同济大学线性代数课件__第四章

null第四章 向量组的线性相关性第四章 向量组的线性相关性§1 向量组及其线性组合§1 向量组及其线性组合称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。null称为行向量。称为列向量。null例. 3 维向量的全体所组成的集合通常称为 3 维Euclid几何空间。称为 R3 中的一个平面。集合null称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。集合称为 n 维Euclid空间。例. n 维向量的全体所组成的集合nullnullm×n 阵 A 的 列向量组:行向量组: 同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组。§2 向量组的线性相关性§2 向量组的线性相关性称为向量组 A的一个线性组合，null则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合，或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。null例如：解方程组既解方程组null得nullnull则方程组的向量表示为null定理1: 向量 b可由向量组 线性表示 null则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 A 与向量组 B 等价。nullnull定理2:线性表示null定理3:线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B)而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。 null定义4：nullnull线性相关性.nullnull讨论它们的线性相关性.结论: 线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.null一些结论： 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例; (3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。(4) 向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一 个向量可由其余向量线性表示。null定理5-2：m个n维向量(m > n)构成的向量组一定线性相关. 特别地, n+1个n维向量线性相关. 则 b 能由向量组A线性表示，且表示式唯一.null故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3= 0null= 0故 Kx = 0 ，而 R(K) = 3，于是 x = 0 ，null线性无关。证：§3 向量组的秩§3 向量组的秩定义1:简称最大无关组, r 称为向量组 A的秩，记作RA （ii）A的任意向量都可由A0线性表示.null注:（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 。（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（4）向量组 A能由A0线性表示。（3）向量组的最大无关组一般不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。nullnull注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价。null例：设矩阵矩阵A 的行向量组是所以矩阵A的行向量组秩为3。null矩阵A的列向量组是所以矩阵A的列秩是3。null定理6：矩阵的秩 = 矩阵的行向量组的秩 = 矩阵的列向量组的秩证：矩阵 A 经过初等变换变为行最简形 B又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，所以，A的秩＝ A的列向量组的秩同理，AT 的秩＝ AT 的列向量组的秩＝A 的行向量组的秩但是， A 的秩＝ AT 的秩null例1：向量组求向量组的秩和一个最大无关组。null解：nullnull例2 ：求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用这个最大无关组线性表示。nullnullnullnull最大无关组的等价定义:最大无关组。null证：只需证明 A中的任意 r+1个向量都线性相关。由(ii)知，这 r+1个向量能由 A0 线性表示，故因此，这 r+1个向量线性相关。null线性表示的充要条件是线性表示，则§4 线性方程组解的结构§4 线性方程组解的结构(1) 齐次线性方程组或null1. 解的性质null2. 基础解系null定理7：设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。null证明:化为行 最简形null与B对应的方程组nullnull（2）向量组线性无关。综合(1) (2)得, 向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系.(C)null的通解是记则是令为所得。null例4 : 求下列齐次方程组的通解。解：null初等行变换行最简形矩阵对应的方程组为(2)null法1：先求通解，再求基础解系则即null法2：先求基础解系，再求通解。在(2)中令则通解为null解：例5 : 求下列齐次方程组的通解。null令得通解null(2) 非齐次性线性方程组对应的齐次线性方程组null例8 : 线性方程组在三维直角坐标系中分别表示 经过原点的直线。在三维直角坐标系中分别表示 不经过原点的平面。和和null性质1：是 的解，则是对应的齐次线性方程组的解。性质2：是 的解，是对应的齐次线性方程组的解，则是 的解。null分析:若有解，则其通解为其中是 的一个特解，是 对应的齐次线性方程组 的通解。1. 证明是解；2. 任一解都可以写成的形式。null例6 : 求解非齐次方程组解：nullnull得null得基础解系所以原方程组的通解是null例7 : 求下列方程组的通解。解：null令得得基础解系令所以通解是null例: 设问u, v =?方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解.解:当u≠2时有唯一解;null当u= 2, v≠3时, 无解;当u = 2, v = 3时,有无穷多解;通解§5 向量空间§5 向量空间定义：设 V 为 n 维向量的非空集合， 若 V 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称集合 V 为向量空间．说明:注意. 0 必是向量空间V 的元素，即null是一个向量空间。不是一个向量空间。但非齐次线性方程组 Ax = b 的解集合null例：判别下列集合是否为向量空间.null解：nullV 称为由向量a, b生成的向量空间。例：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合解：V 是一个向量空间。null一般地null定义：设 V 为向量空间, W 是V 的非空子集， 若 W 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称 W是 V 的子空间。零子空间 V = { 0 }null线性方程组 Ax = 0 的解空间，或 A的零空间。null定义7：设V是向量空间，如果向量满足那么，就称向量组是向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，记作dimV＝r 并称V 是 r 维向量空间。null注：(1)只含有零向量的向量空间{ 0 }-称为零子空间-没有 基，规定其维数为0。(2)如果把向量空间V看作向量组V，则V的基就是向 量组V的极大无关组，V的维数就是向量组V的秩。(3)向量空间的基一般不唯一。例. 都是向量空间R3的基。null设是的一个基，x 是中的向量，则称有序数组为向量 x 在基下的坐标。设是的另一个基，并且则称此式为基变换公式，矩阵 P 称为从基到基的过渡矩阵。