物理-上

目录 §１　重力、弹力、摩擦力 １ §２　共点力作用下物体的平衡 ７ §３　定轴转动物体的平衡 １４ §４　一般物体的平衡 ２０ §５　质点和质点系的直线运动 ２７ §６　运动的合成和分解 ３３ §７　抛体运动 ３８ §８　圆周运动 ４４ §９　直线运动中的牛顿运动定律 ５０ §１０　动力学综合问 ５６ §１１　曲线运动中的牛顿运动定律 ６２ §１２　非惯性系 ６９ §１３　万有引力定律 ７４ §１４　功和功率 ８１ §１５　动能定理 ８８ §１６　机械能守恒定律 ９５ §１７　动量定理 １０２ §１８　动量守恒定律 １０８ §１９　碰撞 １１３ §２０　能量和动量综合 １２１ §２１　天体运动中的能量与动量问题 １３０ §２２　简谐运动 １３５ §２３　机械波 １４４ §２４　波的特有现象 １５０ §２５　分子动理论与物态变化 １５６ §２６　气体性质 １６１ §２７　热力学定律 １６８ §２８　气体的特殊变化过程 １７５ 参考答案与提示 １８２ 书书书 §１　重力、弹力、摩擦力 知识归纳 　　一、力 １力产生的机理：力是物体间的一种相互作用，因而力总是成对出现的，有受力物体就有施 力物体。一个物体既是受力物体，也是施力物体。在力学范畴内，我们经常遇到的重力、摩擦力、 弹力（如绳子的张力、压力、支持力）等，从它们产生的机理去看，上述各种力属于两大类：① 万有 引力（这里重力是唯一的例子）；② 电磁力（上述其他所有的力）。从微观上看，弹力和摩擦力都是 原子、分子间电磁相互作用的宏观现。目前，除万有引力和电磁力外，还有弱相互作用力（与某 些放射性衰变有关）及强相互作用力（将原子核中核子结合在一起的力，以及核子内部更深层次 的力）。后两种力均属于短程力，在宏观的机械运动中并不存在。 ２力的效应：它是指物体受力作用后产生的效果。力使物体运动状态发生改变（即产生加 速度）的效应称为力的外效应，而力使物体产生形变的效应称为力的内效应。实际上，力的两种 效应很多时候是同时存在的，但也可以仅产生一种效应，如库仑力使电荷加速就只有电荷的运动 图１ １ 状态发生改变而没有形变现象出现。 　　二、重力 １重力实际上是万有引力的一个分力。物体受到地球的万有引力 的作用，按照力的作用效果将它进行分解，一个分力是使物体随地球自 转做匀速圆周运动的向心力Ｆｎ，另一个分力就是物体受到的重力ｍｇ， 如图１ １所示。因此物体受到的重力随物体在地球上的纬度不同而略 有差异，物体受的重力在赤道处最小，在两极处最大，两者相差约千分之 三。由于物体随地球自转做圆周运动的向心力远远小于万有引力，因此 粗略计算时可以认为物体所受的重力就等于它受到的万有引力。 ２物体的重心是物体各部分所受重力的合力（即物体的重力）的作用点。均匀物体的重心在 它的几何中心处。由此可见，物体的重心有可能不在物体上，而在它附近空间中的某一个点上， 如篮球的重心就在球心处。只要物体的物质分布情况确定，物体的重心与物体各部分的相对位 置就确定了，所以无论物体（刚体）怎样运动，其重心对物体（刚体）的位置总保持不变。此结论在 实际生活中常常用到。设物体各部分的质量分别为ｍ１，ｍ２，…，ｍｎ，且各部分重力的作用点在 ｘＯｙ坐标系中的坐标分别是（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…，（ｘｎ，ｙｎ），则物体的重（质）心坐标ｘｃ，ｙｃ可 １§１　重力、弹力、摩擦力　 表示为 ｘｃ＝ ∑ｍｉｘｉ ∑ｍｉ ＝ ｍ１ｘ１＋ｍ２ｘ２＋…＋ｍｎｘｎ ｍ１＋ｍ２＋ｍ３＋…＋ｍｎ ，ｙｃ＝ ∑ｍｉｙｉ ∑ｍｉ ＝ ｍ１ｙ１＋ｍ２ｙ２＋…＋ｍｎｙｎ ｍ１＋ｍ２＋ｍ３＋…＋ｍｎ 。 另外，还可以利用悬挂法求薄形物体的重心。 　　三、弹力 １弹力是物体由于形变而产生的力，产生弹力的条件是两个物体接触，并且发生形变。弹力 的作用点在两个物体的接触处，方向和物体形变的方向相反，作用在迫使物体发生形变的另一个 物体上。 ２弹力的大小和物体的形变的大小有关。胡克定律指出，在弹性限度内弹簧的弹力和弹簧 的伸长（或压缩）成正比，即Ｆ＝ｋｘ。其中ｋ为劲度系数，决定于弹簧的材料、圈数、每圈的形状及 大小等因素。如果劲度系数分别为ｋ１、ｋ２的弹簧并联，等效劲度系数为ｋ＝ｋ１＋ｋ２，而若两弹簧 串联，则等效劲度系数ｋ满足：１ ｋ ＝ １ ｋ１ ＋ １ ｋ２ 。 ３一些物体，例如绳、杆或面接触的物体，发生的形变都很小，需要根据物体受力的具体情况 来确定弹力的大小。 　　四、摩擦力 １相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动的趋势时就会在接触面上产生一 个阻碍相对运动或相对运动趋势的力，这个力称为摩擦力。 ２当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与 接触面上相对运动趋势的方向相反，大小视具体情况而定，可通过平衡条件或动力学方程求出。 最大静摩擦力Ｆｆｍａｘ＝μ０ＦＮ。其中μ０称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的表面 状况等；ＦＮ为两物体间的正压力。 ３当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的 方向与相对运动的方向相反，其大小与两物体间的正压力成正比，即Ｆｆ＝μＦＮ。其中μ为动摩擦 因数，它取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看做常量。在 接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数μ０略大于动摩擦因数μ。在通常情况 下，μ０与μ可不加区分，认为是相等的。 方法总结 图１ ２ 物体重心的确定———用重心的公式直接求或利用同向平行力的合成法 则求，同时要充分利用对称关系。 【例１】　如图１ ２所示，均匀球的半径为Ｒ，现被挖去一个球形空腔， 此空腔与原球面相内切，并通过原来的球心。求该球剩余部分的重心位置。 解法一：如图１ ３所示，完整实心球质量为Ｍ，其重心就在原球心Ｏ， ２　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 它可看成挖出的小球的重力Ｇ１＝ｍ１ｇ＝ ４ ３π Ｒ（ ）２ ３ ·ρｇ＝ １ ８ Ｍｇ和剩余部分球的重力Ｇ２＝ １－（ ）１８ Ｍｇ＝ ７８Ｍｇ的合力作用点。设剩余部分的重心距原球心Ｏ为ｘ，根据同向平行力合成 规律，有以Ｏ为转轴的合力矩为零，即 图１ ３ ｍ１ｇ· Ｒ ２ ＝ｍ２ｇ·ｘ。 所以 　ｘ＝ ｍ１ ｍ２ ·Ｒ ２ ＝ １ ８ Ｍ ７ ８ Ｍ ·Ｒ ２ ＝ Ｒ １４ ， 即距原球心 Ｒ １４ 处，位于从空腔中心经原球心的射线上。 解法二：取Ｏ点为坐标原点，水平向左为ｘ轴正向，则对整个球而言，重心在球心Ｏ，即 ０＝ ７ ８ Ｍｘ－ １ ８ Ｍ·Ｒ ２ Ｍ 。 解得ｘ＝ Ｒ １４ 。 弹簧弹力的计算———胡克定律中的ｘ是形变量，即伸长和缩短的长度。 【例２】　如图１ ４所示，原长为Ｌ的轻质弹簧放置在一光滑的直管内，弹簧与直管的一端均 固定于Ｏ点，并能绕过Ｏ点且与纸面垂直的轴转动，弹簧的另一端连接一直径略小于管直径的光 滑小球，当管竖直放置时，测得弹簧长度为Ｌ０（弹性限度内）。在让该装置从水平位置开始缓慢地 绕Ｏ点转到竖直位置的过程中，当直管转过的角度θ为多大时，小球距原水平位置有最大的高度， 其值ｈｍａｘ为多大？ 图１ ４ 解：设倾角为θ时弹簧压缩量为Δｘ，则根据胡克定律，弹力Ｆ＝ ｋΔｘ，此时小球高度ｈ＝（Ｌ－Δｘ）ｓｉｎθ＝ Ｌ－ ｍｇｓｉｎθ（ ）ｋ ｓｉｎθ。 又因为ｍｇ＝ｋ（Ｌ－Ｌ０），即ｋ＝ ｍｇ Ｌ－Ｌ０ ，故 ｈ＝［Ｌ－ｓｉｎθ（Ｌ－Ｌ０）］ｓｉｎθ＝（Ｌ－Ｌ０） Ｌ Ｌ－Ｌ０ －ｓｉｎ（ ）θｓｉｎθ。 所以 Ｌ Ｌ－Ｌ０ －ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ时有最大值，ｓｉｎθ＝ Ｌ ２（Ｌ－Ｌ０） 。 θ＝ａｒｃｓｉｎ Ｌ ２（Ｌ－Ｌ０） ，ｈｍａｘ＝ Ｌ２ ４（Ｌ－Ｌ０） 。 摩擦力的计算———关键要区分是动摩擦力还是静摩擦力，并要注意摩擦力的方向是和相对 运动或相对运动的趋势的方向相反。 ３§１　重力、弹力、摩擦力　 图１ ５ 【例３】　如图１ ５所示，已知ｍＡ＝ ｍＢ ２ ＝ ｍＣ ３ ＝１ｋｇ，物体Ａ、Ｂ、 Ｃ及地面间的动摩擦因数均为μ＝０．１，轴与滑轮间的摩擦可忽略， 轻绳两端分别与Ａ、Ｃ两物体相连接，若要用力将Ｃ物体匀速拉动，则 所需要加的水平拉力为多大？ 图１ ６ 解：Ａ、Ｂ之间与Ｂ、Ｃ之间的滑动摩擦力ｆＡＢ ＝μｍＡｇ＝１Ｎ， ｆＢＣ ＝μ（ｍＡ＋ｍＢ）ｇ＝３Ｎ。 因为ｆＡＢ ＜ｆＢＣ，所以在将Ｃ物体匀速拉动时Ｂ和Ｃ会保持相 对静止，Ａ、Ｃ两物体水平方向受力如图１ ６所示，其中ｆ地、Ｃ ＝ μ（ｍＡ＋ｍＢ＋ｍＣ）ｇ＝６Ｎ。 对Ａ：Ｔ＝ｆＡＢ ＝１Ｎ； 对Ｂ、Ｃ整体：Ｆ＝ｆＡＢ＋Ｔ＋ｆ地、Ｃ ＝８Ｎ。 图１ ７ 【例４】　有一半径ｒ为０．２ｍ的圆柱体绕竖直轴ＯＯ′以角速度ω为 ９ｒａｄ／ｓ匀速转动，现用水平力Ｆ把质量ｍ为１ｋｇ的物体Ａ压在圆柱体的 侧面。由于受挡板上竖直的光滑槽的作用，物体Ａ在水平方向上不能随圆 柱体转动，而以ｖ０为２．４ｍ／ｓ的速率匀速下滑，如图１ ７所示。若物体Ａ 与圆柱体间的动摩擦因数μ为０．２５，试求水平推力Ｆ的大小。（ｇ取 １０ｍ／ｓ２） 解：如图１ ８所示，在垂直于圆柱面的方向上有压力ＦＮ＝Ｆ。物体相 对圆球面的速度为ｖ； 图１ ８ 且ｖ＝ ｖ２０＋（ω０ｒ）槡 ２＝ ２．４２＋（９×０．２）槡 ２ｍ／ｓ＝３ｍ／ｓ， 物体所受摩擦力的方向跟ｖ的方向相反。由物体的平衡条件得 Ｆｆｃｏｓα＝ｍｇ，又Ｆｆ＝μＦＮ；ｃｏｓα＝ ｖ０ ｖ ＝ ２．４ ３ ＝０．８，故 Ｆ＝ ｍｇ μｃｏｓα ＝ １×１０ ０．２５×０．８ Ｎ＝５０Ｎ。 真题解读 图１ ９ 【例５】　（２０１１华约数学）如图１ ９所示，一个有底无盖的圆柱形桶，底 面质量不计，桶侧面质量为ａ克，桶的重心在中轴线上的正中间位置，装满水 后水的质量为ｂ克。 （１）若ｂ＝３ａ，水装到一半，求系统合重心到桶底面的距离与桶的高度 之比。 （２）装入水的质量ｍ为多少时，水和桶的合重心最低？ ４　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 解：（１）设桶高ｈ，合重心到桶底的高度为ｙ，则 ｙ＝ ａ·ｈ ２ ＋ ｂ ２ ·ｈ ４ ａ＋ ｂ ２ ＝ ７ ２０ ｈ， 即ｙ ｈ ＝ ７ ２０ 。 （２）当水和桶的合重心在水面上时系统合重心最低，因为如果此时再加水，相当于在合重心 上面添加物体，合重心当然升高；而如果在合重心下方去掉水，相当于在合重心下方抽掉物体，合 重心也会升高。 设水的质量为ｍ时水面距离桶底ｘ，则由ｂ ｈ ＝ ｍ ｘ 得ｘ＝ ｍｈ ｂ ； 由ｘ＝ ａ·ｈ ２ ＋ｍ· ｘ ２ ａ＋ｍ 得ｍ＝ ａ２＋槡 ａｂ－ａ。 注：第（２）问也可按数学方式来解。设水质量为ｍ时合重心距底面高ｙ，则ｙ＝ ａ·ｈ ２ ＋ｍ· ｘ ２ ａ＋ｍ ＝ ｈ ２ｂ ·ａｂ＋ｍ ２ ａ＋ｍ ＝ ｈ ２ｂ · （ａ＋ｍ）２－２ａ（ａ＋ｍ）＋ａ２＋ａｂ ａ＋ｍ ＝ ｈ ２ｂ （ａ＋ｍ）＋ ａ２＋ａｂ ａ＋ｍ －２［ ］ａ 因为ａ２＋ａｂａ＋ｍ· （ａ＋ｍ）＝ａ２＋ａｂ为常数，所以当ｍ＝ ａ２＋槡 ａｂ－ａ时ｙ最小。 巩固练习 图１ １０ １Ｓ１和Ｓ２表示劲度系数分别为ｋ１和ｋ２的两根弹簧，ｋ１＞ｋ２；ａ和ｂ表示质 量分别为ｍａ和ｍｂ的两个小物块，ｍａ＞ｍｂ，将弹簧与物块按如图１ １０所示方 式悬挂起来。现两根弹簧的总长度最长，则应使（　　）。 ＡＳ１在上，ａ在上 ＢＳ１在上，ｂ在上 ＣＳ２在上，ａ在上 ＤＳ２在上，ｂ在上 ２如图１ １１所示，两木块的质量分别为ｍ１和ｍ２，两轻质弹簧的劲度系数分别为ｋ１和ｋ２， 图１ １１ 上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态。现缓慢向上 提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中，下面木块移动的距离 是（　　）。 Ａ ｍ１ｇ ｋ１ Ｂ ｍ２ｇ ｋ１ Ｃ ｍ１ｇ ｋ２ Ｄ ｍ２ｇ ｋ２ ５§１　重力、弹力、摩擦力　 图１ １２ 　　３如图１ １２所示，竖直向上的力Ｆ作用在物体Ｂ下，Ａ紧靠在竖直墙壁上，Ａ、Ｂ 均保持静止，此时物体Ｂ的受力个数为 （　　）。 Ａ２个 Ｂ３个 Ｃ４个 Ｄ５个 ４图１ １３中ＯＡ为一遵从胡克定律的弹性绳，其一端固定于天花板上的Ｏ点，另一端与静 止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块Ａ相连，当绳处在竖直位置时，滑块Ａ对地面有压力作 图１ １３ 用，Ｂ为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离ＢＯ等于弹性 绳的自然长度。现用一水平力Ｆ作用于Ａ，使之向右做直线运动，在 运动过程中，作用于Ａ的摩擦力（　　）。 Ａ逐渐增大 Ｂ逐渐减小 Ｃ保持不变 Ｄ条件不足，无法判断 图１ １４ ５如图１ １４所示，矩形均匀薄板长ＡＣ＝６０ｃｍ，宽ＣＤ＝１０ｃｍ，重 为Ｇ，在Ｂ点用细线悬挂，板处于平衡状态，当ＡＢ＝３５ｃｍ时，则悬线和板 边缘ＣＡ的夹角α为（　　）。 Ａ３０° Ｂ４５° Ｃ６０° Ｄ条件不足，无法确定 ６如图１ １５所示，用一不变形的轻质细杆连接两个小球，放置在一光滑半圆形容器内部， 图１ １５ 当它达到平衡时，细杆将（　　）。 Ａ被挤压 Ｂ被拉伸 Ｃ既不被挤压也不被拉伸 Ｄ是否被挤压或被拉伸要由小球的质量决定 ７在水平桌面Ｍ上放置一块正方形薄木板ａｂｃｄ，在木板的正中点放置一个质量为ｍ的木 块，如图１ １６所示。先以木板的ａｄ边为轴，将木板向上缓慢转动，使木板的ａｂ边与桌面的夹角 图１ １６ 为θ；再接着以木板的ａｂ边为轴，将木板向上缓慢转动，使木 板的ａｂ边与桌面的夹角也为θ（ａｂ边与桌面的夹角θ不变）。 在转动过程中木块在薄木板上没有滑动，则转动以后木块受 到的摩擦力的大小为（　　）。 槡Ａ２２ｍｇｓｉｎθ 槡Ｂ ２ｍｇｓｉｎθ ６　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 Ｃｍｇｓｉｎ２θ Ｄｍｇ 槡ｓｉｎ２θ 图１ １７ ８如图１ １７所示，有一“不倒翁”，由半径为Ｒ的半球体与顶角为６０° 的圆锥体组成，它的重心在对称轴上。为使“不倒翁”在任意位置都能恢复竖 直状态，则该“不倒翁”的重心到顶点的距离必须大于（　　）。 Ａ ４Ｒ 槡３ Ｂ２Ｒ 槡Ｃ ３Ｒ Ｄ条件不足，无法确定 ９两本书Ａ和Ｂ逐页交叉叠放在一起，放在水平桌面上，设每页书（一张纸）的质量为５ｇ，两 本书均有１００张纸，纸与纸间的动摩擦因数为０．３，若要把书沿水平方向抽出至少需要施加多大 图１ １８ 的力？（ｇ取１０ｍ／ｓ２） １０如图１ １８所示，压延机由两轮构成，两轮直径都为ｄ＝ ５０ｃｍ，轮间的间隙ａ＝０．５ｃｍ。两轮按相反方向转动，如图上箭头所 示。已知烧红的铁板与铸铁轮之间的动摩擦因数μ＝０．１，问能压延 的铁板厚度是多少？未进入两轮间的铁板由光滑水平面托住能保持 水平状态。 图１ １９ １１如图１ １９所示，一根细长的硬棒上 有ｎ个小球，每个小球之间相距ａ，小球质量 从ｍ、２ｍ、３ｍ逐渐增大到ｎｍ，棒重不计，求整 个体系的重心位置。 §２　共点力作用下物体的平衡 知识归纳 　　一、刚体及其平衡 １力使物体的运动状态发生改变，还可以使物体发生形变。一般情况下，物体的形变是十分 ７§２　共点力作用下物体的平衡　 微小的，在研究物体受力和运动的关系时，可以略去不计，而把物体看作是不变形的。在受力的 情况下，保持形状和大小都不变的物体称为刚体。在中学阶段，讨论物体的受力和运动的关系等 问题时，所研究的物体都可视为刚体。 ２物体的平衡状态，指物体在力的作用下处于静止或匀速直线运动状态或匀速转动状态（指 包括转轴在内的整个刚体，而做匀速圆周运动的物体并不处于平衡状态，如老式电唱机整张唱片 在不计阻力时可认为是匀速转动，但唱片上停着的一只苍蝇则是做匀速圆周运动，一定需要有摩 擦力提供其做圆周运动的向心力才行）。 ３共点力作用下物体的平衡条件为这些力的合力等于零。如果这些力的作用线都在同一平 面内，那么应用正交分解的方法，共点力的平衡条件可以表示为作用在物体上的所有力沿ｘ轴和 ｙ轴方向的分量的代数和都为零，即：即∑Ｆ＝０，或∑Ｆｘ＝０，∑Ｆｙ＝０。 ４实际上，如果是三个力作用下的平衡问题，一般可以由任两个力的合力同第三个力等大反 向作平行四边形，若平行四边形中有直角三角形，根据函数关系或勾股定理列方程。如果平行四 边形中无直角三角形，则可由正弦定理或相似三角形的相似比相等列方程。 ５如果是三个以上共点力的平衡问题可由正交分解法列方程，当然有时也可将同一方向的 几个力先合成为一个力，或者也可将不同方向的力先合成为一个力，如将处于同一点的弹力和摩 擦力先合成为一个力（俗称全反力），再利用三力平衡的处理手法解决问题。 　　二、三力汇交原理 图２ １ 一个物体受到三个非平行力的作用仍处于平衡状态，则这三个力 的作用线一定汇交于一点。 证明如下：如图２ １所示，有三个力Ｆ１、Ｆ２和Ｆ３作用于物体上， 由于Ｆ１、Ｆ２和Ｆ３都不平行，因此必有二力可以交于一点。例如Ｆ１和 Ｆ２交于点Ｏ，可以求出此二力的合力Ｒ。由于物体处于平衡状态，由 二力平衡条件可知Ｆ３和Ｒ一定是大小相等、方向相反且在同一直线 上，故Ｆ３也一定通过Ｏ点，亦即Ｆ１、Ｆ２和Ｆ３必定汇交于Ｏ点。 方法总结 矢量图解法———定性力大小变化时常用。 【例１】　如图２ ２所示，轻杆ＡＣ处于水平位置，Ｃ端铰接在墙上，细绳ＡＢ拉住杆的Ａ端， 图２ ２ 一重物挂于杆上Ｄ点，若将悬物点Ｄ由Ａ 附近开始逐渐向Ｃ点移 动，则绳中拉力Ｔ和杆对铰链的作用力Ｆ的大小将（　　）。 Ａ都变小 ＢＴ变小，Ｆ变大 ＣＴ变小，Ｆ先变小再变大 ＤＴ先变小再变大，Ｆ变小 解：Ｄ向Ｃ点移动时，ＡＢ杆保持力矩平衡，重力矩变小，拉力矩 ８　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 图２ ３ 也变小，但拉力力臂不变，故Ｔ变小。ＡＣ杆受三力作用处于平衡，拉力Ｔ、 重力Ｇ、支点作用力Ｆ三力组合成封闭三角形，其中Ｔ与Ｇ的方向不变，如 图２ ３所示。当Ｔ变小时，Ｆ先变小再变大。应选Ｃ。 【例２】　如图２ ４所示，倾角为θ＝３０°的斜面体放在水平地面上，一 个重为Ｇ的球在水平力Ｆ的作用下，静止在光滑斜面上，现若将力Ｆ从水 图２ ４ 平方向逆时针转过某一角度α（α未知）后，仍保持Ｆ的大小，且小球和 斜面也仍旧保持静止，则此时水平地面对斜面体的摩擦力ｆ为（　　）。 Ａ 槡３ ２ Ｇ Ｂ 槡３ ３ Ｇ Ｃ 槡３ ６ Ｇ Ｄ条件不足，无法确定 图２ ５ 解：加水平力时球平衡，满足Ｆ＝Ｇｔａｎ３０°。 保持Ｆ大小不变，使Ｆ逆时针转过α时，由于Ｇ和Ｆ的合力必垂直 斜面方向，如图２ ５所示，故α＝６０°。 对整体：ｆ＝Ｆｃｏｓα＝ 槡３ ６ Ｇ。选Ｃ。 三力平衡问题的处理———由正弦定理或相似三角形的相似比相等 可以确定平行四边形中无直角三角形的物体平衡。 图２ ６ 【例３】　光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的 小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的Ａ点，另一端绕过定滑轮后 用力拉住，使小球静止，如图２ ６所示。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由 Ａ运动到Ｂ的过程中，半球对小球的支持力Ｎ和绳对小球的拉力Ｔ的大小 变化情况是（　　）。 ＡＮ变大，Ｔ变小 ＢＮ变小，Ｔ变大 ＣＮ变小，Ｔ先变小后变大不 ＤＮ不变，Ｔ变小 解：设球面半径为Ｒ，ＢＣ＝ｈ，ＡＣ＝Ｌ，ＡＯ＝Ｒ′，选小球为研究对象， 小球受三个力的作用而平衡，重力Ｇ、半球的支持力Ｎ和绳的拉力Ｔ，力的矢量三角形如图２ ７ 图２ ７ 所示，由于它和△ＣＯＡ相似，可得 Ｇ ｈ＋Ｒ ＝ Ｔ Ｌ ＝ Ｎ Ｒ′ ， 故 Ｎ＝ ＧＲ′ ｈ＋Ｒ ，Ｔ＝ ＧＬ ｈ＋Ｒ 。 因ｈ、Ｒ、Ｇ、Ｒ′为定值，所以Ｎ为定值不变。Ｔ与Ｌ成正比，由Ａ运动到Ｂ 的过程中，Ｌ变小，因此Ｔ变小。故选Ｄ。 三力汇交原理的妙用。 【例４】　如图２ ８所示，一根重为Ｇ的均匀硬杆ＡＢ，杆的Ａ端被细绳吊起，在杆的另一端Ｂ ９§２　共点力作用下物体的平衡　 作用一水平力Ｆ，把杆拉向右边。整个系统平衡后，细线、杆与竖直方向的夹角分别为α、β，求证： ｔａｎβ＝２ｔａｎα。 图２ ８ 　　　 图２ ９ 解：硬杆受到三个力作用平衡，则三个力的作用线必交于一点，如图２ ９所示。ＡＢ为一根 质量分布均匀的硬杆，所以Ｏ为ＡＢ的中点。则由几何关系可得Ｃ为ＢＤ 的中点，ＢＤ ＝２ＣＤ， 而ｔａｎβ＝ ＢＤ ＡＤ ，ｔａｎα＝ ＣＤ ＡＤ ，所以ｔａｎβ＝２ｔａｎα。 图２ １０ 研究对象的巧妙选取。 【例５】　如图２ １０所示，将两个质量均为ｍ的小球用细线相连悬挂于 Ｏ点。 （１）若用力Ｆ拉小球ａ，使其悬线Ｏａ向右偏离竖直方向θ＝３０°角，且整个 装置处于平衡状态，求力Ｆ的最小值并说明其方向； 图２ １１ （２）若在ａ球上施加符合（１）问条件的力Ｆ后，仍保持悬线Ｏａ竖直，且使 整个装置处于平衡状态，求在ｂ小球上施加的最小力的大小，并说明其方向。 解：（１）由图２ １１所示的矢量关系图可知力Ｆ垂直细线时Ｆ的值最小， 故Ｆ＝２ｍｇｓｉｎθ＝ｍｇ。 （２）悬线Ｏａ竖直表明对ａ、ｂ两小球组成的系统在水平方向所受合力为０， 故在ｂ小球上施加的力水平向左时满足要求，大小为：Ｆｂ＝Ｆｃｏｓθ＝ 槡３ ２ ｍｇ。 用正交分解法解题。 【例６】　如图２ １２所示，用夹具夹一半径为Ｒ的球体，夹具每个臂长均为ｌ，若要夹住轻球， 夹子和球的静摩擦因系数至少为多大？ 图２ １２ 　　　　 图２ １３ 解：球体平衡时，Ｎ和ｆ０沿与ＯＯ′平行方向的分量应等大、反向、共线，即 ０１ 　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 Ｎ ｓｉｎθ ２ ＝ ｆ０ ｃｏｓθ ２ ， 所以ｔａｎθ ２ ＝ Ｎ ｆ０ 。 式中ｆ０不应超过最大静摩擦力ｆｏｍ，即满足 ｆ０≤ｆｏｍ＝μ０·Ｎ， 故要求 μ０≥ １ ｔａｎθ ２ ， 由几何关系得 ｔａｎθ ２ ＝ Ｒ ｌ ， 所以 μ０≥ ｌ Ｒ 。 真题解读 图２ １４ 【例７】　（２０１１北大保送生考试）如图２ １４所示，Ｐ为一个水闸的剖面 图，闸门质量为ｍ，宽为ｂ。水闸两侧水面高分别为ｈ１、ｈ２，水与闸门间、闸门 与轨道间的动摩擦因数分别为μ１、μ２，求拉起闸门至少需要多大的力？ 解：左侧和右侧水对闸门向右和向左的压力分别为： Ｆ１＝ ρｇｈ１ ２ ·ｂｈ１，Ｆ２＝ ρｇｈ２ ２ ·ｂｈ２。 由水平方向合力为零可知，轨道与闸门之间的弹力Ｎ满足：Ｆ１＝Ｆ２＋Ｎ，即 Ｎ＝Ｆ１－Ｆ２＝ρ ｇｂ ２ （ｈ２１－ｈ２２）。 提起闸门时在一开始所需的拉力最大，值为 Ｆ＝ｍｇ＋μ２Ｎ＋μ１（Ｆ１＋Ｆ２）＝ｍｇ＋ μ２ρｇｂ ２ （ｈ２１－ｈ２２）＋ μ１ρｇｂ ２ （ｈ２１＋ｈ２２）。 图２ １５ 注：本题在计算水对闸门的压力时用平均压强计算，但该力的作用 点却并不在水深一半处，而应该在距水底三分之一水深处，这一点可借 助于类比知识得到。如图２ １５所示，设想将一等腰均匀三角形板分 割为宽度相同的很多平行细窄条，从顶点起每一窄条的质量显然与该 窄条离顶点的距离成正比，而匀质三角板的合重心在距底边三分之一 １１§２　共点力作用下物体的平衡　 高度处。同样将被水浸没的闸门从上往下分割成很多条相同细窄条，虽然各窄条的面积相 同，但各窄条所受的压力从上而下也是线性增加的，这和前面列举的三角板情况完全相同。 巩固练习 １如图２ １６所示，完全相同的三角形物块Ａ、Ｂ，按图示方式叠放，设Ａ、Ｂ间光滑接触，Ａ与 桌面间的动摩擦因数为μ。现在Ｂ上作用一水平推力Ｆ，恰好使Ａ、Ｂ一起在桌面上匀速运动，且 Ａ、Ｂ间保持相对静止，则Ａ与桌面间的μ与斜面倾角θ的关系为（　　）。 图２ １６ Ａμ＝ｔａｎθ Ｂμ＝ １ ２ ｔａｎθ Ｃμ＝２ｔａｎθ Ｄμ与θ无关 图２ １７ ２如图２ １７所示，平板重３００Ｎ，滑轮重不计，要使整个装置静止，则Ｐ 物重力的最小值是（　　）。 Ａ３００Ｎ Ｂ２００Ｎ Ｃ１５０Ｎ Ｄ１００Ｎ 图２ １８ ３如图２ １８所示，物体Ｇ用两根绳子悬挂，开始时绳ＯＡ水平，现 将两绳同时沿顺时针方向转过９０°，且保持两绳之间的夹角α不变（α＞ ９０°），物体保持静止状态。在旋转过程中，设绳ＯＡ的拉力为Ｔ１，绳ＯＢ 的拉力为Ｔ２，则（　　）。 ＡＴ１先减小后增大 ＢＴ１先增大后减小 ＣＴ２逐渐减小 ＤＴ２最终变为零 ４图２ １９所示为四种悬挂镜框的，设墙壁光滑，镜框重心位置在镜框的正中间，指出 图中可能实现的方案是（　　）。 图２ １９ ２１ 　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 图２ ２０ ５如图２ ２０所示，在竖直平面的固定光滑圆轨道的最高点有一个光滑 的小孔，质量为ｍ的小环套在圆轨道上，用细线通过小孔系在环上，缓慢拉动 细线，使环沿轨道上移，在移动过程中拉力Ｆ和轨道对小环的作用ＦＮ的大小 变化情况是（　　）。 ＡＦ不变，ＦＮ增大 ＢＦ不变，ＦＮ不变 ＣＦ减小，ＦＮ不变 ＤＦ增大，ＦＮ不变 图２ ２１ ６如图２ ２１所示，在墙角有一根质量为ｍ的均匀绳，一端悬于天 花板上的Ａ点，另一端悬于竖直墙壁上的Ｂ点，平衡后最低点为Ｃ点， 测得绳长ＡＣ＝２ＢＣ，且绳在Ｂ端附近的切线与墙夹角为α，则绳在最 低点Ｃ处的张力和在Ａ处的张力分别是多大？ ７在竖直平面内有一个半径为Ｒ的光滑固定圆环，圆环内放一个斜边长为２Ｒ、一条短边长 为Ｒ的匀质直角三角板，三角板的三个顶点都靠在环的内壁上，试求平衡时三角板的斜边与圆环 水平直径的夹角φ。 ８如图２ ２２所示，ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ和ＤＥ为质量可忽略的等长细线，长度均为５ｍ，Ａ、Ｅ端悬 挂在水平天花板上，ＡＥ＝１４ｍ，Ｂ、Ｄ是质量均为ｍ０＝７ｋｇ的相同小球。质量为ｍ的重物挂于 Ｃ点，平衡时Ｃ点离天花板的垂直距离为７ｍ。试求重物质量ｍ。 图２ ２２ 　　　　 图２ ２３ ９如图２ ２３所示，半径ｒ的半球形光滑碗固定在水平地面上，一粗细均匀的筷子斜靠在碗 边，一端在碗内，一端在碗外，已知筷在碗内长度为ｃ，求筷子的总长。 图２ ２４ １０一轻绳跨过两个等高的定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别 挂上质量为ｍ１＝４ｋｇ和ｍ２＝２ｋｇ的物体，如图２ ２４所示，在滑轮 之间的一段绳上悬挂物体ｍ，为使三个物体都保持平衡，求ｍ的取值 范围。 ３１§２　共点力作用下物体的平衡　 §３　定轴转动物体的平衡 知识归纳 　　一、力矩 １具有固定转轴的物体所受各力使物体转动的效应，决定于力矩和。也就是说力矩是物体 转动状态发生改变的原因，即会使刚体的角速度发生改变。 ２如果力的作用线在与转轴垂直的平面内，力臂就是轴到力作用线的垂直距离，力矩的大小 图３ １ 等于力和力臂的乘积；如果力的作用线和转轴平行，力矩的大小等于 零；如果力Ｆ既不在垂直于转轴的平面内，又不平行于转轴，则可以将 力Ｆ分解，其中一个分力Ｆ２的方向和转轴平行，它对转轴的力矩为零； 另一个分力Ｆ１在和转轴垂直的平面内，如图３ １所示，它对转轴的力 矩等于力臂Ｌ和Ｆ１的乘积，这个力矩也是力Ｆ对转轴的力矩。解题中 通常规定使物体绕轴逆时针转动的力矩为正值，顺时针转动的力矩为 负值。 ３力矩的单位是Ｎ·ｍ，不能写作Ｊ。因为力矩是矢量，功是标量。 　　二、定轴转动物体的平衡条件 １平衡条件：作用在物体上的全部外力对固定转动轴所取力矩的代数和为零，即∑Ｍ＝０。 ２中学只研究平面力系的转动平衡，对于实际的可转动物体，其转轴仅限于和力系平面垂直 的方向上，这样一来，各力矩的转动效应不是同向就是反向，若沿着转轴观察，力矩的转动效应不 是使物体顺时针转，就是使物体逆时针转。若以使物体逆时针转的力矩为正，则使物体顺时针转 的力矩就为负，反之亦然。因而定轴转动物体的平衡条件也可记作∑Ｍ＋ ＝∑Ｍ－。 　　三、力偶和力偶矩 图３ ２ １两个大小相等、作用线不重合的反向平行力组成的力系称为力 偶（如图３ ２），可记作（Ｆ，Ｆ′），力偶中两力之间的垂直距离ｄ称为力 偶臂，力偶所在的平面称为力偶的作用面。 ２力偶对物体产生的力矩叫力偶矩。记为Ｍ＝±Ｆ·ｄ，式中正负 号的规定仍然是：逆时针转向为正；反之为负。力偶矩的大小和转向都 与转轴的位置无关，而只由力偶矩的大小、转向和力偶作用面这三个要 ４１ 　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 素共同决定。 ３力偶中的二力不在同一条直线上，它们绝不会平衡，但二力的矢量和为零，所以不会使物 体产生平动加速度，它只能对物体产生转动作用。故力偶不存在合力，用任何一个单独的力都不 能代替力偶的作用。 ４力偶等效变换有两条重要性质：① 力偶可以在其作用面内任意转移，而不改变它对物体 的作用，即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。② 只要保持力偶矩不变，可以同时改 变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用。这样几个力偶就是等效的。 方法总结 二力杆的平衡———物体受二力作用平衡，这两个力一定是平衡力。 【例１】　长均为Ｌ、质量均为ｍ的两根均匀直杆Ａ、Ｂ，它们的上端用光滑铰链铰接，悬挂于天 图３ ３ 花板上，在距离两杆下端点均为Ｌ ３ 处，用光滑铰链Ｍ、Ｎ与弯杆Ｃ铰接， Ａ、Ｂ两杆被弯杆Ｃ撑开的角度为２θ，弯杆Ｃ和铰链的质量均不计，如图 ３ ３所示，则可知弯杆对杆Ａ的作用力大小Ｆ为（　　）。 Ａ３ｍｇｃｏｔθ４ Ｂ３ｍｇｓｉｎ θ ４ Ｃ３ｍｇｔａｎθ４ Ｄ３ｍｇｃｏｓ θ ４ 解：因弯杆Ｃ自重不计，故Ａ、Ｂ杆对Ｃ的作用力均沿水平方向，故对杆Ａ，有ｍｇ Ｌ ２ ｓｉｎθ＝Ｆ ２Ｌ ３ ｃｏｓθ，得Ｆ＝ ３ ４ ｍｇｔａｎθ，选Ｃ。 最小作用力方向的确定———使作用力的力臂尽量大。 图３ ４ 【例２】　如图３ ４，三根长度均为ｌ的轻绳分别连接于Ｃ、Ｄ两点， Ａ、Ｂ两端被悬挂在水平天花板上，相距２ｌ。现在Ｃ点上悬挂一个质量为 ｍ的重物，为使ＣＤ绳保持水平，在Ｄ点上可施加力的最小值为（　　）。 Ａｍｇ Ｂ 槡３ ３ ｍｇ Ｃ １ ２ ｍｇ Ｄ １ ４ ｍｇ 图３ ５ 解：如图３ ５，对有铰链的轻杆，杆作用在铰链上的力的方向是沿 杆的，因此点Ａ和点Ｂ处的外力分别沿ＣＡ、ＤＢ。 设这两个力交于Ｏ点，以Ｏ为轴心，显然Ｆ⊥ＯＤ时Ｆ有最小值。 由ｍｇ· ｌ ２ ＝Ｆ·ｌ得Ｆ＝ ｍｇ ２ ，选Ｃ。 研究对象的巧取———利用整体或隔离方法确定研究对象。 ５１§３　定轴转动物体的平衡　 【例３】　有一块均匀木板ＡＣ长为ｌ１，重为Ｇ１，Ａ端用铰链固定在地面上。现用长为 ｌ２、重为Ｇ２的撬棒把木板支起达平衡位置，如图３ ６所示，假定木板与撬棒的接触是光滑 的，地面足够粗糙，图中α＝６０°，β＝３０°，ｌ１∶ｌ２＝２∶３，作用于撬棒端点Ｄ的外力Ｆ至少 为多大？ 解：设ＡＣ、ＢＤ板长分别为２ｌ和３ｌ，棒ＢＤ在Ｃ处对板的弹力Ｎ 垂直棒ＢＤ，故： 图３ ６ 对板ＡＣ有：Ｇ１·ｌｃｏｓβ＝Ｎ·２ｌｃｏｓ（α－β）； 对棒ＢＤ有：Ｇ２ ３ ２ ｌｃｏｓα＋Ｎ·２ｌ· ｓｉｎβ ｓｉｎα ＝Ｆ·３ｌ。 解得Ｆ＝ 槡３ ９ Ｇ１＋ １ ４ Ｇ２。 转轴的选取———取未知又不需求力的作用点最为有效。 图３ ７ 【例４】　如图３ ７所示，有一个水平放置的半径为Ｒ的圆柱形 光滑槽面，其轴线通过Ｏ点，槽内放着两个半径均为ｒ的光滑圆柱体 Ａ、Ｂ，质量分别为ｍＡ、ｍＢ，且ｒ＝ １ ３ Ｒ，当圆柱体Ａ、Ｂ平衡时，ＯＡ线 与竖直线间的夹角α是多少？ 解：设ＯＡ、ＯＢ的连线分别与竖直线的夹角为α、β，以过Ｏ点的 水平线为轴，对系统有 ｍＡｇ（Ｒ－ｒ）ｓｉｎα＝ｍＢｇ（Ｒ－ｒ）ｓｉｎβ。 又因为 ＯＡ＝ＯＢ＝ＡＢ＝２ｒ， 所以 α＋β＝６０°。 解得 α＝ａｒｃｔａｎ 槡３ｍＢ ２ｍＡ＋ｍＢ 。 注：对本题常用的处理方法是分别隔离Ａ、Ｂ两物体，各自利用共点力作用下物体的平衡条 件来求得。不过，这样处理比较繁琐。 杆秤问题———零刻度的确定，并且杆秤是刻度均匀的。 【例５】　有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。结构如图３ ８，秤杆的一端固定一配重物并 悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩 所在位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置），秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。 空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡，当物体挂在挂钩上 时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将两个读 数相加，就可得到待测物体的质量。如图３ ９所示，已知秤杆和两个套筒的长度均为１６ｃｍ， 套筒可移出的最大距离为１５ｃｍ，秤纽到挂钩的距离为２ｃｍ，两个套筒的质量均为０．１ｋｇ（ｇ 取１０ｍ／ｓ２）。求： ６１ 　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 图３ ８ 　　 图３ ９ （１）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩； （２）当在秤钩上挂一物体时，将内套筒向右移动５ｃｍ，外套筒相对内套筒向右移动８ｃｍ，杆 秤达到平衡，物体的质量多大？ （３）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在示数为１ｋｇ处杆秤恰好平 衡，则该物体实际质量多大？ 解：（１）套筒不拉出时杆秤恰好平衡，此时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相 等，设套筒长度为Ｌ，合力矩 Ｍ＝２ｍｇ Ｌ ２ －（ ）ｄ ＝０．１２（Ｎ·ｍ）。 （２）称重物时，物体重力的力矩与两套筒右移产生的力矩变化应相等，即 ｍ１ｇｄ＝ｍｇｘ１＋ｍｇ（ｘ１＋ｘ２），得ｍ１＝ ２ｘ１＋ｘ２ ｄ ｍ＝０．９（ｋｇ）。 （３）设正常称量１ｋｇ重物时，内外两个套筒一起向外拉出ｘ′时杠杆平衡，有 ｍ′２ｇｄ＝２ｍｇｘ′，故ｘ′＝ ｍ′２ｄ ２ｍ ＝ ０．１（ｍ）。 外层套筒丢失后称物，此时内套筒左端离秤纽距离为ｘ′－ｄ＝０．０８ｍ，由力矩平衡条件 可得： ｍ２ｇｄ＋Ｍ＝ｍｇ ｘ′－ｄ＋ Ｌ（ ）２ ， 即 ｍ２＝ ｍ ｄ ｘ′－ｄ＋ Ｌ（ ）２ －Ｍｇｄ＝０．２（ｋｇ）。 真题解读 图３ １０ 【例６】　（２００５交大）如图３ １０，一均匀细杆长１ｍ，重量为Ｗ，在距其 上端２５ｃｍ处用一钉子将其钉在铅直墙面上，使细杆可绕此钉子无摩擦地 旋转。今施一水平力于其上端，使细杆偏离铅垂线θ角（θ＜９０°）而平衡，则 钉子作用在细杆上的力的量值为多大？ 解：由三力共点知识可知Ｎ的方向如图３ １１所示。 以钉为轴，Ｗｌｓｉｎθ＝Ｆｌｃｏｓθ； ７１§３　定轴转动物体的平衡　 图３ １１ 其中ｌ＝０．２５ｍ，得水平力Ｆ＝Ｗｔａｎθ；而 Ｎ＝ Ｗ２＋Ｆ槡 ２＝ Ｗ ｃｏｓθ 。 注：本题也可以直接用三力平衡知识解。 巩固练习 １如图３ １２所示，直杆ＯＡ可绕Ｏ轴转动，图中虚线与杆平行。杆的 Ａ端分别受到Ｆ１、Ｆ２、Ｆ３、Ｆ４四个力的作用，它们与ＯＡ杆在同一竖直平面内，则它们对Ｏ点的力 矩Ｍ１、Ｍ２、Ｍ３、Ｍ４的大小关系是（　　）。 ＡＭ１＝Ｍ２＞Ｍ３＝Ｍ４ ＢＭ１＞Ｍ２＞Ｍ３＞Ｍ４ ＣＭ２＞Ｍ１＝Ｍ３＞Ｍ４ ＤＭ１＜Ｍ２＜Ｍ３＜Ｍ４ ２如图３ １３所示，曲臂杠杆所受的重力不计，ＡＯ＝１０ｃｍ，ＯＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，ＡＯ⊥ ＯＢ，ＯＢ⊥ＢＣ，今用细线将Ｏ点悬挂起。ＡＯ呈水平。当Ａ端挂一重为３０Ｎ的物体时，欲使杠 杆连同过Ｏ点的悬线在图示位置平衡，则Ｃ端应施加的最小力为（　　）。 Ａ５０Ｎ Ｂ３７．５Ｎ Ｃ３０Ｎ Ｄ以上答案都不对 图３ １２ 　　 图３ １３ 　　 图３ １４ ３如图３ １４所示，┏型均匀杆总长为３Ｌ，在竖直平面内可绕水平轴Ｏ转动，若在杆的右端 Ａ点加一方向竖直向下的力Ｆ，使杆顺时针缓慢转动。在ＡＢ杆由水平转过９０°的过程中，以下说 法正确的是（　　）。 Ａ力Ｆ不变　 Ｂ力Ｆ变大 Ｃ力Ｆ的力矩变小 Ｄ力Ｆ的力矩先变大后变小 ４如图３ １５所示是一种钳子，Ｏ是它的转动轴，在其两手柄上分别加大小恒为Ｆ、方向相反 图３ １５ 的两个作用力，使它钳住长方体工件Ｍ，工件的重力可忽略不 计，钳子对工件两侧的压力大小都为Ｎ。若加一沿虚线方向 的力拉工件，则以下说法中正确的是 （　　）。 Ａ向左拉工件时压力Ｎ将增大 Ｂ向右拉工件时压力Ｎ将增大 Ｃ要将工件拉出，向左拉比向右拉容易 Ｄ要将工件拉出，向右拉比向左拉容易 ８１ 　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 图３ １６ ５Ａ、Ｂ为相同的两物块，如图３ １６所示铰接于Ｍ、Ｎ、Ｐ三处。 Ｍ、Ｎ在同一水平面上，Ａ、Ｂ的重量不计。顶边水平，且各长３ｍ；侧边 竖直，高４ｍ。今在Ｂ的右边中点处加一水平力Ｆ＝３６Ｎ，那么，Ｂ对 铰链Ｐ的作用力的大小为（　　）。 Ａ１８Ｎ Ｂ１５Ｎ Ｃ１２Ｎ Ｄ以上答案都不对 ６如图３ １７所示，ＡＢＣＤ是一个Ｔ型固定架，已知ＡＢＣ部分是质量Ｍ＝１０ｋｇ的匀质硬木 杆，且ＡＢ＝ＢＣ。ＢＤ部分是质量Ｍ′＝５ｋｇ的匀质木杆，且ＢＤ＝０．６ｍ，Ｄ与地面的摩擦足够大， 木杆与地面的交角为３７°。今用水平力Ｆ＝１００Ｎ施于质量ｍ＝５ｋｇ的小钢块上，小钢块与木杆间的 动摩擦因数μ＝０．１５，ｇ＝１０ｍ／ｓ２。求小钢块运动到木杆上何处时，Ｔ型固定架开始转动？ ７如图３ １８所示，铁夹两臂ＮＯＰ、ＭＯＱ的轴心为Ｏ，Ｐ、Ｑ两端夹一重物Ａ，Ｍ、Ｎ两端系 在一根绳子上，用竖直向上的力Ｔ作用在绳子中点Ｂ处，通过铁夹提起重物Ａ，此时Ｐ、Ｑ间的宽 度为２ａ，Ｏ到ＰＱ中点的距离为４ａ，ＯＭ＝ＯＮ＝２ａ，∠ＭＢＮ＝１２０°，∠ＢＭＯ＝∠ＢＮＯ＝９０°， 若绳和铁夹的重力不计，求铁夹和重物间的最大静摩擦系数μ０至少多大时才能提起重物？ 图３ １７ 　 图３ １８ 　 图３ １９ 　 图３ ２０ ８如图３ １９所示，长度为ｌ的相同长方形木块堆放在水平地面上，且每一块都相对下面一 块伸出ｌ ｍ （ｍ≥２），问最多能堆放几块而不翻倒？ ９如图３ ２０，ＡＢ棒与ＢＣ棒用光滑的铰链铰在Ｂ点，Ａ、Ｃ也用光滑的铰链铰于墙上。ＢＣ 棒水平，ＡＢ棒与竖直线成４５°，两棒等长等重，每根棒重Ｇ＝１０Ｎ。求两棒在Ｂ点的相互作用力。 图３ ２１ １０轻质杆下端与一个半径为Ｒ，重为ＧＡ的重球Ａ相接，杆的上端可绕Ｏ 点自由转动，ＯＣ的长度是Ｌ，在Ｏ点还系有一条绳子，绳子的下端拴一个重为 ＧＢ的小球Ｂ，如图３ ２１所示。当整体平衡时，杆的方向与竖直方向的夹角 多大？ １１圆桌面由三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑着，桌腿重量忽略 不计。某人坐在正对一条桌腿的圆桌边缘上，恰好使圆桌以另两条桌腿着地 点的连线为轴而倾倒，圆桌倾倒后，他再坐到桌面的最高点上，恰巧又能使圆 桌恢复过来。求桌面半径与桌腿长度之比。 ９１§３　定轴转动物体的平衡　 §４　一般物体的平衡 知识归纳 　　一、一般物体的平衡 １受任意的平面力系作用下的一般物体平衡的条件是作用于物体的平面力系各力的矢量和 为零，对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零，即∑Ｆ＝０，∑Ｍ＝０。 将力向ｘ、ｙ轴投影，得平衡方程的标量形式： ∑Ｆｘ＝０，∑Ｆｙ＝０，∑Ｍｚ＝０（对任意ｚ轴）。 ２平衡方程的另两种形式： （１）若在平面内选择两参考点Ｏ和Ｏ′，平衡方程也可用一个力系平衡方程和两个力矩平衡 方程表示：∑Ｆｘ＝０，∑Ｍｚ＝０，∑Ｍｚ′＝０。 其中Ｏ与Ｏ′的连线不可与ｘ轴垂直，否则方程不独立。 （２）还可以在力的作用平面内选三个参考点Ｏ、Ｏ′和Ｏ″，写出三个力系对Ｏｚ、Ｏ′ｚ、Ｏ″ｚ三轴的 力矩平衡方程： ∑Ｍｚ＝０，∑Ｍｚ′＝０，∑Ｍｚ″＝０。 这里Ｏ，Ｏ′，Ｏ″三点不能在同一直线上，否则方程不独立。 　　二、物体平衡的种类 图４ １ １当物体只在重力和支持力作用下处于平衡时，例如，一个均匀 圆锥体，将它底面朝下或锥顶朝下放在水平桌面上（图４ １所示），二 者所处的平衡情况不同。锥顶朝下时，从理论上讲，应该存在着平衡的 情况，但实际上很难做到；即使达到平衡后，由于受到其他的微扰作用， 也会立即倒下。而锥底朝下很容易实现平衡，即使它稍稍偏离开平衡 位置，由于重力的作用，也会回到原来的平衡位置。因此，前者的平衡 是不稳定的，后者的平衡是稳定的。据此可判断物体平衡的种类。 ２判断平衡是否稳定，还可看偏离平衡位置的物体重心是升高了，还是降低了。如果偏离平 衡位置后，重心升高了，那么在重力和支持力的使用下，物体会回到原来的平衡位置，这种平衡是 稳定平衡；如果偏离平衡位置后重心降低了，则在重力和支持力的作用下，物体不会回到原来的 ０２ 　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 平衡位置，这种平衡就是不稳定平衡；如果偏离原平衡位置后重心的高度不变，物体仍能处于平 衡，则这种平衡叫做随遇平衡。图４ ２中画出具有支点的小球的平衡情况：（ａ）是稳定平衡， （ｂ）是不稳定平衡，（ｃ）是随遇平衡。 图４ ２ 　　三、稳度 处于稳定平衡的物体，靠重力矩保持和回复原来平衡位置的能力，就叫做稳度。从稳定平衡 的机理不难推知，降低重心高度、加大支持面的有效面积都能提高物体的稳度；反之，就能降低物 体的稳度。所谓“支持面的有效面积”，就是支持面在水平面上投影的面积。同一支持面，对水平 面的倾角越大，其有效面积就越小。 方法总结 恰当选取研究对象和转轴。 【例１】　如图４ ３所示，线筒用线挂于墙上，质量为Ｍ，小轴半径为ｒ，大圆半径为Ｒ，线筒与 墙的动摩擦因数为μ，线与墙面的夹角为α，此时线的张力Ｔ为多大？若欲使线筒不从墙面上滑 下来，α必须大于多少？ 图４ ３ 　　　　　　 图４ ４ 解：线筒受线拉力Ｔ，重力Ｍｇ，墙面Ｏ点处弹力Ｎ 和摩擦力ｆ作用，如图４ ４所示，静止时 所受合力为零，合力矩为零，则 水平方向：Ｔｓｉｎα０－Ｎ＝０； 竖直方向：Ｔｃｏｓα０＋μＮ－Ｍｇ＝０。 １２§４　一般物体的平衡　 以Ｏ为支点：Ｔ（Ｒｃｏｓα０＋ｒ）－ＭｇＲ＝０； 由上式得Ｔ＝ ＭｇＲ Ｒｃｏｓα０＋ｒ 。 解得α０＝ａｒｃｓｉｎ ｒ Ｒμ ，则α＞α０时才能保持平衡。 利用对称关系巧妙求解。 【例２】　三根重均为Ｇ、长均为ａ的相同均匀木杆（其直径ｄａ）如图４ ５对称地靠在一起， 图４ ５ 三木杆底端间均相距ａ，求：（１）Ａ杆顶端所受作用力的大小和方向； （２）若有一重为Ｇ的人坐在Ａ杆中点处，则Ａ杆顶端所受作用力的大小 和方向又如何？ 解：（１）各杆在顶端受力根据对称性和作用力反作用力原则，方向一 定水平且在该杆的竖直平面内。Ａ杆受力如图４ ６（ａ）所示。Ａ杆平衡 时，以ａ为支点力矩方程为：Ｇ·ａ ２ ｃｏｓα＝Ｆａｓｉｎα。 其中α为Ａ杆和底面夹角，ｃｏｓα＝ 槡３ ３ ，ｓｉｎα＝ 槡６ ３ ，ｔａｎα＝槡２，如图４ ６（ｂ）所示。 由Ｇ·ａ ２ ·槡３ ３ ＝ＦＡａ· 槡６ ３ 得ＦＡ ＝ 槡２ ４ Ｇ。 （２）Ａ杆中点加Ｇ后，对称被破坏，设Ａ杆顶端受力水平方向为Ｆ１，竖直方向为Ｆ２，如图４ ６（ｃ）所示。由于Ｂ、Ｃ仍对称，Ｂ杆顶端受力如图４ ６（ｄ）所示。 Ｂ杆力矩平衡：Ｇ·ａ ２ ｃｏｓα＝Ｆ１ａｓｉｎα－ １ ２ Ｆ２ａｃｏｓα； Ａ杆力矩平衡：２Ｇ·ａ ２ ｃｏｓα＝Ｆ１ａｓｉｎα＋Ｆ２ａｃｏｓα。 得Ｆ２＝ １ ３ Ｇ，Ｆ１＝ 槡２ ３ Ｇ，ＦＡ ＝ Ｆ２１＋Ｆ槡 ２２＝槡３３Ｇ ，与竖直方向夹角θ＝ 槡ａｒｃｔａｎ ２。 图４ ６ 利用几何知识确定平衡问题———很多时候可以把平衡问题演变为纯粹的几何问题。 【例３】　半径为ｒ的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均匀棒斜靠在碗边缘，棒的一端在 碗内，另一端在碗外，如图４ ７所示。已知碗内部分的长度为ｌ，求棒的全长ｌ０。 ２２ 　名牌大学自主招生同步辅导　高中物理　上册 解：棒受三个力ＮＡ、ＮＢ和ｍｇ作用并处于平衡状态，则三力必交于一点，记为Ｅ，如图４ ７ 所示。由于ＮＢ垂直于ＡＢ，故Ｅ必在圆周上。 图４ ７ ＢＥ＝ ＡＥ２－ＡＢ槡 ２＝ ４ｒ２－ｌ槡 ２， ＣＢ ＢＥ＝ ｔａｎα＝ ＢＥ ＡＢ＝ ＢＥ ｌ ， ＣＢ＝ ＢＥ２ ｌ ＝ ４ｒ２－ｌ２ ｌ 。 所以ｌ０＝２（ＡＢ－ＢＣ）＝２ｌ－ ４ｒ２－ｌ２（ ）ｌ ＝４ｌｌ ２－２ｒ２ ｌ２ 。 利用微元法求线中张力———一般会用到一些小量的近似关系，如α很小时，ｓｉｎα＝ｔａｎα＝α， ｃｏｓα＝１，ｘ１时，（１＋ｘ）ｎ＝１＋ｎｘ等。 【例４】　如图４ ８所示，静止的圆锥体竖直放置，顶角为α。质量为ｍ且分布均匀的软绳水 平地套在圆锥体上，忽略软绳与圆锥体之间的摩擦力。试求软绳中的张力。 解：取软绳中Δｌ长微元段分析其受力如图４ ９所示。其中Ｔ为软绳中的张力，Ｎ为圆锥体 对微元段的支持力。 微元段重量：Δｍｇ＝Ｎｓｉｎα２ 。 图４ ８ 　 图４ ９ 　 图４ １０ 软绳微元段俯视受力如图４ １０所示，满足 ２Ｔｓｉｎ Δφ（ ）２ ＝Ｎｃｏｓ α（ ）２ 。 因Δφ很小，ｓｉｎ Δφ（ ）２ ＝Δφ２，得 ＴΔφ＝Ｎｃｏｓ α（ ）２ 。 而Δｍ＝ｍ Δ ｌ ２πＲ ＝ｍΔφ ２π ，由此得 Ｔ＝ ｍｇ ２πｔａｎ α（ ）２ 。 ３２§４　一般物体的平衡　 利用虚位移法确定力的大小———借助能量守恒知识处理静力学问题。 图４ １１ 【例５】　如图４ １１所示，一个半径为Ｒ的四分之一光滑球面放置在 水平桌面上。球面上置一光滑均匀铁链，其Ａ端固定在球面的顶点，Ｂ端 恰与桌面不接触，单位长度质量为ρ。试求铁链Ａ端所受的拉力以及铁链 所受球面的支持力的合力。 解：设想在Ａ处将软绳缓慢拉过ｘ （ｘ→０），由于球面对软绳各处的 支持力都沿半径向外，故拉动过程中只有Ａ端拉力Ｔ 和软绳重力做功。 同时软绳重力势能的变化情况等同于将软绳最下端一小段ｘ段移至柱面的最高处，而其余部分 重力势能可当作不变。 故Ｔｘ＝ΔｍｇＲ，其中Δｍ＝ｘρ，得Ｔ＝ρｇＲ。 软绳受三个力作用，铁链受球面的支持力Ｎ为：Ｎ＝ Ｔ２＋（ｍｇ）槡 ２＝ １２ρｇＲ π ２＋槡 ４。 注：本题也可以用微元分析法得到结果。 平衡种类的判断。 图４ １２ 【例６】　一根质量为ｍ、长为Ｌ的均匀杆处于竖直的位置，其一端可 绕固定的水平轴转动。有两根劲度系数相同的水平弹簧把杆的上端拴 住，且当杆竖直时两侧弹簧的伸长量相同，如图４ １２所示。问弹簧的劲 度系数ｋ为何值时才能使杆处于稳定平衡？ 解：设弹簧原来的伸长量为ｄ，杆偏微小角度θ后，弹簧的变化量为 Δｘ，并注意到因为偏移量小，弹簧仍可视为水平。由图可以看出：两根弹 簧合力的力矩要大于重力