扭转

nullnullnull§3–1 扭转、扭矩及扭矩图 §3–2 薄壁圆筒的扭转 §3–3 切应力互等定理和剪切胡克定律 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件第三章 扭 转 null§3– 1 扭转的概念和实例自行车的中轴受扭转。工 程 实 例nullnullnullnull 在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值，反向的力偶。横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。 受力特点 变形特点以扭转变形为主的杆件 称为轴。本章中，主要讨论圆轴的强度和刚度问题。nullnull传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）§3– 2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图null3 扭矩的符号： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。一、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)nullnullnull4 扭矩图：示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的xTnullA B C DMe 3Me 4Me 2Me[例1]求1、2、3截面扭矩112233nullnull 扭矩图中为负值！nullA B C D2kNm 6kNm 1kNm 3kNm [例2]求扭矩图null[习题2]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。解：①计算外力偶矩nullA B C DM2 M3 M1 M4②求扭矩（扭矩按正方向设）null③绘制扭矩图BC段为危险截面。xT4.789.566.37null§3–3 纯剪切 一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。nullnull2.实验后：②纵向线变成斜直线。3.结论： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。①圆周线不变；——无轴向线应变和横向线应变，单元体各侧面不存在正应力。null③各纵向线均倾斜了同一微小角度 .② 所有矩形均歪斜成同样大小的平行四边形，横截面相对转动。横截面上存在沿圆周切线方向的切应力，切应力指向与扭矩转向一致。——单元体左右两侧面相对错动，直角变为γ角，——沿同一圆周各点的切应力相等。null二、薄壁圆筒切应力 大小： A0：平均半径所作圆的面积。横截面上只存在切应力null三、切应力互等定理： 上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。null四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。nullT=m 剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。null思考题：指出下面图形的切应变20null 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。null§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件等直圆杆横截面应力①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：null二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：距圆心为  任一点处的与到圆心的距离成正比。—— 扭转角沿长度方向变化率。null2. 物理关系：虎克定律： 代入上式得：null3. 静力学关系：代入物理关系式 得：null—横截面上距圆心为处任一点切应力。4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。  —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。null单位：mm4，m4。③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。DdOnullOdnull④ 应力分布（实心截面）（空心截面）上采用空心截面构件：节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。null⑤ 确定最大切应力：Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。null3kNm5kNm2kNmK20mm[例3]受扭圆杆的直径为60毫米。求图示截面上K点的切应力解：1、截面上扭矩为-2kNmnull例4 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变模量 G=80GPa.（1） 画轴的扭矩图；（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.null解:（1）画轴的扭矩图BC段T1+Me2=0T2+Me2-Me1=0T2 =2kN·m AB段（+）最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kN·mnull（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置max 最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径.maxnull四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([] 称为许用切应力。)强度计算三方面：① 校核强度：② 设计截面尺寸：③ 计算许可载荷：null例 5已知： 传动轴为无缝钢 管，D=90mm，t = 2.5 mm，Tmax= 1.5kN·m, [t]=60MPa。 求：校核轴的强度。解： 计算Wt 切应力null例 6已知： 同上例。将空心轴 改为实心轴。要求与空心 轴有相同的强度。Tmax= 1.5kN·m。 求：实心轴的直径。解： 比较空心轴与实心轴实心轴截面积null 比较空心轴与实心轴实心轴截面积空心轴截面积空心轴与实心轴截面积比null例 7已知：N=7.5 kW, n=100r/min,许用 切应力＝40MPa, 空心圆轴的内外径 之比  = 0.5。解： 计算扭矩求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。 强度条件 实心轴null 计算扭矩 强度条件 实心轴 空心轴例题8 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比  = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.例题8 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比  = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.ll(a)(b) 分析：设实心圆截面直径为d1,空心圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T .已知：dd2D2null因此解得 两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.null[习题3]一钢制圆轴，在两端受平衡力偶的作用，其力偶矩M为2.5kNm，已知轴的直径为60mm，许用切应力[τ]=60MPa。试对该轴进行强度校核。null3kNm5kNm2kNm[习题4]受扭圆杆材料许用应力[τ]=40MPa，选择圆杆直径。nullABC解：作轴的扭矩图MeAMeBMeC分别校核两段轴的强度习题5 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kN·m, MB = 36 kN·m ,MC =14 kN·m. 已知材料的许用切应力[] = 80MPa,试校核该轴的强度.因此,该轴满足强度要求.[习题6] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用切应力 []=30M Pa, 试校核其强度。[习题6] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用切应力 []=30M Pa, 试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核切应力强度③此轴满足强度要求。xnull§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件一、扭转时的变形由公式(微段的扭转角)知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为null二、单位扭转角 ：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[ ]称为许用单位扭转角。null刚度计算的三方面：① 校核刚度：② 设计截面尺寸：③ 计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。null解：画扭矩图Tmax= 3Menull（1）AD杆的最大切应力（2）扭转角 CAnull例 10已知：1、2轴共 消耗功率0.756 kW；3轴消耗功 率2.98kW。4轴 转速183.5r/min， G=80GPa。取解： 计算力偶矩[t] =40 MPa, [] =1.5º/m。 求：设计4轴的直径。null 计算力偶矩 取4轴, 受力如图null 画出扭矩图 计算力偶矩null 画出扭矩图可得到： 由强度条件 由刚度条件null 由强度条件 由刚度条件 最后取： 由刚度条件控制null1kNm2kNm3kNm0.6m0.4mABCd[习题6]一受扭杆件直径80mm。已知 [θ]=0.8◦/m，材料切变模量G=8×104MPa，求1、A、C截面相对扭转角；2、校核刚度。null8kNm0.5m[习题7]一受扭圆杆件，已知 材料[τ]=40MPa，[θ]=0.8◦/m，切变模量G=8×104MPa，求杆件所需直径。解：先按强度条件确定杆件直径，再按刚度条件校核。null[习题8]一汽车传动轴，输入力偶矩M为1.6kNm，轴外径90mm，内径84mm。已知许用应力[τ]为60MP，许用扭转角[θ]=0.026rad/m，材料切变模量G=80GPa，试对轴做强度、刚度校核。安全null满足刚度要求null[习题9] 某传动轴设计要求,m1 = 7.024kNm， m2 = 2.814kNm及 m3 = 4.21kNm，已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º/m ，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： Tx–7.024– 4.21(kNm)null由刚度条件得：Tx–7.024–4.21(kNm)null ②全轴选同一直径时③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。 ③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx– 4.21(kNm)2.814null作业：3-8，3-11，3-14