令)"!+"可知8$!%"8$+%'8 !$ %+ " 所以"当++(时"有8$+%"%8 !$ %+ &从而" 8 !$ %'$ "%8$'$%&在!中依次令$+")%"$"""%" $""$%"$&"&%可知8$$%""8$"%"""8$&%" 8$$%'8$"%"#"8$'$%""8$&%"'&所以" 8 !$ %'$ "%'& !#&#% !" 已知实数#(+()满足* !+ #$+%#槡 %') #$)%#槡 % " 9:$+%#%%9:$#%)槡 % & 求代数式#+"'+)%)" +"%+)')" 的值& 第!章!集合与函数!)!!!!!------------------------------------------- 解析!由等式中的各式有意义可知 #$+%#%&(" #$)%#%&(" +%#0(" #%)0( 2 3 4 " ! " # $ 由#知+0#"结合!可知#&(+由$知)'#" 结合"可知#((&所以"#"("这样"条件式变为 9:+%9:$%)槡 % "(&于是"+"%)" #+"'+)%)" +"%+)')" " #+"%+"%+" +"'+"'+" " ! # & !#&#& !" 已知函数8$+%"96:! " #"'槡 !%#$ %# + 是%上的减函数&求实数#的取值范围& 解析!8$+%为%上的减函数"所以" #"'槡 !%## 0!& 由于 #"'槡 !%#0 # %#&("故#0(&于 是 #"'槡 !%#0#"即有#"'!0$#""得#"'!#& 结合#0("可知('#'槡##& !#&#' !" 设 8$+%"96:$# +"%$7+'$7"'7' !7% %! & $!%求所有的实数7"使得8$+%的定义域为全体 实数& $"%记满足$!%的实数7构成的集合为;&证明*对 任意7$;"都有下述性质*对任意+$%"函 数值8$+%&!& 解析!$!%注意到"8$+%的定义域为%的充要条件 是*对任意+$%"都有 +"%$7+'$7"'7' !7%!0 (& 即$+%"7%"'7' !7%!0(&这等价于7' ! 7%!0 (&解这不等式得70!& $"%对任意7$;" !+"%$7+'$7"'7' !7%! "$+%"7%"'7%!' !7%! '!! &$7%!%' ! $7%!% '!&"'!"#" 所以"8$+%&96:##"!& !#&#( !"" 设('#'!"函数8$>%满足*对任意 +0("都有8$96:#+%"#$+"%!%+$#"%!%"而7050(& 试比较8 !$ %7 与8 !$ %5 的大小& 解析!记>"96:#+"则对任意>$%"都有 8$>%" #$#">%!% #>$#"%!% " # !%#" ! #> %#$ %> & 由于('#'!"#>是%上的减函数"所以!#>"*#> 都是增函数"8$>%是$(",+%上的增函数&所以 8 !$ %5 08 !$ %7 & !#&#) !"" 求和数 ("-9:",'-9:#,'&'-9:"((&,!!! !' 9: !- ," ' 9:!- ,# '&' 9: !- ,"((& 的值&这里-+,表示不超过+的最大整数& 解析!注意到"对任意实数+"有 -+,'-%+," (" +$!" %!"+5!! & 而对7$!""#"&""((&#仅有7"!("!(("!((( 时"9:7$!"所以" ("# "((& 7"" -9:7,' 9: !- ,$ %7 !!! "# "((& 7"" $-9:7,'-%9:7,%"%"(($& 因此"所求和数的值为*"(($& !#&#* !"" 求所有的实数+()"使得 ! $+ ' ! ")) " % ' " 96:"))%96:$+& ! ' " "))%$+(! 2 3 4 & ! ! ! ! ! " !# 解析!由"知+()都是正实数&为方便起见"记")) " #"$+",&由#知#(,'!"结合!式可知 !,'!' ! , ( ! #' ! , " % ' "于是"%,$,'!%&'$",'!%" 解得,&"或,(%#%"但,"$+0("所以",&"" 从而"+&!"&现在由"可知96:"))&!''96:$+& *!!!!.多功能题典)高中数学竞赛----------------------------------------------------------- ! ' '96:$ ! " " ! ' % ! " "% ! # &所以") & ") %!# " ! # & 回到!式"得 %'"$%+'")%)($% ! " '")% ! # " ! " ' ! # " % ' & 所以"不等式取等号"这要求+" ! " ")" ! # &满足 条件的实数对为$+")%" !""$ %!# & !#&#+ !"" 设函数8$+%是%上的单调函数"满足* 对任意+")$%"都有8$+')%"8$+%'8$)%且 8$!%""&问*实数*为何值时"存在>0""使得 8$*96:">%'8$$96:">%"%96:">%"%'(' 解析!令+")"("可得8$(%""8$(%"8$(%"(& 结合8$!%""及8$+%是%上的单调函数"可知8$+% 是%上的单调增函数&进而8$+%'(的充要条件是 +'(&问题转为求*"使存在>0"满足*96:">' $96:">%"%96:">%"'(&令96:">"+">0"即+0 !&利用二次函数+"'$*%!%+%"的性质可知 %"$*%!%"'&0(" !' ! " $%$*%!%' $*%!%"'槡 &2 3 4 %" 解得*'"& !#&#!,!"" 设+()为正实数"并且满足* +))!'9:+ "!& 求+)的取值范围& 解析!取对数"可得9:+'$!'9:+%9:)"(&记?" 9:+'9:)"则 ("?'9:+9:)(?' 9:+'9:)$ %" " "?'? " $ & 所以"?(%$或?&(&于是"('+)(!(%$ 或 +)&!&! 因此"+)的取值范围是$("!(*$,)-!",+%& !#&#!!!"" 已知关于+的方程 槡+' #+'槡 )" $+'槡 &('- 有实数解&求实数-的取值范围& 解析!问题等价于*求函数8$+%"槡+' #+'槡 )% $ +'槡 &(的值域& 8$+%的定义域为-(",+%"在此区间上函数 )" # +'槡 )是递增函数&下面考察函数 <$+%"槡+% $+'槡 &($+&(%& 注意到"当+0(时"有
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