常微分方程第三章考试卷2

常微分方程第三章测试试卷(2) 班级________姓名_______学号_______成绩________ 1、 填空题 （24分） 1、 设 是方程 是方程的定义于区间 上的解，问它满足初始条件 的解的充要条件是_______________________。 2、 如果存在常数 ，使得不等式 对于所有 都成立，则称函数 _______________， 称为_____________。 3、 设 是积分方程 的定义于区间 上的一个连续解，则有 与 的关系是___________________________。 4、 若函数 以及 都在区域 内连续，则方程 的解 作为 的函数在它的存在范围内是___________。 5、 若方程 的右端为 的多项式且在系数 连续， 有界的区域内，方程没有奇解，从而说明__________和___________均无奇解。 6、 对于克来洛方程来说，____和方程通解的 -判别曲线都是方程的包络，从而为方程的奇解。 2、 计算（14+18+16+16分） 1、 利用存在唯一性定理推出已给方程具有唯一解的区域。 （1）、 （2）、 2、求方程下列方程的奇解。 （1）、 （2）、 （3）、 3、设方程 中，如果 a)、原始条件 ，原始区域 ： ，试求存在区间，并于 之外，再求三个进似 。 b)、原始条件 ，原始区域 ： 试求存在区间，并于 之外，再求 ，给出真解与第二近似的误差估计。 4、在区域 ： 内，关于初值问题 （1） 确定在逐步逼近法中所得到的最大定义区间（不经延展）； （2） 求出这个解，确定此解本身的最大定义区间。 3、 证明题 （24分） 1、 设函数方程 中， 在矩形 上连续， 。 试用存在唯一性定理证明此函数方程在楼区间内存在一解 ，并且 . 2、 设方程 的右端函数 在整个 平面上连续可微且 . 求证：若方程的非常数解 ， 当 时趋于 ，则 或 . 4、 附加题 （10分） 求这样的曲线，使其任一点的切线到两已知点的距离的乘积为一常数。 常微分方程第三章测试试卷(2)参考答案 一、填空题 1、 是积分方程的定义于 的连续解 2、在 上关于 满足利普希茨条件，利普希茨常数 3、 4、可微连续的 5、一阶线性方程，黎卡体方程 6、 -判别曲线 二、计算 1、（1）解：因为 所以满足普希茨条件 又 因此唯一解区间是全平面 （2）、解：由于 在 上 破坏了普希茨条件， 且 ； 所以 又因为当 经过 时 变号， 所以在 上解不唯一。 2、（1）、解：方程右端 内连续， 在直线 上为无穷大 显然 为方程的解， 可以看出在直线 上的每一点， 有通解 中的一条曲线与它们相切， 所以 为方程的奇解 （2）、解：容易求得通解为 从 中消去 ， 得 -判别曲线为 检验得： 为方程的奇解 （3）、解：从 中 消去 得到 即 -判别曲线为 检验得： 为方程的奇解 3、 解：a)、因为 故 所以 EMBED Equation.3 又 所以 区间为 b)、因为 故 所以 区间 4、 解：由题意知 故 （1） 所以最大定义区间为 （2） 因为 解得： 又 故有 所以这个方程的解是 且此解的最大定义区间为 三、证明题 1、证：作微分方程 -----------（*） 因为 所以存在 的某一领域 ： 使得 因此，方程（*）的右端在 内连续 由存在唯一性定理可知： 方程（*）有满足初始条件 .的解 ， 且此解的定义区间为 其中 我们再来证明 就是函数方程在 上满足方程条件 的解， 事实上，由恒等式 得出 因此 从 得到 则 当 时， 成立。 2、证：因为 在全平面连续可微， 所以方程适合初始条件的解是唯一的， 现用反证法证明。 如果 或 ，且 则方程有非常数解 适合初始条件 ； 另一方面： 由 可知方程还有一初始条件的 常数解 这就与唯一性相矛盾 因此假设不成立，原命题成立。 四、附加题 1、 设两已知点为 且在曲线的两侧 故点 处的切线为 点 到切线的距离为 点 到切线的距离为 由 得到的微分方程 通解为 这是一直线族，为了得到所求的曲线，可求出通解的包络（即奇解）为 （其中 ） 当 和 分别位于曲线的两侧时， 用 换 即求得的曲线 （其中 ） _1164178224.unknown _1164185866.unknown _1164187412.unknown _1164188027.unknown _1164189051.unknown _1164189572.unknown _1164189739.unknown _1164189801.unknown _1164189936.unknown _1164189937.unknown _1164189935.unknown _1164189786.unknown _1164189589.unknown _1164189300.unknown _1164189352.unknown _1164189480.unknown _1164189315.unknown _1164189288.unknown _1164188574.unknown _1164188886.unknown _1164189001.unknown _1164188667.unknown _1164188344.unknown _1164188373.unknown _1164188331.unknown _1164187880.unknown _1164187964.unknown _1164187993.unknown _1164187908.unknown _1164187641.unknown _1164187741.unknown _1164187553.unknown _1164186686.unknown _1164187049.unknown _1164187183.unknown _1164187358.unknown _1164187093.unknown _1164186788.unknown _1164187021.unknown _1164186736.unknown _1164186035.unknown _1164186197.unknown _1164186620.unknown _1164186089.unknown _1164185968.unknown _1164186005.unknown _1164185921.unknown _1164179667.unknown _1164180570.unknown _1164180859.unknown _1164185518.unknown _1164185619.unknown _1164185478.unknown _1164180753.unknown _1164180837.unknown _1164180621.unknown _1164180165.unknown _1164180255.unknown _1164180274.unknown _1164180508.unknown _1164180234.unknown _1164179857.unknown _1164180005.unknown _1164179767.unknown _1164179110.unknown _1164179561.unknown _1164179596.unknown _1164179643.unknown _1164179590.unknown _1164179282.unknown _1164179495.unknown _1164179207.unknown _1164178772.unknown _1164178911.unknown _1164179083.unknown _1164178839.unknown _1164178609.unknown _1164178727.unknown _1164178553.unknown _1164166419.unknown _1164168194.unknown _1164169361.unknown _1164169732.unknown _1164169758.unknown _1164170262.unknown _1164170145.unknown _1164170261.unknown _1164169746.unknown _1164169593.unknown _1164169663.unknown _1164169546.unknown _1164169018.unknown _1164169263.unknown _1164169333.unknown _1164168500.unknown _1164168622.unknown _1164168831.unknown _1164168487.unknown _1164167876.unknown _1164168071.unknown _1164168120.unknown _1164168166.unknown _1164167935.unknown _1164168028.unknown _1164167274.unknown _1164167423.unknown _1164167622.unknown _1164167650.unknown _1164167480.unknown _1164167316.unknown _1164166556.unknown _1164166767.unknown _1164166450.unknown _1164135446.unknown _1164137748.unknown _1164166104.unknown _1164166336.unknown _1164166370.unknown _1164166156.unknown _1164166015.unknown _1164166026.unknown _1164165986.unknown _1164136533.unknown _1164137353.unknown _1164137418.unknown _1164136728.unknown _1164136402.unknown _1164135454.unknown _1164135809.unknown _1164134398.unknown _1164135009.unknown _1164135154.unknown _1164135226.unknown _1164135091.unknown _1164134671.unknown _1164134835.unknown _1164134641.unknown _1164133873.unknown _1164134107.unknown _1164134239.unknown _1164134062.unknown _1164134031.unknown _1164133597.unknown _1164133806.unknown _1164133542.unknown