2013年中科院 602高等数学（乙）2013 考研真题 考研答案

中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试 科目名称：高等数学（乙） 考生须知： 1．本满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题 (本题满分 40 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空 格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标 清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。) （1）下列极限中不为 0的是（ ）。 （A） lim ! n n e n （B） 1 1lim sin ln(1 ) n n n n  （C） 1lim arctan n n n  （D） sinlim n n n （2） 2 4 sec 2 tanlim 1 cos 4x x x x   =（ ）。 （A）0 （B） 1 2 （C）1 （D）2 （3） 以下关于函数 2 61 ( 3) xy x    的叙述正确的是（ ）。 （A）函数图像有唯一渐近线 （B）函数在 ( 3,3) 上是单调减的 （C）函数图像没有拐点 （D） 3 2 是函数最大值 （4） 设 L是由曲线 1(0 1)y x x    ， 1( 1 0)y x x     和 0( 1 1)y x    依次 连接构成的曲线，方向为逆时针。则曲线积分 2 2( ) 2 L x y dx xydy   （ ）。 （A）0 （B） 2 3 （C） 4 3 （D） 8 3 科目名称：高等数学（乙） 第 1页 共 3 页 ??????? ??????????、?????????? www.kaoyancas.com ??????? ?????、???????????? ????????????? www.kaoyancas.com （5）设函数 2 1 ( ) , ( 1,1) n n xf x x n      ，则 '( )f x （ ）。 （A） 2 2 1 x x   （B） 2 2 1 x x （C） 2 2 1 x x   （D） 2 2 1 x x （6）设 ( )f x 是定义在整个实轴上的连续函数，下列说法正确的是（ ）。 （A） 若 ( )f x 是一个偶函数，则它的原函数是一个奇函数 （B） 若 ( )f x 是一个奇函数，则它的原函数是一个偶函数 （C） 若 ( )f x 是一个周期函数，则它的原函数也是一个周期函数 （D） 若 ( )f x 是一个单调函数，则它的原函数也是一个单调函数 （7）设D是 2 上包含原点的一个区域， ( , )f x y 是定义在D上的连续函数。如果极限 2 2 20 0 1 ( , )lim 1 ( , )xy xy f x y x y f x y     存在且有限，则 (0,0)f （ ）。 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 （8）过点 (0,1,0) ，并且与 (1,0,0) ， (1,1,0) ， ( 1,0, 2) 所确定的平面垂直的直线是 （ ）。 （A） 1 1 1 x y z  （B） 1 1 0 1 x y z   （C） 1 1 1 1 x y z   （D） 1 1 0 1 x y z  二、(本题满分 10 分) 设函数 ( )f x 在 [ , ]a b 上存在二阶导数，连接点 ( , ( ))A a f a 与点 ( , ( ))B b f b 的线段与曲线 ( , ( ))x f x 相交于点 ( , ( ))C c f c ，这里a c b  。证明：在 ( , )a b 上存在一点，满足 ''( ) 0f   。 三、(本题满分 10 分) 设函数 ( ( , , ), ( , , ))u f s x y z t x y z ，其中 ( , , )s x y z x y z   ， 2 2 2( , , )t x y z x y z   ，并且函数 ( , )f s t 存在二阶连续偏导数。证明： 2 2 2 2 2 22 2 23 4( ) 4( ) 62 2 2 2 2 u u u f f f fx y z x y z s t tx y z s t                       。 科目名称：高等数学（乙） 第 2页 共 3 页 ??????? ??????????、?????????? www.kaoyancas.com ??????? ?????、???????????? ????????????? www.kaoyancas.com 四、(本题满分 10 分)求函数 2 2( , ) 4f x y x xy y   在圆域 2 2 1x y  上的最大值和最 小值。 五、(本题满分 10 分)设 ( )f x 是[ , ]a b 上连续的单调非减函数。证明：对 [ , ],c a b  ( ) ( ) 2 c c a a a cxf x dx f x dx  。 六、(本题满分 10 分) 计算球面 2 2 2 1x y z   被圆柱面 2 2 1 4 x y  所截部分（即在圆柱 面内部的部分）的面积。 七、(本题满分 10 分) 计算线积分 | | L I x yds  ， L是 2 2 1y x  在 0y  和 2y  之间的 部分。 八、(本题满分 10 分) 求解常微分方程 2 2( 3 ) 2 0y x dy xydx   。 九、 (本题满分 10 分) 设 ( )f x 是定义在实数上以 2 为基本周期的周期函数，且在 (0,2 ) 上， ( ) 2 xf x  ，应用函数 ( )f x 的 Fourier 级数展开证明： 1 1 1 11 4 3 5 7 9      = 。 十、(本题满分 10 分) 设函数 3( ) ln(2 ) ln( 1) , ( 1, 2) 1 f t t t t t        。证明：对 x ，都存在唯一的 ( 1, 2)t  ，使得 ( )f t x 。 十一、(本题满分 10 分) 设函数 ( )f x 在 [0, 2 ] 上存在二阶连续导数，且满足： ''( ) cos '( )f x x f x  ， '( )f x 在[0, 2 ] 上的最大值为 2， (0) 0f  。求 ( )f x 。 十二、(本题满分 10 分) 设 2 2 2{( , ) | 1}D x y x y    ， ( , )f x y 是D上的连续函数， 并且在 \{(0,0)}D 上存在连续的一阶偏导数。又设 1 2( , ), ( , )g x y g x y 是D上的连续函 数，且满足在 \{(0,0)}D 上， 1 2, f fg g x y     。证明： 1 2 0, 0 0, 0 (0,0), (0,0) x y x y f fg g x y        。 科目名称：高等数学（乙） 第 3页 共 3 页 ??????? ??????????、?????????? www.kaoyancas.com ??????? ?????、???????????? ????????????? www.kaoyancas.com 2013 年中科院考研真题由科大科院考研网（www.kaoyancas.com）独家收集，均 为官方原版。登录网站可获得本科目全套的复习资料。 中科院考研资料：http://www.kaoyancas.com/cas/ 中科院考研专业课辅导班：http://www.kaoyancas.com/class/