动态灰色理论模型在路基沉降预测中的应用

公路 　2010 年 4 月 　第 4 期 HIGHWA Y　Apr12010 　No14 　文章编号 : 0451 - 0712 (2010) 04 - 0045 - 03 　　　　中图分类号 :U41611 : TU433 　　　　文献码 :B 动态灰色理论模型在路基沉降预测中的应用 张耀锋 (中交第一公路勘察设计研究院有限公司　西安市　710075) 摘　要 : 详细阐述了灰色模型的基本和动态灰色模型的实现 , 并成功将其应用于陕西省某路段软土地基的 沉降预测。实践及理论证明 ,动态灰色预测模型由于实时加入系统的最新数据 ,提高灰区间的白度 ,预测精度比传统 灰色模型高 ,表明动态灰色模型理论正确 ,精度合格 ,能够满足实际工程应用。用 MA TLAB 编制了动态灰色模型预 测程序 ,使应用该模型进行预测变得简便易行 , 大大节省了工作量。 关键词 : 路基沉降 ; 动态灰色理论模型 ; 沉降预测 ; MA TLAB 　　随着我国国民经济的快速发展 ,许多现有公路 无法满足日益增长的交通量的需求 ,对原有公路进 行拓宽改扩建是一个有效的途径。然而 ,公路拓宽 中新老路基的差异沉降 ,严重影响道路的行驶质量 及使用寿命。因此 ,如何及时根据施工现场实测沉 降资料来预测后期沉降 ,已成为沉降变形动态控制 的关键技术之一。 目前沉降预测的很多 ,主要分为两类。一 类是理论法 ,通过固结理论 ,结合各种土的本构模 型 ,对土样做精确的试验[1 ] ,采取一定的数值计算方 法 (有限元、有限差分等) 来实现 ,如大变形固结有 限元法[2 ] 、比奥固结有限元法[3 ] 。但是由于地质的 复杂性、局部性 ,部分地段提供的地质情况与数据并 不完全符合实际 ,需要的计算参数较多 ,且一般需通 过三轴试验确定 ,因此其很难普遍应用于实际工程 中。另一类是数学方法 ,利用实测沉降数据 ,将沉降 近似看成按某种规律变化的过程 ,建立某种相适应 的模型 ,采用适当的优化方法 ,反推出计算所需 的参数 ,建立沉降与时间的关系式 ,再运用于后期的 沉降预测。数学方法主要有 : 三点法、星野法、 Asaoka 法、曲线拟合法、灰色模型法、人工神经网络 法和遗传算法[4 ] 。 用数学模型来逼近、模拟和揭示公路路基等构 造物的变形和动态特性 ,是对公路路基等构造物变 形分析的主要手段[5 ] 。本文根据陕西省某路段软土 地基的沉降观测资料 ,利用动态灰色理论模型进行 了预测分析 ,证明了动态灰色理论模型在路基沉降 　　 预测中具有明显的优势。 1 　动态灰色理论模型 灰色预测模型又称 GM ( Gray Model) 模型 , GM 模型是一个近似的差分微分方程模型 ,具有微 分、差分、指数兼容等性质 ,模型参数可调 ,结构随时 间而变 ,突破了一般建模要求数据多、难以得到“微 分”性质的局限[6 ] 。利用 GM 模型可对所研究系统进 行全局观察、分析及预测。根据预测因子的数目可细 分为一阶多元预测模型 GM (1 , N) 和一阶一元预测 模型 GM (1 , 1) ,实际中应用较多的是 GM (1 , 1)模 型 , 下文主要讨论 GM (1 , 1) 的建立及其应用。 111 　灰色 GM (1 ,1)模型的建立 给定原始序列 ,记为 : X (0) = { x (0) (1) , x (0) (2) , x (0) (3) , ⋯, x (0) ( n) } (1) 做一次累加可生成 1 —A GO 序列 : X (1) = { x (1) (1) , x (1) (2) , x (1) (3) , ⋯, x (1) ( n) } (2) 建立 GM (1 ,1)模型的白化方程为 : d x (1) d t + ax (1) = b (3) 其中参数 a 反映了系统发展的态势 ,称为发展 系数 ; b是从背景值挖掘出来的数据 ,它反映数据变 化的关系 ,称为灰色作用量。根据最小二乘原理 ,解 式 (1)微分方程可得发展系数 a^ : a^ = ( B T B ) - 1 B T Y (4) 收稿日期 :2009 - 06 - 11 则白化方程的解 (也称时间响应函数)为 : x^ (1) ( t) = ( x (1) (1) - b a ) e - at + b a (5) 最后通过累减实现序列还原 ,还原值为 : x^ (0) ( k + 1) = x^ (1) ( k + 1) - x^ (1) ( k) (6) 112 　模型检验 要对灰色模型进行检验 ,主要是进行后验差检 验 ,检验指标有后验算方差比值 C和小误差概率 p 。 C = s2 s1 (7) p = p ( ε( t) - €ε < 01674 5s1 ) (8) 式中 :s1为原始序列标准差 ; s2 为绝对误差标准 差 ;模型残差ε( ti ) = x (0) ( ti ) - x^ (0) ( ti ) , i = 1 ,2 , ⋯, n ;序列 X (0) 的均值和方差分别为 …x = 1 n ∑ n i = 1 x (0) ( ti) , s21 = 1 n - 1 ∑ n i =1 ( x(0) ( ti) - …x) 2 , i = 1 ,2 , ⋯, n; 残差的均值和方差分别为 €ε = 1 n ∑ n i = 1 ε(0) ( ti ) , s22 = 1 n - 1 ∑ n i = 1 (ε(0) ( ti ) - €ε) 2 , i = 1 ,2 , ⋯, n 。 评定一个预测模型的好坏 , C值越小越好 ,一般 要求 C小于 0135 ,最大不超过 0165。预测模型精度 评定的另一个指标为小误差概率 p , p 值越大越好 , 一般要求 p 大于 0195 ,不得小于 017。参照 p 与 C 的大小 ,可将精度分为 4 个等级[7 ] ,如表 1 所示。 表 1 　灰色理论模型精度等级 精度等级 C p 一级 (良好) < 0135 > 0195 二级 (合格) < 0145 > 0180 三级 (勉强) < 0150 > 0170 四级 (不合格) ≥0165 ≤0170 113 　不等时间间隔序列的处理[8 ] GM (1 ,1) 模型是在等时间间隔的基础上进行 的。但在实际的变形监测过程中 ,时间间隔往往是 不相等的 ,这就要求我们对原始的数据序列进行处 理。最为常用的方法是利用 Lagrange 插值 ,将不等 时距序列转化为等时距序列 ,然后再进行累加 ,建立 GM (1 ,1)模型。设某系统原始观测序列为 X (0) ( t) = { x (0) (1) , x (0) (2) , x (0) (3) , ⋯, x (0) ( n) } ,其对应的时 间序列为 T(0) ( t) = ( t1 , t2 , ⋯, tn) ,则平均时间间隔为 Δt0 = 1 n - 1 ( tn - t1 ) 。各实际观测时段与平均时段 的差系数为μi = ti - ( i - 1)Δt0Δt0 ,各实际观测时段 的差值为Δx (0) ( ti ) = μi [ x (0) ( ti ) - x (0) ( ti - 1) ]。 分别对原始序列 X (0) ( t) 和差值序列Δx (0) ( t) 做一次累加得到 X (1) ( t) 和Δx (1) ( t) ,再对生成序 列作均值生成 :Šx (1) ( t) = 12 x (1) ( t) + x (1) ( t + 1) (9) Δ…x (1) ( t) = 12 Δx (1) ( t) +Δx (1) ( t + 1) (10) 得到等间隔累加均值序列 X (1) ( t) = Šx (1) ( t) + Δ Šx (1) ( t) ,之后可按照等时间间隔序列进行建模 ,求 取时间相应函数。 114 　动态灰色理论模型原理与方法 GM (1 ,1) 模型长期预测的有效性明显受系统 时间序列长短及数据变化的影响。如果系统建模选 用的数据序列太短 ,则难以建立长期的预测模型 ;数 据序列过长 ,系统受干扰的成分多 ,不稳定因素大 , 易使模型精度降低。为此 ,在进行动态预测的同时 , 加入等维的约束条件 ,采用等维动态预测模型来弥 补现有灰色模型的不足[9 ] 。 设原始数据序列为 x (0) = ( x (0) (1) , x (0) (2) , ⋯, x (0) ( n) ) ,进行一次 A GO 累加生成 x (1) 后建立 GM (1 ,1) 模型 ,由式 ( 6) 得到 n + 1 时刻的预测值 x^ (0) ( n + 1) 。然后去掉 x (0) (1) ,加入 x^ (0) ( n + 1) , 重新生成等维动态序列。 2 　动态 GM( 1 ,1)模型在路基沉降预测中的应用实例 现以某高速公路 3 号沉降观测断面观测数据为 例 ,验证非等时距动态 GM (1 ,1) 模型在高速公路 软基路段沉降预测应用的可行性。该断面实测数据 见表 2[10 ] 。 表 2 　沉降观测资料 距首次时 间间隔/ d 0 19 47 77 109 137 171 202 235 累积沉降量 mm 846 874 907 935 958 976 993 1 017 1 035 首先 ,本文取前 5 期数据组成原始序列用传统 GM (1 ,1)模型进行预测 ,后 4 个数据为对比数据。 结果如表 3 所示。 如表 3 所示 ,传统的 GM (1 ,1) 模型 ,对于短期 的变形监测 ,能够较好地反映变形的趋势。但是随 着时间序列的加长 ,变形数据的不断增多 ,传统模型 受干扰成分变大 ,不稳定因素影响变大 ,数据开始发 —64— 　 　　　　　　　　　　　　　　　公 　　路 　　　　　　　　　　　 　　　　　2010 年 　第 4 期 　 　　 表 3 　传统灰色模型预测数据 序号 原始观测值 mm 预测值 mm 改正数 mm 模型参数 模型精度 1 846 8561 4 - 101 4 2 874 8791 2 - 512 3 907 9021 6 41 4 4 935 9321 3 21 7 5 958 9541 8 31 2 6 976 9741 4 11 6 7 993 9991 2 - 612 8 1 007 1 0221 2 - 151 2 9 1 017 1 0431 6 - 261 6 a = - 01027 2b = 844198 p = 71143 %C = 01103 散。此时模型已经不能很好地反映路基的沉降趋 势 ,需要实时地对模型进行改正。利用动态灰色理 论模型 ,将短期的预测值代入到建模序列当中 ,替代 时间间隔较长的原始数据 ,逐步进行预测 ,可以有效 地解决这类问。利用动态灰色理论模型 ,首先将 其 5 期数据进行建模 ,预测第 6 期数据 ,然后将其替 换第一期数据 ,再次建模 ,预测下一期 ,以此类推 ,可 得到较好的结果 ,见表 4。 表 4 　动态灰色模型预测数据 序号 原始 观测值 mm 预测值 mm 改正数 mm 模型参数 模型精度 a b p/ % C 1 846 85614 - 101 4 2 874 87912 - 51 2 3 907 90216 41 4 4 935 93213 21 7 5 958 95418 31 2 01 027 2 844198 89143 01101 6 976 97414 11 6 01 025 4 8521 3 90147 01112 7 993 99615 - 31 5 01 024 4 8331 6 91121 01110 8 1 007 1 01213 - 51 3 01 023 6 8461 2 89144 01098 9 1 017 1 02817 - 111 7 01 024 8 8471 1 88192 01104 由表 4 可以很明显地看出 ,通过引入新的信息 , 替代时间间隔较长的数据序列 ,模型的精度得到了 明显的提高 ,预测值更为接近真实的变形情况。通 过图 1 可以看出 ,改进后模型的预测值起伏变小 ,且 变形趋势与观测值更为接近。 3 　结语 传统的 GM (1 ,1) 模型具有建模“少信息、规律 性强”的优点 ,但预测精度随预测步长增加而降低。 这是因为对一个系统来说 ,随时间的推移 ,未来的一 些扰动因素将不断进入系统而对其施加影响 ,用之 进行长期预测必然会产生较大的偏差。而且信息逐 　　 图 1 　两种预测误差比较 渐老化 ,不能真实反映系统目前状态 ,所以建立模型 时需要进行信息的新陈代谢。动态灰色系统实时地 加入新的信息 ,淘汰旧的信息 ,不仅可以突出系统最 新的变化趋势 ,而且可以消除预测模型的噪声污染 , 对预测精度的提高也具有较好的作用。 本文首次将动态灰色模型应用于公路路基沉降 预测 ,实现结果分析与理论分析基本吻合 ,表明动态 灰色模型理论正确 ,精度合格 ,能够满足实际工程应 用。本文用 MA TLAB 编制了动态灰色模型预测程 序 ,使应用该模型进行预测变得简便易行 , 大大节 省了工作量。 参考文献 : [1 ] 　徐泽中 , 等1沪宁高速公路软基沉降动态控制方法研 究[J ] 1 水利水电科技进展 ,1998 ,18 (2) :31 - 341 [2 ] 　谢新宇 , 等1 饱和土体一维大变形固结理论新进展 [J ]1 岩土工程学报 , 1997 , 19 (4) :30 - 381 [3 ] 　钱家欢 , 殷宗泽1 土工原理与计算[ M ]1 北京 :中国水 利水电出版社 ,19961 [4 ] 　王星华 , 吴汉波 ,祝志恒 1 神经网络在填石路基沉降 预测中的应用[J ]1 路基工程 ,2008 , (3) : 12 - 141 [5 ] 　唐利民 ,唐平英1 公路路基沉降分析与预测模型病态 问题研究[J ]1 中外公路 , 2008 , 28 (2) :75 - 781 [6 ] 　邓聚龙1灰色系统基本方法 [ M ]1 武汉 : 华中理工大 学出版社 , 19871 [7 ] 　李日云 , 王力 , 张双成1灰色预测模型在高层建筑物 沉降预测中的应用研究 [J ]1 地球科学与环境学报 , 2005 , 27 (1) : 84 - 871 [8 ] 　李斌 , 朱健1非等间隔灰色 GM ( 1 , 1) 模型在沉降数 据分析中的应用 [ J ] 1 测绘科学 , 2007 , 32 ( 4 ) : 52 - 551 [9 ] 　夏元友 ,刘鹏 , 莫介臻 1 高速公路软基沉降预测系统 及其应用研究[J ] 1 公路 , 2005 , (8) :275 - 2791 [10 ] 王珏1 非等时距 GM 直接模型在软基沉降预测中的应 用[J ] 1 路基工程 ,2007 , (4) : 20 - 221 —74—　2010 年 　第 4 期 　　　　　　　　　张耀锋 :动态灰色理论模型在路基沉降预测中的应用