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第5章正弦交流电路前面已介绍了直流电路，直流电路中的电压和电流的大小和方向都不随时间变化，但实际生产中广泛应用的是一种大小和方向随时间按一定规律周期性变化且在一个周期内的平均值为零的周期电流或电压，叫做交变电流或电压，简称交流，如果电路中电流或电压随时间按正弦规律变化，叫做正弦交流电路。一般所说的交流电指正弦交流电。本章的主要内容有：正弦量的基本概念及示，交流电路中基本元件的特性，阻抗的串、并联，一般交流电路的分析，交流电路的功率、功率因数等。5．1正弦交流电的基本概念5．1．1正弦交流电的特征1.频率与周期以电流为例,图5-1为正弦电流的波形,它表示了电流的大小和方向随时间作周期性变化的情况。图5-1正弦交流电流波形所谓周期,就是交流电完成一个循环所需要的时间,用字母Ｔ表示,单位为秒。如图5-1所示。单位时间内交流电变化所完成的循环数称为频率,用表示，据此定义,频率与周期值互为倒数，即（5-1）频率的单位为1／秒,又称为赫兹[Hz],实际中常用的单位还有kHZ、MHz及GHz等，它们的关系为1kHz(千赫)=103Hz，1MHz(兆赫)=106Hz，1GHz(吉赫)=109Hz。相应的周期单位为:ms(毫秒)、μs(微秒)、ns(纳秒)。工程实际中,往往也以频率区分电路,例如:高频电路、低频电路。我国和世界上大多数国家,电力工业的频率即所谓的“工频”是50Hz,其周期为0.02s,少数国家（如美国、日本）的工频为60Hz。在其它技术领域中也用到各种不同的频率。声音信号的频率约为20～20000Hz，广播中波段载波频率为535～1605Hz，电视用的频率以MHz计，高频炉的频率为200～300kHz，中频炉的频率是500～8000Hz。按正弦规律变化的电流和电压通称正弦量。对应于图5-1,正弦量的一般解析式为当然正弦量的解析式和波形都是对应于已经选定的参考方向而言的，如图5-1。正弦量在某一时刻的值叫瞬时值。瞬时值为正表示其方向与参考方向相同；瞬时值为负，表示其方向与所选参考方向相反。正弦量解析式中的角度(ωt+ψ)叫做正弦量的相位角,简称相位。正弦量在不同的瞬间,有着不同的相位,对应的值(包括大小和正负)也不同,随着时间的推移,相位逐渐增加。相位每增加2πrad(弧度)，正弦量经历了一个周期，又重复原先的变化规律。为了简明，在电路分析中i（t）、u（t）常用i、u表示。正弦量相位增加的速率叫做正弦量的角频率。其单位为rad/s(弧度)。因为正弦量每经历一个周期T的时间,相位增加2πrad,所以正弦量的角频率ω、周期T和频率三者的关系为:（5-2）ω、T、三者都反映正弦量变化的快慢，ω越大，即越大或T越小，正弦量循环变化越快；ω越小,即越小或T越大，正弦量循环变化越慢。直流量可以看成ω=0(即=0，T=∞)的正弦量。2.初相位与幅值t=0时正弦量的相位，叫做正弦量的初相位，简称初相，用ψ表示。计时起点选择不同，正弦量的初相不同。习惯上初相角用小于180°的角表示，即其绝对值不超过π。如:ψ=320°，可化为ψ=320°-360°=-40°。T=0时正弦量的值为。正弦交流电在周期性变化过程中，出现的最大的瞬时值称为交流电的最大值。从正弦波的波形上看为波幅的最高点，所以也称幅值。如图8-1所示，即为表达式中的。正弦量的一个周期内，两次达到同样的最大值，只是方向不同。同样，正弦量一个周期内瞬时值两次为零，规定瞬时值由负向正变化之间的一个叫做它的零值。在正弦量的解析式中,反映了正弦量变化的幅度，ω反映了正弦量变化的快慢,ψ反映了正弦量在t=0时的状态，要完整的确定一个正弦量，必须知道它的、ω、ψ,称这三个量为正弦量的三要素。3.相位差两个同频率正弦量相位分别为ωt+ψu，ωt+ψi，相位差=（ωt+ψu）-(ωt+ψi)=ψu-ψi，即它们的初相位之差。注意：只有两个同频率的正弦量才能比较相位差。初相相等的两个正弦量,它们的相位差为零，称这样的两个正弦量叫做同相。同相的两个正弦量同时达到零值，同时达到最大值。图5-2同相与反相的电流相位差为π的两个正弦量叫反相。反相的两个正弦量各瞬间的值都是异号的，并同时为零。如图5-2所示。与为同相，与为反相。对于一条支路的电流或电压，改选参考方向后的数值与原数值相差一负号，因此，同一正弦量，选择不同参考方向下的两个解析式所表示的量反相。若，改选参考方向后，，与i为反相的两个正弦量。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零。例如:=ψu-ψi=60°，我们就称u比i超前60°。(或者i比u滞后60°)。超前的时间为=（s）。应当注意，当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们的初相跟着改变，初始值也改变，但是两者的相位差保持不变。即相位差与计时起点的选择无关。习惯上，相位差的绝对值规定不超过π。上述u与i的波形如图5-3，起点不同，初相位不同。图5-3与的初相位不同例5-1一正弦交流电，最大值为311V，t=0时的瞬时值为269V，频率为50Hz，写出其解析式。解：设该正弦电流的解析式为因为ω=2πf=2π×50=314rad/s，又已知t=0时，=269V和=311V，即269=311sinψ，sinψ=0.866所以ψ=60°或ψ=120°，故解析式为或例5-2已知二正弦电压，，求二者的相位差，并指出二者的关系。解：相位差=-90°-150°=-240°由于EMBEDEquation.3，故所以比超前120°。5.1.2正弦交流电的有效值电路的主要作用是转换能量。周期量的瞬时值和最大值都不能确切的反映它们在能量方面的效果，为此，引入有效值。周期量的有效值用大写的字母表示。如:U，I等。有效值是从电流的热效应来规定的。不论是周期性变化的电流还是直流，只要它们在相同的时间内通过同一电阻而两者的热效应相等，就把它们的有效值看作是相等的。就是说：某一电阻元件R，周期电流i在其一个周期T秒内流过电阻产生的热量与某一直流电流在同一时间T内流过电阻产生的热量相等，则这个周期电流的有效值在数值上等于这个直流量的大小。按照上述定义可得由此可得出周期电流的有效值为（5-3）即周期量的有效值等于其瞬时值平方在一周期内的平均值的平方根，又称方均根值。式（5-3）中的i为任意随时间变化的周期量。如果i为正弦交流电流，即由式（3-3），它的有效值为而所以（5-4）即正弦量的有效值等于它的最大值除以。对于正弦电压同样可得（5-5）一般电器设备上所标明的电流、电压值都是指有效值。使用交流电流表、电压表所测出的数据也多是有效值。例如“220V,40W”的白炽灯指它的额定电压的有效值为220V,交流380V或220V均指有效值.一般不加说明,交流电的大小皆指它的有效值而言。正弦量的解析式也可以写为在分析整流器的击穿电压、计算电气设备的绝缘耐压时,要按交流电压的最大值考虑。例5-3照明电源的额定电压为220V,动力电源的额定电压为380V,问它们的最大值各为多少?解：额定电压均为有效值,据式(5-5)故照明电的最大值为=×220V=311V动力电的最大值为=×380V=537V思考与练习5-1-1在频率分别为100Hz、5000Hz时求周期和角频率。5-1-2已知某正弦电压在t=0时为220V，其初相为45º，问它的有效值为多少？5-1-3用电流表测得一正弦电路中的电流为10A，则其最大值为多少？5-1-4一正弦电压的初相位60º，在t=T/2时的值为-465.4V，试求它的有效值和解析式。5.2正弦量的相量表示法直接用正弦量的解析式或波形分析计算正弦交流电路，计算量大且烦。在线性交流电路中，所有的电流和电压与电路所施加的激励是同频率的正弦量。因此，可以用一种简便的表示方法来分析交流电路，常用的方法为相量表示法，由于相量法要涉及到复数的运算，先简单复习一下复数。5.2.1复数及其运算在数学中常用表示复数。其中表示虚单位，在电工技术中，为了区别于电流的符号，虚单位用表示。1.复数的四种表示形式1）复数的代数形式2）复数的三角形式3）复数的指数形式4）复数的极坐标形式其中a表示实部，b表示虚部，r表示复数的模，表示复数的幅角，它们之间的关系如下:2.复数的运算1）复数的加减运算设:,则2）复数的乘除运算设:,则5.2.2相量表示法设有正弦量图5-4旋转矢量图如图5-4所示，在复平面上作矢量其长度按比例等于的最大值，其幅角等于i的初相ψi，让以等于i的角频率ω的角速度绕原点逆时针方向旋转，矢量初始时在虚轴上的投影，即i在ｔ＝０时的值，经过时间投影为，即为i在时刻的值。这样，一个旋转矢量每个瞬间在虚轴上的投影就与正弦量各瞬间的值相对应。矢量在复平面起始位置时对应的复数为=在ｔ时刻对应的复数为由于正弦交流电路中所有的电流和电压都是同频率的正弦量，表示它们的那些旋转矢量的角速度相同，相对位置始终不变，所以可以不考虑它们的旋转，只用起始位置的矢量就能表示正弦量。所谓相量表示法就是用模值等于正弦量的最大值（或有效值），辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。把这样的复数就叫做正弦量的相量。相量的模等于正弦量的有效值时,叫做有效值相量，用、等表示。相量的模等于正弦量的最大值时，叫最大值相量，用、等表示。如正弦交流电流i1、i2和电压u的瞬时值表达式分别为===其相量的指数形式为最大值相量：有效值相量：习惯上多用正弦量的有效值相量的极坐标形式，即（5-6）在进行运算时，也用到其三角式，即将同频率正弦量的相量画在复平面上所得的图叫做相量图。但把不同频率的正弦量的相量画在同一复平面上，是没有意义的。例5-4试写出下列正弦量的相量并作出相量图。解：各电压、电流的有效值相量分别为相量图如图5-5所示。图5-5例5-4题图还需指出的是，在进行电路分析时，有多个电流和电压，为了比较其相位的超前和滞后，常选定一个正弦量的初相角为零，称之为参考正弦量，其对应的相量为参考相量，这只影响各量的初相，并不影响各相量之间的相位差。即在相量图上并不改变各相量之间的相互位置。图5-6a为没有选参考相量，b为选电压相量为参考相量，c为选电流相量为参考相量。a)b)c)图5-6参考相量5.2.3同频率正弦量的运算在电路的分析计算中，会碰到求正弦量的和差问题，可以借助于三角函数、波形来确定所得正弦量，但这样不方便不易准确。由数学可知：同频率的正弦量相加或相减所得结果仍是一个同频率的正弦量。这样，就可以用相量来表示其相应的运算，即有定理：正弦量的和的相量，等于正弦量的相量和。设：正弦量i1，i2的相量分别为，，则i=i1+i2的相量这个定理的证明可以按平行四边形法则证出，本书从略。根据这个定理，求正弦量的和差问题就转化为求复数的和差或复平面上矢量的和差问题。电路中的计算问题就比较简便得到解决。显然，把不同频率正弦量的相量相加是没有意义的。一般地，在进行电路分析计算时，做相量图定性分析，由复数计算具体结果，再转换成对应的瞬时值表达式。一般称其为相量图辅助分析法。例5-5已知，若，求EMBEDEquation.3解：用相量计算，，所以也可由相量图求解，如图5-7所示。图5-7例5-5题图由勾股定理：=20º-tg-1=-39.03º例5-6图5-8所示为交流电路中某一回路，，求u3=?解：由KVL可得u1+u2-u3=0，或u3=u1+u2而，则有所以图5-8例5-6题图思考与练习题5-2-1下列等式中表达的含义是否相同？并说明理由。a）I=1A，b）Im=1A，c）=1A，d）i=1A5-2-2如图题5-9所示，流入节点a的电流的瞬时值分别为i1、i2、i3。如其有效值分别为I1、I2、I3，相量值分别为，试说明下列各式是否正确。图5-9思考与练习5-2-2题图a)i1+i2+i3=0，b）I1+I2+I3=0，c）=0d），，则5-2-3两个同频率的正弦电压，的有效值各为50V，30V，在什么情况下的有效值最小？在什么情况下的有效值最大？各是多少？5-2-4如果两个同频率的正弦电流在某一瞬时都是5A，两者是否一定同相？其幅值是否也一定相等？5-2-5指出下列各式是否正确？a），b），c），d），e）5.3单一参数正弦交流电路的分析5.3.1纯电阻电路1.电阻元件在交流电路的分析中，对于元件上各量的参考方向，一般不加说明，仍遵循在直流电路中的约定,即电流和电压的方向为关联参考方向。电阻元件的关联参考方向、波形图和相量图如图5-10a所示。a）电阻元件的关联参考方向、波形图和相量图b）电阻元件电流电压波形及功率图5-10纯电阻电路对于电阻元件R，通过电流为i与电流关联的电压为u，根据欧姆定律有或（5-7）即电阻元件上电压、电流的瞬时值仍遵从欧姆定律，是线性关系。2.正弦交流电路中的电阻元件1）电压与电流关系在交流电路中，凡是电阻起主要作用的负载如白炽灯、电烙铁、电炉、电阻器等，其电感很小可忽略不计，则可看成电阻元件，仅由电阻元件构成的交流电路称为纯电阻电路。设通过电阻元件的正弦电流为则与该电流关联的电阻元件的电压为其中U=RI（5-8）即电阻元件电压、电流的有效值仍遵从欧姆定律，且同相。将式(8-8)写成相量式为（5-9）由（5-8）和（5-9）可以看出:①电阻元件的电流和电压瞬时值、最大值、有效值关系都遵从欧姆定律。②电阻元件的电流与电压同相。如图5-10a所示2)纯电阻电路的功率电阻元件是一耗能元件，但在正弦交流电路中，其功率是随时间变化的，电阻元件在某一时刻的功率称为瞬时功率（如图5-10b所示），设=0，则为了可以计量，我们将瞬时功率在它的一个周期内的平均值，称为平均功率，即（5-10）将式（8-8）代入（8-10）得（5-11）式（5-8）、（5-10）和（5-11）中，公式的形式与直流电路中完全相同，但与直流电路中各符号的意义完全不同，此处，式中的U、I均指正弦量的有效值。例5-7一个标称值为“220V,75W”的电烙铁，它的电压为，试求它的电流和功率，并计算它使用20小时所耗电能的度数。解：电流的有效值为因所加电压即为额定电压，功率为75W，所以20小时所耗电能为W=75×20=1500W=1.5KWh=1.5度5.3.2正弦交流电路中的电感元件1.电压、电流关系图5-12a所示，电感元件的电压电流为关联参考方向。a）电感元件电流电压参考方向b）相量图c）电感元件电流电压波形及功率图5-12纯电感电路设通过电感元件的正弦电流为则电感元件的电压为所以或（5-13a）或（5-13b）电压的相量表达式为式中ωL称为电感元件的感抗,用XL表示，即XL=ωL=2πfL，单位为欧姆（Ω）。XL与ω成正比，频率愈高，XL愈大，在一定电压下，愈小；在直流情况下，ω＝0，XL=0，电感元件在交流电路中具有通低频阻高频的特性。电压的相量表达式还可写为（5-14）即为电感元件在正弦交流电路中电流电压的相量关系式，图5-12b为相量图。由（5-13）和（5-14）式可知：①电感元件的电压和电流的最大值、有效值之间符合欧姆定律形式。②电感元件的电压的相位超前电流90°。2.纯电感电路的功率设=0，纯电感电路的瞬时功率为瞬时功率是以两倍于电流的频率、按正弦规律变化的，最大值为UI＝I2XL，其波形如图5-12c所示。从瞬时功率的波形可以看出，在第一个和第三个时间内，U与I同方向，P为正，电感从外界吸收能量，线圈起负载作用；在第２个和第４个时间内，U与I反向，P为负值，电感向外释放级量，即把磁能转换为电能，放出的能量等于吸收的能量，故它是储能元件，只与外电路进行能量交换，本身不消耗能量。因此，它在一周期内的平均功率为零，这一点可以由正弦函数的对称性，利用积分的概念可以说明。本书从略。为了衡量电感元件与外界交换能量的规模，引入无功功率，即（5-15）这里“无功”的含义，是“功率交换而不消耗”并不是“无用”，无功功率的单位是Ｖar（乏）或kＶar（千乏）。与无功功率相对应，工程上还常把平均功率称为有功功率。例5-8电路如图5-13所示,直流电压源Us=8V,R1=1Ω，R2=R3=6Ω,L=0.1H,电路已经稳定。求L的电流和磁场储能。解：由于直流稳定状态时,电感相当于短路，电路总电阻为=（）Ω=4Ω则=A=2A，电感电流为=（）A=1A，电感储存的磁场能量为=（）J=0.5J图5-13例5-8题图例5-9把一个0.1H的电感元件接到频率为50Hz，电压有效值为10V的正弦电压源上，问电流是多少？如保持电压不变，而频率调节为5000Hz，此时电流为多少？解：当=50Hz时，感抗为，电流为当=5000Hz时，感抗为由此例可见，电压一定时，频率愈高，通过电感元件的电流愈小。5.3.3正弦交流电路中的电容元件1.电压、电流关系图5-14a所示，电容元件的电压电流为关联参考方向。a）电容元件电流电压参考方向b）相量图c）电容元件电流电压波形及功率图5-14纯电容电路设通过电容元件的端电压为则电路中的电流为所以或（5-18a）或（5-18b）电压的相量表达式为式中称为电容元件的容抗,用XC表示，即XC=，单位为欧姆（Ω）。XC与ω成反比，频率愈高，XC愈小，在一定电压下，愈大；在直流情况下，ω＝0，XC=∞，电容元件在交流电路中具有隔直通交和通高频阻低频的特性。电压的相量表达式还可写为（5-19）即为电容元件在正弦交流电路中电流电压的相量关系式，图5-13b为相量图（设=0，则）。由（5-18）和（5-19）式可知：①电容元件的电压和电流的最大值、有效值符合欧姆定律。②电容元件的电流比电压超前90°。2.纯电容电路的功率设=0，纯电容电路的瞬时功率为与纯电感电路的瞬时功率相似，纯电容电路瞬时功率也是以两倍于电流的频率、按正弦规律变化的，最大值为UI＝I2XC，其波形如图5-13c所示。从瞬时功率的波形可以看出，在第一个和第三个内，u与i反向，p为负值，即电容元件释放能量，但在第二和第四个内，u与i同方向，p为正值，即电容吸收能量，P为正，由曲线的对称性知，吸收的能量与释放的能量相同。故它是储能元件。同理，电容的平均功率为零，电容的无功功率为（5-20）容性无功功率为负值，表明它与电感转换能量的过程相反，电感吸收能量的同时，电容释放能量，反之亦然。例5-10电路如图5-15所示,R1=4Ω,R2=R3=R4=2Ω，C=0.2F，IS=2A，电路已经稳定。求电容元件的电压及储能。解：电容相当于开路，则电容电压为电容储存的电场能量为图5-15例5-10题图例5-11在电容为318μF的电容器两端加的电压，试计算电容的电流及无功功率。解：因为，容抗所以电容电流电容的无功功率5.3.4电感与电容的连结1.电容的连接1）并联在实际中，考虑到电容器的容量及耐压，常需要将电容器串联或并联起来使用。电容量为C1、C2、C3的三个电容元件并联，如图5-16a所示，设端口电压为u，由KVL定律，每个电容的电压都为u，它们所充的电荷量为，，它们所充的总电荷量为故，可得并联电容的等效电容为（5-22）即并联电容的等效电容等于各个电容之和，如图5-16b所示。当电容器的耐压符合要求而容量不足时，可将多个电容并联起来得到较大的电容量。a）b）图5-16并联电容2）串联图5-17a所示为C1、C2、C3三个电容元件串联的情况。a）b）图5-17串联电容端口电压为u，与外部相连的两个极板充有等量异号的电荷量ｑ，中间各极板因静电感应而出现等量异号的感应电荷。每个电容器的电荷量均为ｑ，每个电容的电压各为，，故得串联电容的等效电容的倒数等于并联各电容倒数之和。等效电容如图5-17b所示，即（5-23）所以，串联电容的等效电容小于每个电容，而每个电容的电压都小于端电压。电容C1，其耐压值V1,电容C2，其耐压为V2，（设：C1>C2），将C1，C2串联，则电容量小的电容分得的电压大，所以先考虑C2的耐压，若C1，C2两端所加的最高电压为u，由于q相等，则当电容器的容量和耐压都不足时，可将一些电容器既有并联又有串联。例5-12耐压为250V、容量为0.3μF的三个电容器C1、C2、C3连接如图5-18所示。求等效电容，并问端口电压不能超过多少？解：C2、C3并联，等效电容为C23=C2+C3=0.3+0.3=0.6μF由于C1与C23串联,电路的等效电容为C1小于C23，u1>u23,应保证u1不超过其耐压250V。当u1=250V时所以端口电压不能超过u=u1+u23=250+125=375V图5-18例5-12题图2.无互感电感的连接图5-19a为电感串联电路，各电压电流参考方向关联，由电感元件的电压电流关系知，则，，由KVL，端口电压即电感串联后的等效电感为各串联电感之和。（5-24）电感并联电路如图5-19b所示，利用电感元件上电压、电流的积分关系可得,电感并联电路等效电感的倒数等于并联各电感倒数之和。即（5-25）a)b)图5-19电感串联电路思考与练习题5-3-1对电阻电路，下列各式是否正确？如不正确，请改正。5-3-2对电感电路，下列各式是否成立，如不成立，说明原因。5-3-3对电容电路，以下各式是否正确？5-3-4电阻可以不计，电感为10mH的线圈，接在220V、5kHz的交流电源上，线圈的感抗是多大？线圈的电流是多少？5-3-5若将上题中的线圈换接成100μF的电容，结果如何？5-3-6容量为0.1F的电容元件所加电压为u=4sin100tV,u、i为关联方向，试写出通过电容的电流的解析式。5.4基尔霍夫定律的相量形式前面我们分析了电阻元件、电感元件及电容元件上电压和电流的相量关系。本节介绍正弦电路中基尔霍夫定律的相量形式。5.4.1相量形式的基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律的实质是电流的连续性原理。在交流电路中，任一瞬间电流总是连续的，因此，基尔霍夫定律也适用于交流电路的任一瞬间。即任一瞬间流过电路的一个节点（闭合面）的各电流瞬时值的代数和等于零。亦即既然适用于瞬时值，那么解析式也同样适用，即流过电路中的一个节点的各电流解析式的代数和等于零。正弦交流电路中各电流都是与电源同频率的正弦量，把这些同频率的正弦量用相量表示即得（5-26）电流前的正负号是由其参考方向决定的。若支路电流的参考方向流出节点，取正号，流入节点取负号，式5-26就是相量形式的基尔霍夫电流定律（KCL）。5.4.2相量形式的基尔霍夫电压定律根据能量守恒定律，基尔霍夫电压定律也同样适用于交流电路的任一瞬间。即同一瞬间，电路的任一个回路中各段电压瞬时值的代数和等于零，亦即在正弦交流电路中，各段电压都是同频率的正弦量，所以表示一个回路中各段电压相量的代数和也等于零，即（5-27）这就是相量形式的基尔霍夫电压定律（KVL）。例5-13如图5-20a、b所示电路中,已知电流表、、都是10Ａ，求电路中电流表Ａ的读数。a）b）图5-20例5-13题图解：设端电压Ｖ1)选定电流的参考方向如图5-20a所示，则　(与电压同相)ＡEMBEDEquation.3EMBEDEquation.3（滞后于电压）由KCLＡ电流表Ａ的读数为Ａ。注意：直流电路是不同的，总电流并不是20Ａ。2）选定电流参考方向如图5-20b所示,则　　　　　　　ＡA(超前于电压)由KCLA电流表Ａ的读数为10Ａ。例5-14　如图5-21a、b所示电路中，电压表、、的读数都是50Ｖ，试分别求各电路中Ｖ的读数。a）b）图5-21例5-14题图解：设电流为参考相量，即a）选定、、、的参考方向如图5-21a所示，则V　(与电流同相)VEMBEDEquation.3EMBEDEquation.3（超前于电流）由KVLV所以电压表Ｖ的读数为Ｖ。b）选定、、、的参考方向如图5-21b所示，则VVＶ（滞后于电流）由KCL　　V电压表Ｖ的读数为50Ｖ。5.5RLC串联电路的分析5.5.1电流、电压关系RLC串联电路如图5-22a所示，正弦电流，对应的相量为，通过RLC元件，分别产生电压降为、、、，相应的相量为、、，三个元件通过相同电流，每个元件的电流电压关系为a）b）c）d）图5-22RLC串联而端口总电压，对应的相量式为整理得令，而称为电路的复阻抗，单位为欧姆（Ω），其中称为电抗，单位为欧姆（Ω）故有（5-28）式（5-28）称为相量形式的欧姆定律。RLC串联电路的相量图，如图5-22b所示（设：ＸL>ＸC），从相量图可以看出，总电压与总电流有一个相位差，由图知若，，则（5-28）式可写为（5-29）其中，称为复阻抗的阻抗值，为阻抗角，也是电流与电压的相位差。由此可以看出，通过电路的电流的频率及元件参数不同，电路所反映出的性质不同。如果频率和元件参数使得ＸL>ＸC，则Ｘ>0，电压超前电流；电路呈感性，如图5-22b；相反若ＸL<ＸC，Ｘ<0，电压滞后电流，电路呈容性，如图5-22c；若ＸL=ＸC，X=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，如图5-22d。此时，我们也称电路发生谐振。5.5.2功率为了分析方便，取电路电流为参考正弦量，即瞬时功率可写为相应的平均功率或有功功率为即（5-30a）对于RLC串联电路，流过电阻、电感、电容三元件的电流相同，因此可以绘制出电压、阻抗和功率三角形如图5-23所示。a）电压三角形b）功率三角形c）阻抗三角形图5-23电压、阻抗和功率三角形由功率三角形很容易得到无功功率Q和视在功率Ｓ（5-30b）（5-30c）虽然式（5-30）是由串联电路推出，但它确是计算正弦交流电路功率的一般公式。由上述可知，交流发电机输出的功率不仅与发电机的端电压及其输出电流的有效值的乘积有关，而且还与电路（负载）的参数有关。电路所具有的参数不同，电路的性质就不同，电压与电流的相位差也不同，在同样电压U和电流I之下，这时电路的有功功率和无功功率也就不同。式（5-30a）中的cos称为功率因数。视在功率也称功率容量，交流电气设备是按照规定了的额定电压和额定电流来使用的。变压器的容量就是以额定电压和额定电流的乘积来表示的即。视在功率的单位是VA（伏安）或kVA（千伏安）。由功率三角形或式（5-30）可以得出三个功率之间的关系（5-31）例5-15由电阻R=8Ω、电感L=0.1H和电容C=127μF组成串联电路，如设电源电压，试求电流i，UR，UL，UC,并作出相量图。解：感抗及容抗为电路的复阻抗为电压所以电流的解析式为各元件上的电压为电阻、电感、电容元件上的电压有效值分别为171.2V，672V，535V。相量图如图5-24所示。图5-24例5-15题图例5-16日光灯导通后，镇流器与灯管串联，其模型为电阻与电感串联，一个日光灯电路的电阻为R=300Ω、L=1.66H，工频电源的电压为220V，试求：灯管电流及其与电源电压的相位差、灯管电压、镇流器电压。解：镇流器的感抗为电路的复阻抗为所以，灯管电压比灯管电流超前60.1°。灯管电流、电压及镇流器电压为思考与练习题5-5-1RLC串联电路中，下列各式那些是正确的？5-5-2RLC串联电路，当R=3Ω，XL=4Ω，XC=8Ω，试确定电路的性质，并求阻抗角。5.6阻抗的串联与并联5.6.1阻抗网络的联结形式是多种多样的，但最基本最简单的连接方式是串联和并联。1．阻抗串联图5-25是两个阻抗串联的电路，由基尔霍夫定律可写出其相量表达式所以，其等效复阻抗为（5-32）由于，，。由此可见，等效复阻抗等于各个串联复阻抗之和，而阻抗值的关系不成立。一般情况下，等效复阻抗可写为（5-33a）其中（5-33b）复阻抗串联，分压公式仍然成立，以两个阻抗串联为例，分压公式为（5-34）图5-25两个阻抗串联例5-17如图5-26a所示电路，，，它们串联接在的电源上，试由相量法计算电路中的电流和各阻抗上的电压，并作相量图。解：由于阻抗串联，有所以各阻抗上的电压分别为相量图如图8-25ba）b）图5-26例5-17题图2．阻抗并联图8-27是两个阻抗并联的电路，由KCL方程可写出它的相量表达式而比较两式得或由于，即，所以。由此可见，等效复阻抗的倒数等于各个并联复阻抗倒数之和，而阻抗值的关系不成立。一般式可写为（5-35）复阻抗并联，分流公式仍然成立，以两个阻抗串联为例，分流公式为（5-36）图8-27两个阻抗并联应用（5-35）式计算交流电路的复阻抗并不方便，一般对并联交流电路引用复导纳来计算，复导纳是复阻抗的倒数，通常用Ｙ表示，单位为Ｓ（西门子），则5-35式可写为（5-37）即并联电路的总导纳等于各条支路复导纳之和。类似于直流电路中，并联电路的总电导等于各支路电导之和。某一条支路复阻抗中通过的电流为，并联电路两端的电压为，若、参考方向关联，则该支路的复阻抗Z与二者的关系为由以上知，同一电路的复阻抗与复导纳满足，即复阻抗Z与其等值复导纳Y互为倒数。5.6.2阻抗混联电路的计算例5-18电路如图5-28所示，端口电压为，试求各支路电流、电压及电路的有功功率和无功功率。图5-28例5-18题图解：图中注明的各段电路的复阻抗为并联部分阻抗及电路的总阻抗为EMBEDEquation.3电路的总电流为各支路电路电流为各支路电压思考与练习题5-6-1图示5-29所示电路中，电流表A1、A2的读数均为4A，求A的读数。5-6-2RLC串联电路，已知R=XL=XC=10Ω，I=1A，求电路两端电压的有效值是多少？5-6-3某电器两端所加电压为，其中电流为，试确定该电器的阻抗，并指出该电器属于那种性质的负载？图5-29思考与练习5-6-1题图5.7用相量法分析正弦交流电路综前所述，只要把正弦交流电路用相量模型表示，就可像分析计算直流电路那样，来分析计算正弦交流电路，这种方法称为相量法。其一般步骤为1）作出相量模型图，将电路中的电压、电流都写成相量形式，每个元件或无源二端网络都用复阻抗或复导纳表示。2）应用第二章所介绍的定律、定理、分析方法进行计算，得出正弦量的相量值。3）根据需要，写出正弦量的解析式或计算出其它量。例5-19电路如图5-30所示，已知，，，，，V，。求各支路电流。解：由已知条件可得电路的等效复阻抗为设Ｖ，则图5-30例5-19题图例5-20电路如图5-31所示中，已知，，R1=XL1=XC1=R2=XC2=5，试用节点法求图中电流。图5-31例5-20题图解：列节点电压方程为代入已知数据并解得则待求电流为例5-21电路如图5-32a所示。当为何值时，可以取得最大值？其最大值是多少？解：本题宜用戴维南定理求解。为此把作为负载支路，移去支路后的电路如图8-32b所示。图中戴维南等效复阻抗为（感性）因此，图5-31b可简化为图5-31c,故其有效值为显然，当时，最大，且a)b)c)图5-32例5-21题图5.8功率因数的提高在讨论电阻、电感和电容串联的交流电路时，引出了交流电路的功率因数，其中是电压与电流间的相位差或负载的阻抗角，的大小取决于负载的参数，其功率因数介于０和１之间。当功率因数不等于１时，电路中发生能量交换，出现无功功率，角越大，功率因数愈低，发电机所发出的有功功率就愈小，而无功功率就愈大。无功功率愈大，即电路中能量交换的规模愈大，发电机发出的能量就不能充分为负载所吸收，其中有一部分，在发电机与负载之间进行交换，这样，发电设备的容量就不能充分利用。例如：容量为1000kVA的变压器，如果COS＝1，即能够发出1000kW的有功功率，而在COS＝0.7时，则只能发出700kW的功率。当发电机的电压Ｕ和输出的功率P一定时，电流Ｉ与功率因数成反比，即而电路和发电机绕组上的功率损耗PL与COS的平方成反比，即式中ｒ是线路及发电机绕组的电阻。由上可知：功率因数的提高，能使发电设备的容量得到充分利用，同时可降低线路的损耗。电力负载中，绝大部分是感性负载，如企业中大量使用的感应电动机、照明用的日光灯、控制电路中接触器等都是感性负载。感性负载的电流滞后于电压角，角总不会为零，所以COS总是小于１，例如：生产中最常用的异步电机在额定负载时的功率因数约为0.7～0.9左右，在轻载时功率因数低于0.5。电感性负载的功率因数之所以小于１，是由于负载本身需要一定的无功功率。提高功率因数，也就是如何才能减少电源与负载之间能量的交换，又要使电感性负载能取得所需的无功功率。提高功率因数，常用的方法是与感性负载并联电容器，其电路图和相量图如图5-33所示。图5-33感性负载并联电容提高功率因数在图中，RL串联部分代表一个电感性负载，它的电流滞后于电源电压的相位，在电源电压不变的情况下，并入电容C，并不会影响电流的大小和相位，但总电流由原来的变成了，即：，且与电源电压相位差由原来的减小为，所以，COS大于COS，功率因数提高了，据此，可导出所需并联电容C的计算公式为（5-38）另外需注意的是：这里所讨论的提高功率因数是指提高电源或电网的功率因数，而某个电感性负载的功率因数并没有变。在感性负载上并联了电容器以后，减少了电源与负载之间的能量交换，这时，电感性负载所需要的无功功率，大部分或全部是就地供给（由电容器供给），就是说能量的交换现在主要或完全发生在电感性负载与电容器之间，因而使发电机容量能得到充分利用。其次，由相量图知，并联电容器以后线路电流也减小了，因而减小了线路的功率损耗，还需注意的是，采用并联电容器的方法电路有功功率未改变，因为电容器是不消耗电能的，负载的工作状态不受影响，因此该方法在实际中得到了广泛应用。例5-22一感性负载与220V、50Hz的电源相接，其功率因数为0.7,消耗功率为4kW,,若要把功率因数提高到0.9，应加接什么元件？其元件值如何？解：应并联电容，如图5-34所示，并联电容前感性负载的功率因数角为，并联电容后电路的功率因数角为并联电容前感性负载的无功功率为补偿后的无功功率为所需电容的无功功率为，则有，而所以EMBEDEquation.3图5-34例5-22题图思考与练习题5-8-1提高功率因数，是否意味着负载消耗的功率降低了？5-8-2根据提高功率因数的思想，能否设计出其它的提高功率因数的途径？5．9串并联谐振5．9．1串联谐振1．谐振现象在交流电路中，由于电容、电感元件的电抗存在，一般来讲，电路两端的电压u与通过其的电流I，都不同相，但电容和电感性质相反，电抗和容抗又都与频率有关，因此，当电源满足某一特定的频率时就会出现电路两端的电压和其中的电流同相的情况，这种现象称为谐振。这样的LC电路叫做谐振电路。谐振电路在电子线路中应用很广，而在某些情况下，谐振还会破坏电路的正常工作。按照发生谐振的电路的不同，谐振分串联谐振和并联谐振。2．串联谐振电路如图5-35的电路，在正弦电压的激励下，其输入复阻抗为（5-39）若XL-XC=0则Z=R，此时，电路相当于一个纯电阻电路，电压与电流同相，即发生谐振现象。由于是R、L、C元件串联，所以叫串联谐振串联谐振的条件为XL=XC由此得出串联谐振的角频率ω0或频率f0为（5-40）则rad/s(5-41)或（5-42）由（5-42）式可见谐振频率是由电路本身的参数L、C决定的所以又叫电路的固有频率，可见实现电路谐振可用以下两种方法（1）当外加信号源频率ω一定时，可通过调节电路参数LC通过调节电源频率ω0或电路参数L或C实现。（2）当电路参数L、C一定时，可通过改变信号源的角频率实现。串联谐振时，将（5-40）代入（5-41）式得：ρ只与电路的L、C有关，叫做特性阻抗，单位为欧姆（Ω）。谐振时，电路的电抗与电阻之比（5-43）称为回路的品质因数，由电路参数R、L、C决定。Q是一个无量纲的量。品质因数Q是谐振回路的重要参数，它表征了电路的损耗，损耗越小，Q值越高。为了提高Q值，有的电感线圈要用镀银线来绕制。Q值对回路的品质特性影响很大。3．串联谐振的特点1）串联谐振时，电路的阻抗最小且为纯电阻性质由于谐振时，X=0所以网络的复阻抗为一实数，即2）电流的有效值将达最大，且电流与外施电压同相。在图8-35中，若则回路电流谐振时，阻抗Z=R最小,所以回路电流且与同相，此时那么，谐振时电感和电容上是否就没有电压呢？3）串联谐振时电感电压和电容电压的有效值相等，且等于外加电压的Q倍为与反相而相互“抵消”，对整个电路但单独考虑和时，若Q＞1，则ULO=UCO＞U,因为串联谐振时ULO和UCO可能超过总电压的许多倍，所以串联谐振又叫电压谐振。而电路Q值一般在50～200之间，因此，在电路谐振时，即使外加电压不高，在电感L和电容C上的电压会远高于外施电压，这是一种非常重要的物理现象，在无线电通信技术中，利用这一特性，可从接收到的具有各种频率分量的微弱信号中，将所须信号取出。但在电力系统中，应尽量避免电压谐振，以防止产生高压而造成事故。4）谐振时，能量只在R上消耗而电容和电感只周期性的进行磁场能量与电场能量转换。电源和电路之间没有能量转换。例5-23在R-L-C串联谐振电路中，U=25mV，R=5Ω，L=4mH，C=160pF。1)求电路的f0、I0、ρ、Q和UC0。2)当端口电压不变，频率变化10%时，求电路中的电流和电压解1)谐振频率端口电流特性阻抗品质因数2)当端口电压频率增大10%时感抗容抗阻抗的模电流电容电压可见，激励电压频率偏离谐振频率少许，端口电流、电容电压会迅速衰减。4．频率特性谐振回路中，电流和电压随频率变化的特性，称为频率特性，它们随频率变化的曲线称为谐振曲线。我们以电流谐振曲线为例来看一下回路中电流幅值与外加电压频率之间的关系。由图（5-35）在任意频率ω下，回路电流电流的模（5-44）图5-37电流的谐振曲线若L、C、R及U都不改变时，电流I将随ω发生变化，由（5-44）式可作出电流随频率变化的曲线，由图5-37中可见。当电源频率正好等于谐振频率ω0时，电流有一最大值，当电源频率向着ω＞ω0或ω＜ω0方向偏离谐振频率ω0时，Z都逐渐增大，电流也逐渐变小至零。图5-38通用谐振曲线说明只有在谐振频率附近，电路中的电流才有较大值，偏离这一频率，电流值则很小，这一把谐振频率附近的电流选择出来的特性称为频率选择性。谐振回路频率选择性的好坏可用通频带宽度△f来衡量。在谐振频率f0两端，当电流I下降至谐振电流I0的=0.707倍时，所覆盖的频率范围，称为通频带△f=f2-f1，（△ω=ω2-ω1）△f越小，谐振曲线越尖锐，表明电路的选择性就越好。而△f=(5-45)△ω=(5-46)可见通频带与回路的品质因数Q成反比，Q越高通频带越窄，选择性越好，可见Q是衡量谐振回路选则性的参数。例5-24一个R、L、C串联谐振电路，已知：C=100pF，R=10Ω，端口激励电压，求1）电感元件参数L；2）电路的品质因数Q；3）通频带△f。解：由已知条件得：谐振频率ω0为3π×106rad/s则激励电压有效值U=1mV1)求L由得2）求品质因数Q3）求通频带△f由式5-45得5．9．2并联谐振1．并联谐振电路串联谐振电路适宜与低内阻的信号源相接，这是因为信号源内阻较大时会使回路Q值下降，其选择性变差，因此就必须采用并联谐振电路。并联谐振电路与串联谐振电路的定义相同，电路两端的电压和其中的电流同相时的工作状况称为谐振。如图5-39所示是一种典型的并联谐振电路。图5-39并联谐振电路其总导纳为其导纳模相应阻抗模由上式可见，当时，电路呈纯电阻性，电路谐振。由于是R-L-C并联，所以称并联谐振。由电路谐振的定义得并联谐振的条件是其总导纳的虚部为零。也就是时发生并联谐振。由此得谐振频率为rad/s(5-47)或(5-48)与串联谐振一样，当信号频率一定时，可调节L、C值实现谐振；当电路参数固定时，改变信号源频率也可实现电路谐振。2.并联谐振时的特点1）网络的阻抗最大或接近最大并联谐振时电路为纯电阻性2）谐振时，阻抗最大，在电源电压一定时，总电流最小且与电源电压同相，其值为3）谐振时，电感和电容上的电流相等，且为总电流的Q倍，即式中Q为并联谐振回路的品质因数，其值为可见谐振时电感和电容支路上的电流可能远远大于端口电流，所以并联谐振又叫电流谐振。由于电感和电容上的电流大小相等，相位相反，故两者完全抵消。4）谐振时电压、电流相量图如图5-40所示图5-40并联谐振时电压和电流相量图3．实际的并联谐振电路实际应用中，常以电感线圈和电容器并联作为谐振电路。电感线圈考虑损耗可用电感与电阻串联为电路等效。而电容器的损耗很小，一般可略去不计，这样就得到图5-41并联谐振如图5-41a所示的电路。电路的导纳为当满足条件时电路呈纯电导，电压和电流同相，电路发生谐振。谐振时的角频率为（5-49）或）（5-50）由式5-49可见，电路的谐振频率完全由电路参数决定，只有当>0，即时，ω0才为实数，电路才有谐振频率；所以只有在的情况下，电路才可通过调节激励的频率达到谐振。反之若，谐振频率为虚数，则电路不可能发生谐振。在《1时，并联谐振的近似条件为。例5-25一个电感线圈的损耗电阻为10Ω，自感系数L为100μH，与100pF的电容并联后，组成并联谐振电路。若激励为一正弦电流源，有效值I=1μA。试求谐振时电路的角频率及阻抗、端口电压、线圈电流、电容器电流，谐振时回路吸收的功率。解：由式5-49求谐振角频率谐振时阻抗谐振时端口电压线圈的品质因数谐振时，线圈和电容器的电流谐振时回路吸收的功率或例5-26求如图所示电路的谐振频率。解：该电路有两个谐振频率：L和C组成的并联谐振频率和整个电路的串联谐振频率。并联谐振频率为求取一般电路谐振频率的常用办法是先求出电路的输入阻抗或输入导纳，令其虚部为零，即可求出谐振条件，然后进一步解出电路的谐振频率。由图5-42可得令Z的虚部为零，则有=0即所以，电路的串联谐振频率为显然，只有时，电路才会发生串联谐振。思考与练习5-9-1在R、L、C串联电路中，谐振频率为ω0如果想加宽通频带△f，须要改变哪个元件参数？如何改变？5-9-2在R、L、C串联的谐振电路中，，若电感量增至原来的十倍，要维持原来的谐振频率不变，则电容值应如何改变？这时品质因数将如何变化？5-9-3品质因数和通频带与选择性有什么关系？5-9-4试比较串联谐振和并联谐振的特性。5-9-5算如图5-43所示电路的谐振角频率ω0。图5-43题5-9-5图5-9-6图5-44所示并联电路在发生谐振时，电流表A1的读数为15A，A3的读数为9A，问A2的读数为多少？本章基本要求1.正弦量的三要素及其表示以正弦电流为例，在确定的参考方向下它的解析式为其中振幅值值（有效值Ｉ）、角频率（或频率f及周期T）、初相ψi是决定正弦量的三要素。它们分别表示正弦量变化的范围，变化的快慢及其初始状态。正弦量的三要素，也可以从波形图上看出来。正弦量的有效值相量，由于在同一个线性电路中，各正弦量频率相同，所以相量只需体现了三要素的两个要素。2.元件约束（伏安特性）和连结约束(KCL和KVL)的相量式（1）在关联参考方向下：，，（2）KCL:,KVL:3.复阻抗与复导纳无源二端网络或元件,在电压电流关联参考方向下,二者关系的相量形式为或网络的复阻抗:复导纳:在同一个电路中，。4.相量法将正弦电路的激励和响应用相量表示,每一个无源的二端网络(包含无源的二端元件)用阻抗或导纳表示,那么直流电路的分析计算方法可以类推到正弦交流电路。首先要把正弦电路的模型用相量模型表示。然后选用合适的方法分析计算。5.功率功率因数,感性负载并联电容器可提高功率因数。第6章三相交流电路三相交流电是目前世界上使用最为广泛的交流电。由三相电源、三相负载和三相输电线按某种方式联结而成的电路，称为三相电路。三相正弦电路是一般交流电路的特例，一般交流电路的分析方法与结论对三相交流电路都是适用的，但由于三相电路中的电流电压也有自身的特点，因此三相电路分析有其特殊之处。本章主要介绍三相电源；对称三相电路及其分析方法；电压和电流的相值和线值之间的关系；三相电路的功率及测量。6.1三相电源及其联结6.1.1三相电源对称三相电压是三相交流发电机产生的，它是指三个频率相同，幅值相等，对于选定的参考方向相位依次相差120°的一组正弦电压。一般令U相初相为零，V相滞后U相120°，W相滞后V相120°。具有上述特点的一组交流电流或电压统称为对称三相正弦量。以电压为例，其解析为(6-1)用相量式表示为：(6-2)图6-1a、b所示是上述对称三相正弦电压的波形图与相量图。a)b)图6-1三相对称电压波形图及相量图6-2三相电源三相电压源的始端称为相头，标以U1、V1、W1；末端称为相尾，标以U2、V2、W2。规定参考正极性标在相头，负极性标在相尾，如图6-2所示。从计时起点开始三相交流电依次出现正幅值（或零值）的顺序称为相序。图6-1所示的三相交流电的相序是U—V—W—U，称为正序，如果相序为U—W—V—U，则称为反序。电力系统一般采用正序。由于对称三相电压的幅值相等，频率相同，彼此间的相位差也相等，因此它们的瞬时值或相量之和为零，即：(6-3)6.1.2三相电源的联接三相电源并不是每相直接引出两根线和负载相接，而是把它们按一定方式联接后，再向负载供电。通常有两种连接方式。如图6-3所示，将三个末端接在一起，从始端引出三根导线，这种联结方法称为星形联结。末端的连接点称为中（性）点，用Ｎ表示，从中（性）点引出的导线称为中（性）线，从始端U、V、W引出的三根导线称为相线或端线，俗称火线。另外一种联结方法如图6-4所示，称做三角形联结，是把三相电源的始端与末端顺次连成一个闭合回路，再从两两的连接点引出端线。相线与中性线之间电压称为相电压，分别为、、，有时也可简写为、、，当三个相电压有效值相等时，有；两根端线之间的电压称为线电压，分别为、、。当三个线电压有效值相等时有。注意下标规定了两种电压的参考方向。很显然，星形联结可以同时提供相电压和线电压，而三角形连接不能引出中性线，只能提供线电压。星形联结时三相电源可引出四根线与负载相接，在电力系统中称这种供电方式为三相四线制；如果三相电源只引出三根线与负载相接，则称为三相三线制供电方式。需要注意的是：三角形联结时，不能将某相接反，否则三相电源回路内的电压达到相电压的2倍，导致电流过大，烧坏电源绕组，因此做三角形联结时，预留一个开口用电压表测量开口电压，如果电压近于零或很小，再闭合开口，否则，要查找哪一相接反了。当电源做三角形联结时，线电压就是相电压，而做星形联结时，相电压和线电压关系从图6-3可知：用相量表示为：当对称时，取一式进行计算：图6-3三相星形联结图6-4三相三角形联结其余两个线电压也可推出类似结果。结论：当三个相电压对称时，三个线电压有效值相等且为