2013届江苏省高考数学二轮复习：专题14 圆锥曲线

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题14 圆_锥_曲_线 回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、2012年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A级相符合． 预测在2013年的高考题中： (1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及． (2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 1．若椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值是________． 解析：当m>5时，eq \f(\r(10),5)＝eq \f(\r(m－5),\r(m))，解得m＝eq \f(25,3)； 当m<5时，eq \f(\r(10),5)＝eq \f(\r(5－m),\r(5))，解得m＝3. ：3或eq \f(25,3) 2．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为eq \r(3)，则M到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M的坐标为(x，±eq \r(2x))(x>0)，则x2＋2x＝3，解得x＝1，所求距离为1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2). 答案：eq \f(3,2) 3．双曲线2x2－y2＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 解析：双曲线方程化为eq \f(y2,6)－eq \f(x2,3)＝1.设P到另一焦点的距离为d，则由|4－d|＝2eq \r(6)得d＝4＋2eq \r(6)，或d＝4－2eq \r(6)(舍去)． 答案：2eq \r(6)＋4 4．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m2＋4)＝1的离心率为eq \r(5)，则m的值为________． 解析：由题意得m＞0，∴a＝eq \r(m)，b＝eq \r(m2＋4)，[来源:Z,xx,k.Com] ∴c＝eq \r(m2＋m＋4)，由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)得eq \f(m2＋m＋4,m)＝5， 解得m＝2. 答案：2 5．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得eq \f(PF1,PF2)＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________． 解析：∵eq \f(PF1,PF2)＝e，∴PF1＝ePF2＝e(2a－PF1)， PF1＝eq \f(2ae,1＋e). 又a－c≤PF1≤a＋c，∴a－c≤eq \f(2ae,1＋e)≤a＋c，a(1－e)≤eq \f(2ae,1＋e)≤a(1＋e)，1－e≤eq \f(2e,1＋e)≤1＋e，解得e≥eq \r(2)－1. 又00)，则有B(2cos θ，－eq \r(3)sin θ)，|FA|＝|FB|＝eq \r(2cos θ＋12＋3sin2θ)＝2＋cos θ，|AB|＝2eq \r(3)sin θ，|FA|＋|FB|＋|AB|＝4＋2cos θ＋2eq \r(3)sin θ＝4＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，当θ＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即θ＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，2cos θ＝1，eq \r(3)sin θ＝eq \f(3,2)时，△FAB的周长最大，此时△FAB的面积等于eq \f(1,2)×(1＋1)×3＝3. 法二：椭圆右焦点为F′(1,0)． 由椭圆定义|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a. 则△FAB的周长l＝|AF|＋|BF|＋|AB| ＝4a－(|F′A|＋|F′B|)＋|AB|[来源:Zxxk.Com] ＝4a－||F′A|＋|F′B|－|AB||≤4a. 所以△FAB周长最大时，直线x＝m经过F′(1,0)这时|AB|＝3，　 此时S△FAB＝eq \f(1,2)×2×3＝3. (2)由题意可设：|PF1|＝4m，|F1F2|＝3m，|PF2|＝2m， 当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a＝|PF1|＋|PF2|＝ 4m＋2m＝6m，焦距为2c＝|F1F2|＝3m， 所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(3m,6m)＝eq \f(1,2)； 当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a＝|PF1|－|PF2|＝4m－2m＝2m，焦距为2c＝|F1F2|＝3m，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(3m,2m)＝eq \f(3,2). [答案]　(1)3　(2)eq \f(1,2)或eq \f(3,2) 解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a，b，c之间关系的区别． 　　eq \a\vs4\al([演练1]) (1)已知双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1的一个焦点坐标为(－eq \r(3)，0)，则其渐近线方程为________； (2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 解析：(1)由a＋2＝3，可得a＝1， ∴双曲线方程为x2－eq \f(y2,2)＝1， ∴其渐近线方程为x±eq \f(y,\r(2))＝0，即y＝±eq \r(2)x. (2)由y2＝4x可知l2：x＝－1是抛物线的准线，所以P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离．动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离d＝eq \f(|4＋6|,\r(42＋32))＝2. 答案：(1)y＝±eq \r(2)x　(2)2 　　eq \a\vs4\al([典例2]) (2012·北京高考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为eq \f(\r(2),2).直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为eq \f(\r(10),3)时，求k的值． [解]　(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))解得b＝eq \r(2)， 所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1. (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1))得 (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)， x1x2＝eq \f(2k2－4,1＋2k2)， 所以MN＝ eq \r(x2－x12＋y2－y12) ＝ eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]) ＝eq \f(2 \r(1＋k24＋6k2),1＋2k2). 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))， 所以△AMN的面积为 S＝eq \f(1,2)MN·d＝eq \f(|k| \r(4＋6k2),1＋2k2). 由eq \f(|k| \r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq \f(\r(10),3)，化简得7k4－2k2－5＝0， 解得k＝±1. 本题主要考查椭圆的

标准

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方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题． 　　eq \a\vs4\al([演练2]) 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)． ∵AM＝MN，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(t,2))). 由点M在椭圆上，得t＝6. 故点M的坐标为M(2,3)． 所以 ＝(－6，－3)， ＝(2，－3)， · ＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB＝ eq \f(· ,| |·| |) ＝eq \f(－3,\r(36＋9)·\r(4＋9))＝－eq \f(\r(65),65). ②设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，F，N三点坐标代入，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(16－4D＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,64＋t2＋8D＋Et＋F＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－t－\f(72,t)，,F＝－8.)) 圆的方程为x2＋y2＋2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(72,t)))y－8＝0， 令x＝0，得y2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(72,t)))y－8＝0. 设P(0，y1)，Q(0，y2)， 由线段PQ的中点为(0,9)，得y1＋y2＝t＋eq \f(72,t)＝18. 此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0. 本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程． 　　eq \a\vs4\al([演练3]) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上． 解：(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2). 因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(b,a)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2)＝eq \f(1,2). 所以a＝2eq \r(2). 所以椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1. (2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝eq \f(y0－1,x0)x＋1，① 直线QN的方程为y＝eq \f(y0－2,－x0)x＋2. ② 设T点的坐标为(x，y)． 联立①②解得x0＝eq \f(x,2y－3)，y0＝eq \f(3y－4,2y－3). 因为eq \f(x\o\al(2,0),8)＋eq \f(y\o\al(2,0),2)＝1，所以eq \f(1,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2y－3)))2＋eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3y－4,2y－3)))2＝1. 整理得eq \f(x2,8)＋eq \f(3y－42,2)＝(2y－3)2， 所以eq \f(x2,8)＋eq \f(9y2,2)－12y＋8＝4y2－12y＋9，即eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1. 所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 　　eq \a\vs4\al([典例4]) 已知抛物线D的顶点是椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线D的方程； (2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点． ①若直线l的斜率为1，求MN的长； ②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由． [解]　(1)由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由a2－b2＝16－15＝1，得c＝1. ∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p＝2. ∴抛物线D的方程为y2＝4x. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． ①直线l的方程为：y＝x－4，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－4，,y2＝4x，)) 整理得x2－12x＋16＝0. 则x1＋x2＝12，x1x2＝16， 所以MN＝ eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝4eq \r(10). ②设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋4,2)，\f(y1,2)))，过E作直线x＝a的垂线，垂足为H，设直线m与圆E的一个交点为G.可得GH2＝EG2－EH2， 即GH2＝EA2－EH2＝eq \f(x1－42＋y\o\al(2,1),4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋4,2)－a))2 ＝eq \f(1,4)yeq \o\al(2,1)＋eq \f(x1－42－x1＋42,4)＋a(x1＋4)－a2 ＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2. 当a＝3时，GH2＝3，此时直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2eq \r(3). 因此存在直线m：x＝3满足题意． 以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在． 　　eq \a\vs4\al([演练4]) 已知椭圆C的离心率e＝eq \f(\r(2),2)，一条准线方程为x＝4，P为准线上一动点，直线PF1、PF2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F1F2为直径的圆O交于点M、N.[来源:学科网] (1)求椭圆的标准方程； (2)探究是否存在一定点恒在直线MN上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(a2,c)＝4，解得c＝2，a＝2eq \r(2)， 则b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. (2)由(1)易知F1F2＝4，所以圆O的方程为x2＋y2＝4. 设P(4，t)，则直线PF1方程为y＝eq \f(t,6)(x＋2)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝\f(t,6)x＋2，))得(t2＋36)x2＋4t2x＋4(t2－36)＝0， 解得x1＝－2，x2＝－eq \f(2t2－36,t2＋36)， 所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2t2－36,t2＋36)，\f(24t,t2＋36)))， 同理可得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t2－4,t2＋4)，\f(－8t,t2＋4))). ①若MN⊥x轴，则－eq \f(2t2－36,t2＋36)＝eq \f(2t2－4,t2＋4)，解得t2＝12，此时点M，N的横坐标都为1，故直线MN过定点(1,0)； ②若MN与x轴不垂直，即t2≠12， 此时kMN＝eq \f(\f(－8t,t2＋4)－\f(24t,t2＋36),\f(2t2－4,t2＋4)＋\f(2t2－36,t2＋36))＝eq \f(－8t,t2－12)， 所以直线MN的方程为 y－eq \f(－8t,t2＋4)＝eq \f(－8t,t2－12) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2t2－4,t2＋4)))， 即y＝eq \f(－8t,t2－12)(x－1)，所以直线MN过定点(1,0)． 综上，直线MN过定点(1,0)． eq \a\vs4\al([专题技法归纳])　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论． (2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求eq \f(c,a)的值． (3)在双曲线中由于e2＝1＋eq \f(b2,a2)，故双曲线的渐近线与离心率密切相关． 1．(2012·上海春招)抛物线y2＝8x的焦点坐标为________． 解析：由p＝4得焦点坐标为(2,0)． 答案：(2,0) 2．已知方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,2－m)＝1

表

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示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．[来源:Z+xx+k.Com] 解析：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－1>0，,2－m>0，,2－m>m－1，))解得12. 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))　(－∞，1)∪(2，＋∞) 3．点P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________． 解析：由题意得∠F1PF2＝90°，PF1＝2c cos 75°，PF2＝2c sin 75°，所以2c(sin 75°＋cos 75°)＝2a，e＝eq \f(1,sin 75°＋cos 75°)＝eq \f(\r(6),3). 答案：eq \f(\r(6),3) 4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________． 解析：直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，即x＝y＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px得，y2－2py－p2＝0. 则yA＋yB＝2p＝4，p＝2，准线方程为x＝－1. 答案：x＝－1 5．(2011·天津高考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq \r(3)x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________． 解析：由题设可得双曲线方程满足3x2－y2＝λ(λ>0)，即eq \f(x2,\f(λ,3))－eq \f(y2,λ)＝1.于是c2＝eq \f(λ,3)＋λ＝eq \f(4λ,3).又抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则c2＝eq \f(4λ,3)＝36，于是λ＝27. 所以双曲线的方程eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1. 答案：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1 6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 ＝2 ，则C的离心率为________． 解析：不妨设椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，B点为椭圆的上顶点，F(c,0)(c＞0)为右焦点，则由 ＝2 ，得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半，则D点横坐标xD＝eq \f(a2,2c)，由 ＝2 知，c＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2c)－c))，得3c2＝a2，e＝eq \f(\r(3),3). 答案：eq \f(\r(3),3) 7．(2011·江西高考)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y－eq \f(1,2)＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由eq \f(|－2k＋1|,\r(4k2＋4))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1. 答案：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)和椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________． 解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±eq \r(7)，0)，离心率是eq \f(\r(7),4).故在双曲线中c＝eq \r(7)，e＝eq \f(2\r(7),4)＝eq \f(c,a)，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1. 答案：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 9．设P点在圆x2＋(y－2)2＝1上移动，点Q在椭圆eq \f(x2,9)＋y2＝1上移动，则PQ的最大值是________． 解析：圆心C(0,2)，PQ≤PC＋CQ＝1＋CQ， 于是只要求CQ的最大值．设Q(x，y)， ∴CQ＝ eq \r(x2＋y－22)＝ eq \r(91－y2＋y－22)＝ eq \r(－8y2－4y＋13)， ∵－1≤y≤1，∴当y＝－eq \f(1,4)时，CQmax＝ eq \r(\f(27,2))＝eq \f(3\r(6),2)， ∴PQmax＝1＋eq \f(3\r(6),2). 答案：1＋eq \f(3\r(6),2) 10．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2eq \r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3). 答案：2eq \r(3) 11.(2011·四川高考)过点C(0,1)的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2).椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； (2)当点P异于点B时，求证： · 为定值． 解：(1)由已知得b＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，解得a＝2， 所以椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. 椭圆的右焦点为(eq \r(3)，0)，此时直线l的方程为 y＝－eq \f(\r(3),3)x＋1，代入椭圆方程化简得7x2－8eq \r(3)x＝0. 解得x1＝0，x2＝eq \f(8\r(3),7)， 代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－eq \f(1,7)， 所以D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),7)，－\f(1,7))). 故|CD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),7)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)－1))2)＝eq \f(16,7). (2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符． 设直线l的方程为y＝kx＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠0且k≠\f(1,2))). 代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0. 解得x1＝0，x2＝eq \f(－8k,4k2＋1)， 代入直线l的方程得y1＝1，y2＝eq \f(1－4k2,4k2＋1)， 所以D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8k,4k2＋1)，\f(1－4k2,4k2＋1))). 又直线AC的方程为eq \f(x,2)＋y＝1， 直线BD的方程为y＝eq \f(1＋2k,2－4k)(x＋2)， 联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4k，,y＝2k＋1.)) 因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)． 又P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，0)). 所以 · ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，0))·(－4k,2k＋1)＝4. 故 · 为定值． 12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，一条准线l：x＝2. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点． ①若PQ＝eq \r(6)，求圆D的方程； ②若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程． 解：(1)由题设：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(a2,c)＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(2),c＝1))，∴b2＝a2－c2＝1， ∴椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1. (2)①由(1)知：F(1,0)，设M(2，t)， 则圆D的方程：(x－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(t,2)))2＝1＋eq \f(t2,4)， 直线PQ的方程：2x＋ty－2＝0， ∵PQ＝eq \r(6)，∴2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(t2,4)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋\f(t2,2)－2)),\r(4＋t2))))2)＝eq \r(6)， ∴t2＝4，∴t＝±2.[来源:学科网] ∴圆D的方程：(x－1)2＋(y－1)2＝2或 (x－1)2＋(y＋1)2＝2. ②证明：法一：设P(x0，y0)， 由①知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(t,2)))2＝1＋\f(t2,4)，,2x0＋ty0－2＝0)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)－2x0－ty0＝0，,2x0＋ty0－2＝0，)) 消去t得xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝2 ∴点P在定圆x2＋y2＝2上． 法二：设P(x0，y0)， 则直线FP的斜率为kFP＝eq \f(y0,x0－1). ∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为kOM＝eq \f(x0－1,y0)， ∴直线OM的方程为y＝－eq \f(x0－1,y0)x， 点M的坐标为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(2x0－1,y0))). ∵MP⊥OP，∴ · ＝0， ∴x0(x0－2)＋y0eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(y0＋\f(2x0－1,y0)))＝0 ∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝2，∴点P在定圆x2＋y2＝2上． 　 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 www.TopSage.com _1415952273.unknown _1415952309.unknown _1415952345.unknown _1415952367.unknown _1415952382.unknown _1415952393.unknown _1415952371.unknown _1415952353.unknown _1415952357.unknown _1415952334.unknown _1415952301.unknown _1415952304.unknown _1415952279.unknown _1415952285.unknown _1415952188.unknown _1415952198.unknown _1415952202.unknown _1415952194.unknown _1415952163.unknown _1415952168.unknown _1415952173.unknown _1415952159.unknown