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实数集的连续性

2009-12-20 5页 pdf 158KB 103阅读

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is_479029

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实数集的连续性
����� ���������� � § 6.1 ���������� � ��� § 6.1.1 ��������������� ��� (Dedekind ��ff�fi � ) fl A,B ffi��� �!�"�#�$�%�&('�)�* 1◦ A∩B = φ; 2◦ A∪B = R; 3◦ +�, a ∈ A - b ∈ B, .�/ a < b. 0 A /�1�2�$�3 B 4�1�5�$�6 7 A 4�1�2�$�3 B /�1�5�$�8 9;:�<>=;? &A@�B�CEDGF� �-�H�I�J�K�L�M ( H�N�O�P�QR������������S�T ��� ). U�N�V�W ��� → ��� 1 → ��� 2 → ��� 3 → ��� 4 → ��� 5 → ��� K�X�Y�Z�[�CED\8 ��� 1( ]�^�_ < ) fl E ffi�!�"�/�` ( a ) ^�K�#�$�%�8b0 E /�` (a ) ]�^�8 ��� 2 fl {an} ffi�c�d�/�^�$�e�&f0 {an} g�h�8 ��� 3 ( i�j�k�l � ) fl�mEn�o�pfe {In = [an, bn]} '�)�* 1 ◦ In ⊃ In+1; 2 ◦ lim(bn − an) = 0. 0�q�/�r�m x0 s�t�u /Eo�p In (n ≥ 1). i�j�k�l ��v�w�x�y�z *f{}| {In} z�~� i�j�k�&f€� ∞⋂ n=1 In = {x0} . ��� 4 ((Bolzano-Weierstrass ‚�ƒ�� ) fl {an} ffi�/�^�$�e�&„0�H�q}/�g�h�… e�8 ��� 5 (Cauchy †�€ ) $�e {an} g�h�K�‡�ˆ�q�‰�Ł�‹}ffi +}, ε > 0, / n0 ∈ N, Œ� m,n > n0 Ž / |am − an| < ε.  $�e { an = 1− 1 2 + · · ·+ (−1) n−1 1 n } g�h�8 1  +�, p ∈ N .�/ |an+p − an| = ∣∣∣∣ 1n + 1 − 1 n + 2 + · · ·+ (−1)p−1 1 n + p ∣∣∣∣ . ‘ 1 n + 1 − 1 n + 2 + · · ·+(−1) p−1 1 n + p ’ ��“�”�•�–�&A0�—�˜�™ = ’ �”�š�›�K�œ .�ffi��K�ž ‘�Ÿ m}“ 1 n + 1   = –�&¡B�¢�K ’ ��“}”�•}–�&£0 ’ �”}š�›�K}œ�. ffi�¤�K�8 u B�4�¥ p ffi�¦�$�§�ffi�¨�$�.�/ 0 < 1 n + 1 − 1 n + 2 + · · ·+ (−1)p−1 1 n + p < 1 n + 1 , ©\ª 0 < |an+p − an| < 1 n + 1 .  n ‡�ˆ�2 Ž & 1 n + 1 < ε. «�/ n0 ∈ N,  n > n0 Ž�¬ +�­ p ∈ N / |an+p − an| < ε. ® {an} ffi�¯�°�e�&f«�g�h�e�8 � ±�² U�N�‰�W�L�M 5 –�CED :�< &f³�3�´�µ}¶�·}¸�L}M}K�I}J�¸}K}CEDG8  fl A,B ffi}'}) :}<º¹f» ¼Ł¼‹¼K¼#½$¼%¼8¿¾Àn¼o¼p I0 = [a0, b0] Œ a0 - b0 ˆ�Á ² A - B ¹ &ÃÂ�Ä>o�pGP�Q�}0Eo�pG8¡H�K ¹\Å}Æ�Ç ˆ}µ�È� ºo�p\& Ǻ¹ q}/}m} ½ffi¼¼0¼K½&¿É¼µ I1 = [a1, b1]. Ê}Ë}`}Ì}K}ͼν&¿@¼Ï¼m¼e½¼0Ào p {In = [an, bn]}. a}Ì}CºD {an}, {bn} ffi Cauchy e}8 +}, ε > 0, / n0 ∈ N, Œ bn0 − an0 = b− a 2n0 < ε, t ffi� n > n0 Ž & ¬ +�­ p ∈ N .�/ an0 ≤ an ≤ an+p < bn+p ≤ bn ≤ bn0 . u B�/ 0 ≤ an+p − an, bn − bn+p < ε. « {an}, {bn} .�ffi Cauchy e�& 9 L�M 5 @�Ð�& {an}, {bn} /�Ñ�Ò a - b. Ó 9 t b− a = lim(bn − an) = 0 u B a = b = α. Ô�Õ α ∈ A, © Q bn ∈ B, u B bn 2 t A ¹ +�Ö $�&f3 α = lim bn, ® α ffi A ¹ 1�2�$�8f Ž B ¹ 4�1�5�$�& © Q Ô B /�1�5�$ β, 0 β > α. t ffi (α, β) ¹ K�$�×�Ø ² A ¹ &fÙ�Ø ² B ¹ &fÚ A ∪B = R Û�Ü�Ý�8 2 Þ�ß @�C�& Ô�Õ α ∈ B, 0 α ffi B ¹ 1�5�$�&fà A 4�1�2�$�8 � § 6.1.2 á�â�ã���ä� � ��å��}æ�ç}è U�N Æ�é WEê\Ð�ë�Kíì R = î�ï�ð�ñ�ò�4�ó�5�$�ôf–}õ}ö}#�$}%�8 ÷�ø &fm� �ð}ñ}ò}4}ó¼5}$ x0 = a0.a1 · · · an · · · #�ù�`�ffi�m�e}/}ó¼ð}ñ}5}$ {αn}, ÇE¹ αn = a0 · a1 · · · an. H�ffi�m� �c�d�ú�û�3�/}`�^ a0 + 1 K�$�e�& ® ffi�g h�K�8 Ç Ñ�Ò}ü�ý}þ�µ}4�ó}5�$ x0 = a0.a1 · · · an · · ·. u B�ð�ñ�ò�4}ó}5�$�]}#�ffi #�$�8 Ç [�&„§�‰�ßED\ð}ñ�ò�5�$}î�ï�õ�µ}K�%�������¶�·�¸}8 9 t I�J�¸�&���� CED\F� �L�M ¹ K + m} �ü��� }8 § 6.2 �� � ����� �� l � 1 ( ���l � ) fl f(x) ² [a, b] ¶�·�& f(a)f(b) < 0. 0�q�/ c ∈ (a, b) Œ f(c) = 0.  Ø���fl f(a) < 0, f(b) > 0. ¾ E = {x| x ∈ [a, b], f(x) > 0}. © Q E !�"�/�^�& ® /�a�]�^}8Gfl inf E = c. a�Ì�CED f(c) = 0. 9 c K ý þ @ Ð & ² [a, c) ` & f(x) ≤ 0. u B 9 ¶ · ¸�@�Ð f(c) = f(c−0) ≤ 0. Ó © Q c ffi E K}1}2}a}^}& ® ¬ +¼­ n ∈ N, c + 1n ؼffi E K}a}^}& u B}q¼/ c ≤ xn < c + 1 n Œ f(xn) > 0, 9 ¶}·}¸}@}Ð f(c + 0) = lim f(xn) ≥ 0. ©Gª q}/ f(c) = 0. � l � 2 ( ����l � ) fl f(x) ² [a, b] ¶�·�&f0 f(x) ��¾�� f(a) Ú f(b) �Ep K +�Ö œ�8  fl f(x) ² o�p I `�¶�·�8���C�* J = f(I) Ù�ffi�m� Eo�p\8  fl inf J = a (≥ −∞), supJ = b (≤ +∞). � a = b, 0 J ffi�m� ����� �K>o�p (� Å % ). a�Ì�ff�fl a < b. +�, a < c < b, 9 a, b K�ý�þ�@�Ð�&fq�fi ² a1, b1 ∈ J Œ a ≤ a1 < c < b1 ≤ b. 9ffifl œ�ý < @�Ð f(x) q�¾�� a1, b1 �>p;K u /�œ�& u B�/ x0 ∈ I Œ f(x0) = c, « 3 c ∈ J . ©\ª (a, b) ⊂ J . Ó��� �/ [a, b] ⊃ J .  b(6 a) Ù ² J ¹ &f« f(x) ¾���1 2 ( 6�1�5 ) œ Ž &¼o�p\/�Û�!�K�"EnG¸}8�#}0 J = (a, b) �. l � 3( $���l � ) fl f(x) ² [a, b] ¶�·�&Ã0 f(x) ² [a, b] ¾���1�2�œ�-}1�5 œ�8 l � 4 fl f(x) ² [a, b] `�¶�·�&f0 f(x) ² [a, b] m�%�¶�·�8 §6.3 & ' ( ) Ú�*�ˆ�/�+�K�,�-�*fˆ�.}& Riemann -�&f`�-�&fa�-�&f`�*�ˆ}&¿a�*�ˆ §6.3.1 ����/���� w�0 � fl f(x) ² [a, b] ¶�·�8 9 f(x) K�m�%�¶�·�¸}@�Ð}& +�, ε > 0, fi ² δ > 0,  ‖T‖ < δ Ž�¬ i = 1, 2, · · · , n .�/ 0 ≤ Mi −mi < ε b− a , t ffi�Ï�� 0 ≤ S¯(T )− S (T ) = n∑ i=1 (Mi −mi)∆xi < ε. u B lim ‖T‖→0 (S¯(T )− S (T )) = 0. 9 ª�1 —�˜�2�3�!�/ I¯ = I = I = ∫ b a f. l � 1 fl T ′ ffi 9 T 4�û l �ˆ Å u µ�K�ˆ�.�&f0}/ S (T ) ≤ S (T ′) ≤ S (T ) + lω‖T‖, S¯(T ) ≥ S¯(T ′) ≥ S¯(T )− lω‖T‖. l � 2 fl T1 5 T2 ffi [a, b] K��� �ˆ�.�&f0�/ S (T1) ≤ S¯(T2). l � 3 I¯ ≥ I. §6.3.2 w�0 /�� l � 4 Ô�Õ I¯ = I = I, 0 f(x) ² [a, b] @�*�&�6�/ ∫ b a f = I. 4 l � 5 � f(x) ² [a, b] @�*�& 0 ¬ +�Ö ε > 0, /�ˆ�. T Œ S¯(T )−S (T ) < ε. l � 6 � ¬ +�, ε > 0, /�ˆ�. T Œ S¯(T )− S (T ) < ε, 0 I¯ = I. l � 7 f(x) ² [a, b] @�*}K}‡}ˆ}q}‰}Ł¼‹¼ffi¼* +¼, ε > 0, fi ² ˆ�. T , Œ S¯(T )− S (T ) = n∑ i=1 ωi∆xi < ε. 7�8 1 fl f(x) ² [a, b] /�^�&fà�9�/}/}Ò;:} ºp�< Å &¿0 f(x) ² [a, b] @ *�8�=�Á�& � f(x) ² [a, b] ¶�·�&f0 f(x) ² [a, b] @�*�8 7�8 2 � f(x) ² [a, b] c�d�&f0 f(x) ² [a, b] @�*�8 §6.3.3 0 ������> l � 8 � f(x) ² [a, b] @�*�&f0 |f(x)| ² [a, b] @�*�8 l � 9 fl f(x) - g(x) ² [a, b] @�*�&f0 f(x)g(x) ² [a, b] @�*�8 l � 10 � f(x) ² [a, b] @�*�&f0 ¬ +�­ a ≤ c < d ≤ b, f(x) ² [c, d] @�*�8 l � 11 fl f(x) ² [a, c] - [c, b] `�@�*�&Ã0 f(x) ² [a, b] @�*�&?6�/ ∫ b a f =∫ c a f + ∫ a c f. l � 12 fl f(x) ² [a, b] @�*�& g(x) ² [a, b] !�¤�c�d�@�&¿0}q}/ ξ ∈ [a, b] Œ ∫ b a fg = g(a) ∫ ξ a f. 7�8 1 � f(x) ² [a, b] @�*�& g(x) ² [a, b] c�d�&f0�q�/ ξ ∈ [a, b] Œ ∫ b a fg = g(a) ∫ ξ a f + g(b) ∫ b ξ f. 7�8 2 � f(x) ² [a, b] @�*�& g(x) ² [a, b] !�¤�c�d�ú�& 0�q�/ ξ ∈ [a, b] Œ ∫ b a fg = g(b) ∫ b ξ f. ý < 12 -�H�K�A�¥�B�P�Q 0 ��C�DFEG��l � , ÇE¹ K :�HFI Bonnet ��J . 5
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