2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试题与参考解答

第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答 一、 1. 2. (答 也给) 3. T 二、参考解答： 1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离） 与 的算术平均值，即有 (1) 代入数据得 km (2) 椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 (3) 代入数据得 (4) 椭圆的偏心率 (5) 代入数据即得 (6) 2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以 和 分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 (7) 式中 是地球质量， 是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有 (8) 注意到 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 (10) EMBED Equation.DSMT4 (11) 当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有 由(11)式并代入有关数据得 km/s (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度 km，但新轨道近地点高度 km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 km/s (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为t，有 (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 t= (约2.5分) (15) 这比运行周期小得多. 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小， 表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 (16 ) 其中 （17） 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故 是恒量.利用远地点处的角动量，得 (18) 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 (19) 所以卫星沿轨道运动的周期 (20) 由(18)、(19)、(20) 式得 (21) 代入有关数据得 s (约15小时46分) (22) 注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即 若 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有 得 从而得 代入有关数据便可求得(22)式. 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 (23) 这里 是卫星绕月轨道半径， 是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得 (24) 代入有关数据得 (25) 三、参考解答： 足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线； 为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线 的夹角表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角表示如图.以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角的大小. 以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有 (1) (2) 式中 、 、 和 分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有 (3) 由（1）、（2）、（3）式得 (4) 根据恢复系数的定义有 （5） 因 （6） （7） 由（4）、（5）、（6）、（7）各式得 （8） 由图可知 （9） 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有 (10) 在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时 .由（9）式得 (11) 因足球是沿水平方向射到横梁上的，故 ，有 (12) 这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置 所满足的方程.解（12）式得 (13) 代入有关数据得 (14) 即 (15) 现要求球落在球门线内，故要求 (16) 四、参考解答： 1. 当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当B处的温度为T 时，压力表显示的压强为 p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为 (1) (2) 式中R为普适气体恒量.因 (3) 解（1）、（2）、（3）式得 (4) 或 (5) (4)式表明， 与 成线性关系，式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压强，作 对 的图线，就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强p0，故至少还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T与p之间的关系式. 2. 若蒸气压温度计测量上限温度 时有氢气液化，则当B处的温度 时，B、M 和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数 （6） 假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数为 （7） 在（7）式中，已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为 （8） 根据要求有 （9） 解（6）、（7）、（8）、（9）各式得 (10) 代入有关数据得 (11) 五、答案与评分： 1． (3分) 2 (2分) 2．如图(15分.代表电流的每一线段3分，其中线段端点的横坐标占1分，线段的长度占1分，线段的纵坐标占1分) 六、参考解答： 如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间 内电流通过线圈因发热而损失的能量为 （1） 以表示铅的电阻率，S表示铅丝的横截面积，l 表示铅丝的长度，则有  （2） 电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有  （3） 所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度I，即电流变化的上限为 .由于导电电子的数密度 是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变为 v-v，对应的电流变化 （4） 导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为 （5） 由于I<