自考笔记 00020 高等数学（一） 完整免费版

小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问www.xw-note.cn 前　言 《高等数学一》共6章 第一章　函数 1.主要是对知识的复习； 2.为今后知识打下良好的基础； 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章　极限和连续 主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础； 本章在历年考题中所占分值为20左右. 第三章　导数与微分 主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章　微分中值定理和导数的应用 主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题； 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章　一元函数积分学 主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念； 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章　多元函数微积分 主要是学习多元函数的微积分的计算； 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章　函数 1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程， （1）求根公式： 当△＞0时，方程有两个不同的实根： 当△＝0时，方程有一个二重实根： 当△＜0时，方程有一对共轭复根： （2）根与系数的关系（韦达定理）： （3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下. 对称轴 顶点坐标　 例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？ 结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根. 解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得 解得 2.二元一次方程组 两个未知量x，y满足的形如 INCLUDEPICTURE "H:\\zikao365\\class\\jichu\\public\\gdsxy\\打包\\gdsxy0101\\kcjy\\0101\\79DEBA52958CE9D7AFF01A109915C662.gif" \* MERGEFORMATINET 的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解； 当时，方程组无解； 当时，方程组有无穷多解. 例2.已知方程组 INCLUDEPICTURE "H:\\zikao365\\class\\jichu\\public\\gdsxy\\打包\\gdsxy0101\\kcjy\\0101\\7CBBF0B517B62A00A7902622399F6646.gif" \* MERGEFORMATINET （1）若方程组有无穷多解，求a的值； （2）当a＝6时，求方程组的解. 解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a＝4. （2）当a＝6是，原方程组变为, 解得 3.不等式 （1）一元二次不等式 考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知： 当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}； 当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}. 用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≤0. 例3.解不等式x2－5x＋6≥0. 解：令x2－5x＋6＝0, （x－2）（x－3）＝0, 得x＝2或x=3, ∴ 解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）. 例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0. 解：令x2＋（1－a）x－a＝0, （x－a）（x＋1）＝0, 得x＝a或x＝－1, ①若a＜－1，解集为（a，－1）, ②如a＝－1，解集为Φ, ③若a＞－1，解集为（－1，a）. （2）绝对值不等式 不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a； 不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式： （1）│2x－3│≤5 （2）│3x－1│≥7 解：（1）原不等式等价于－5≤2x－3≤5 解得：－1≤x≤4. 所以解集为[－1，4]. （2）原不等式等价于3x－1≤－7或3x－1≥7， 3x－1≤－7的解集为x≤－2， 3x－1≥7的解集为x≥, 所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）. 例6.解不等式│x2－2x－5│＜3. 解：原不等式等价于 x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞）， x2－2x－5＜3的解集为（－2，4）， 所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）. 4.数列 （1）等差数列：相邻两项的差为定值，即an＋1－an＝d，d称为公差. 通项公式：an＝a1＋（n－1）d 前n项和公式： 当m＋n＝k＋l时，am＋an＝ak＋al 特别地有 例7.设{an}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12. 解：因为 2＋11＝3＋10＝13 所以a2＋a11＝a3＋a10＝32, 又因为 6＋7＝13，所以a6＋a7＝32, S12＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192. （2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比. 通项公式：an＝a1qn-1 前n项和公式： 当m＋n＝k＋l时，aman＝akal 特别地有 例8.设{an}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值. 解： 所以q＝±2 a10＝a5·q5＝48×（±2）5＝±1536 因为2＋6＝3＋5＝8 所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576. 1.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念 集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类： N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系 元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B. 例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？ 解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2. 所以C＝{1，2}，从而A＝C. 4.空集 不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集. 例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ 5.集合的示方法：列举法，描述法 一般的，有限集用列举法，无限集用描述法 闭区间：[a，b]＝{x│a≤x≤b，x∈R}； 开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}； 半开半闭区间： 左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≤b，x∈R}， 左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≤x＜b，x∈R}； （－∞，b]＝{x│x≤b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≥a，x∈R}； 点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用Ua表示； 点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为Na. 6.集合之间的运算 （1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B. A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A. 例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B. 解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}. 例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≤2}，求：A∪B. 解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}. （2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B. A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A 例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}， 求：A∩B. 解：A∩B＝{2，4}. 例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≤3}，求：A∩B. 解：A∩B＝{x│1＜x≤3}. （3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A－B. A－B＝{x│x∈A但xB}. 例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B. 解：A－B＝{1，3}. 7.一些逻辑符号 p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果pq，qp同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作pq. 1.2　函数的概念与图形 1.2.1 函数的概念 1.定义 设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x∈D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D. 也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0∈D时，称f（x0）为函数在点x0处的函数值.数集D叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数W＝{y│y＝f（x），x∈D}称为函数的值域. 例1.已知：， 求：y的定义域、值域. 解：令1－x2≥0，解得：－1≤x≤1, 所以定义域为[－1，1]. 因为0≤1－x2≤1，所以0≤≤1， 所以值域为[0，1]. 例2.已知：， 求：y的定义域、值域. 解：根据题意，得， 解得－1＜x＜1，所以定义域为（－1，1）， 因为 0＜≤1，从而， 所以值域为[1，＋∞）. 2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域. 约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化. 例3.判断下列两个函数是否相等， （1）y＝x＋3； （2）. 例4.求函数的定义域. 解：根据题意，得 解得:2≤x＜3或3＜x＜5， 所以定义域为[2，3）∪（3，5）. 3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法. 1.2.2 函数的图形 1.函数图形的概念 函数y＝f（x），x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}. 常见的几个幂函数的图形： 2.函数的性质 （1）有界性 函数f（x），x∈D，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有的x都有不等式m≤f（x）≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则称无界. 　 例5.判断下面函数在其定义域是否有界， （1）y=sinx， （2）. （2）单调性 设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调增加，称f（x）是D上的单调增加函数，称D是函数f（x）的单调增加区间. 设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调减少，称f（x）是D上的单调减少函数，称D是函数f（x）的单调减少区间. 例6.求y＝ x2的单调性. 解：任取x1＜x2＜0， x12－x22＝（x1－x2）（x1＋x2）＞0, 所以y＝x2在（－∞，0）上单调减少. 同理可得：y＝ x2在（0，＋∞）上单调增加. 例7.求y ＝sinx的单调性. 解： y＝sinx的图像如图， y=sinx在（2kπ－，2kπ＋）上单调增加， 在（2kπ＋，2kπ＋）上单调减少. （3）奇偶性 设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有 f（﹣x）＝f（x）， 称 f（x） 为偶函数； 设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有 f（﹣x）＝﹣f（x）， 称 f（x） 为奇函数. 例8.判断下面函数的奇偶性 （1） （2） 解：（1） 因为，所以定义域为R. 所以f（x）为奇函数. （2） 因为ax－a-x≠0，故x ≠0， 所以定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 所以f（x）为奇函数. （4）幂函数的性质 形如y＝xα的函数为幂函数，其中α为任意常数. 性质： 对任意实数α，曲线y＝xα都通过平面上的点（1，1）； α＞0时，y＝xα在（0，+∞）单调增加； α＜0时，y＝xα在（0，+∞）单调减少； α为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）； α为偶数时，y＝xα为偶函数； α为奇数时，y＝ xα为奇函数； α为负整数时，幂函数的定义域是 （－∞，0）∪（0，+∞）. 幂函数y＝xα（α是常数）的图形： 1.2.3 分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形： 例10.画出下面分段函数的图形： 例11.求下面分段函数定义域并画出图形. 1.3　三角函数、指数函数、对数函数 … … (剩余部分略) 完整免费版请访问—— www.xw-note.cn 1.4 函数运算 1.4.1函数的四则运算 定义1.10 设函数f（x），g（x）都在D上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下： （1）加法运算 （f＋g）（x）＝f（x）＋g（x），x∈D . （2）数乘运算 （kf）（x）＝kf（x），x∈D. （3）乘法运算 （fg）（x）＝f（x）g（x），x∈D . （4） 除法运算 g（x）≠0， x∈D. 其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值. 例1. 已知f（x）=ln（1＋x），g（x）=1－cosx，求 . 解 因为函数f（x）=ln（1＋x）的定义域为（－1，+∞），函数g（x）=1－cosx 的定义域为（－∞，+∞），且当x=2 kπ（k为整数）时，g（x）=0，所以， ，x∈（－1， +∞）\{2kπ}（k为整数） 1.4.2复合函数 如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为Df和Dg ，值域分别是 Zf 和Zg.. 当ZgDf 时，对于任意x∈Dg,都有唯一的g（x）∈ZgDf,，从而有唯一的f（g（x））∈Zf与x∈Dg对应，这样就确定了一个从Dg到Zf的函数，此函数称为 f和g的复合函数，记作 重点是学会函数的分解与复合。 例2. 分解下列复合函数 （1） ；（2） 。 解：（1）y=arcsinu，y=av， （2）y=sin2u，u=lnv，v=x3+1 例3.求下列复合函数的表达式和定义域 （1）f（x）=lgx，g（x）=2x （2）f（x）=arcsinx， 解：（1）f（g（x））=lg2x=xlg2，定义域为R， （2） ， 令 解得：1≤x≤2， 所以定义域为[1,2]. 例4. 求下列复合函数的表达式 （1） 设，求 。 解：令x－1=t，则x=t+1， 则f（t）=（t+1）3－1=t3+3t2+3t, 所以f（x） =x3+3x2+3x. （2） 设 ，求 。 解：x+1=t,则x=t－1， 当0≤t－1≤1，即1≤t≤2时，g（t）=（t－1）2=t2－2t+1， 当1f（x） 　（D） f（f（x））>f（x） 答案：B 解析：令f（x）>0，得x∈R， 所以f（f（x））=f（x）. （4）已知 若f（g（x））=lnx,则g（x）=（　）. （A） （B） （C） （D） 答案：B 解析：令x－1=t，则x=t+1， 则 所以 所以 1.4.3初等函数 1.基本初等函数 常见的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，称为基本初等函数 2.初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的函数，称为初等函数。 1.5经济学中的常用函数 1.5.1需求函数与供给函数 1.需求函数 商品需求量Q与其价格P之间的函数关系Q＝Q（P）称为需求函数.一般地，需求函数是一个单调递减函数. 常见的几种需求函数模型如下： （1）线性需求函数：Q＝a－bP，其中a，b是非负常数. （2）二次曲线需求函数：Q＝a－bP－cP2，其中a,b,c 是非负常数. （3）指数需求函数：Q＝Ae－bp，其中A，b是非负常数. 2.供给函数 商品供给量S与其价格P之间的函数关系S＝S（P）称为供给函数.一般地，供给函数是一个单调递增函数. 常见的几种供给函数模型如下： （1）线性供给函数：S＝a＋bP，其中a，b是非负常数. （2）二次曲线供给函数：S＝a＋bP＋cP2，其中a，b，c是非负常数. （3）指数供给函数：S＝AebP，其中A，b是非负常数. 当供给量与需求量相等，即 时，这时的价格 称为均衡价格；这时的商品数量 称为均衡数量. 例1.已知某种商品的需求量Q和供给量S与其价格P满足的关系式分别为Q2－20Q－P＋99＝0和3S2＋P－123＝0，求该商品的市场均衡价格和均衡数量. 解：令Q＝S，由Q2－20Q－P＋99＝0与3S2＋P－123＝0，得 由3S2＋P－123＝0与 ，解得S＝－1（舍去）和S＝6. 当S＝6时，解得P＝15.故均衡价格为15，均衡数量为6. 1.5.2成本函数 一般地，总成本C可分为两部分，分别是固定成本C1和可变成本C2.C1是一个与产品数量无关的常数，C2与产品的数量q有关，是q的函数，记作C2（q）.所以， 总成本C（q）＝固定成本＋可变成本＝C1＋C2（q）. 平均成本指的是总成本与产品数量之比 记作 . 常见的成本函数模型是： （1）线性成本函数：C（q）＝C1＋cq,其中c是单位产品的可变成本. （2）二次成本函数：C（q）＝C1＋bp＋cq2. 例2.已知某产品的总成本函数为 求生产50件该产品时的总成本与平均成本. 解：所求总成本为 平均成本为 1.5.3收益函数与利润函数 1.收益函数 收益指的是出售商品得到的总收入，等于出售单价与售出总量的乘积，即 总收益函数R＝R（q）＝qP（q）， 其中R表示收益，q表示售出的商品总量，P（q）是商品的单价与售出量的关系，是该商品的价格函数. 平均收益函数为 2.利润函数 在供需平衡时，某种产品获得的总利润等于出售该产品获得的总收益与生产该产品付出的总成本之差，即 总利润函数＝L＝L（q）＝R（q）－C（q）， 其中，L表示总利润，q表示产品数量. 平均利润函数为 当L＝L（q）＝ R（q）－C（q）>0时，是有盈余生产； 当L＝L（q）＝ R（q）－C（q）<0时，是亏损生产； 当L＝L（q）＝ R（q）－C（q）＝0时，是无盈余生产，无盈余生产时的产量q0称为无盈亏点. 例3. 已知生产某商品的总成本为C（q）＝20＋2q＋ q2（万元）.若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产20件该商品时的总利润和平均利润. 解：总利润为 L（q）＝ R（q）－C（q）＝ 20q－（20＋2q＋ q2）＝18q－ q2－20， 所求总利润为L（20）＝140（万元）；平均利润为 第二章　极限和连续 2.1　函数极限的概念 2.1.1函数在 时的极限 1. 函数在一点的极限 … … (剩余部分略) 完整免费版请访问—— www.xw-note.cn 前　言 《高等数学一》共6章 第一章　函数 1.主要是对高中知识的复习； 2.为今后知识打下良好的基础； 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章　极限和连续 主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础； 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章　导数与微分 主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章　微分中值定理和导数的应用 主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题； 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章　一元函数积分学 主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念； 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章　多元函数微积分 主要是学习多元函数的微积分的计算； 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章　函数 1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式. （1）求根公式： 当△＞0时，方程有两个不同的实根： 当△＝0时，方程有一个二重实根： 当△＜0时，方程有一对共轭复根： （2）根与系数的关系（韦达定理）： （3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下. 对称轴 顶点坐标　 例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？ 结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根. 解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得 解得 2.二元一次方程组 两个未知量x，y满足的形如 INCLUDEPICTURE "H:\\zikao365\\class\\jichu\\public\\gdsxy\\打包\\gdsxy0101\\kcjy\\0101\\79DEBA52958CE9D7AFF01A109915C662.gif" \* MERGEFORMATINET 的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解； 当时，方程组无解； 当时，方程组有无穷多解. 例2.已知方程组 INCLUDEPICTURE "H:\\zikao365\\class\\jichu\\public\\gdsxy\\打包\\gdsxy0101\\kcjy\\0101\\7CBBF0B517B62A00A7902622399F6646.gif" \* MERGEFORMATINET （1）若方程组有无穷多解，求a的值； （2）当a＝6时，求方程组的解. 解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a＝4. （2）当a＝6是，原方程组变为, 解得 3.不等式 （1）一元二次不等式 考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知： 当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}； 当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}. 用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≤0. 例3.解不等式x2－5x＋6≥0. 解：令x2－5x＋6＝0, （x－2）（x－3）＝0, 得x＝2或x=3, ∴ 解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）. 例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0. 解：令x2＋（1－a）x－a＝0, （x－a）（x＋1）＝0, 得x＝a或x＝－1, ①若a＜－1，解集为（a，－1）, ②如a＝－1，解集为Φ, ③若a＞－1，解集为（－1，a）. （2）绝对值不等式 不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a； 不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式： （1）│2x－3│≤5 （2）│3x－1│≥7 解：（1）原不等式等价于－5≤2x－3≤5 解得：－1≤x≤4. 所以解集为[－1，4]. （2）原不等式等价于3x－1≤－7或3x－1≥7， 3x－1≤－7的解集为x≤－2， 3x－1≥7的解集为x≥, 所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）. 例6.解不等式│x2－2x－5│＜3. 解：原不等式等价于 x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞）， x2－2x－5＜3的解集为（－2，4）， 所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）. 4.数列 （1）等差数列：相邻两项的差为定值，即an＋1－an＝d，d称为公差. 通项公式：an＝a1＋（n－1）d 前n项和公式： 当m＋n＝k＋l时，am＋an＝ak＋al 特别地有 例7.设{an}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12. 解：因为 2＋11＝3＋10＝13 所以a2＋a11＝a3＋a10＝32, 又因为 6＋7＝13，所以a6＋a7＝32, S12＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192. （2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比. 通项公式：an＝a1qn-1 前n项和公式： 当m＋n＝k＋l时，aman＝akal 特别地有 例8.设{an}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值. 解： 所以q＝±2 a10＝a5·q5＝48×（±2）5＝±1536 因为2＋6＝3＋5＝8 所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576. 1.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念 集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类： N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系 元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B. 例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？ 解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2. 所以C＝{1，2}，从而A＝C. 4.空集 不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集. 例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ 5.集合的表示方法：列举法，描述法 一般的，有限集用列举法，无限集用描述法 闭区间：[a，b]＝{x│a≤x≤b，x∈R}； 开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}； 半开半闭区间： 左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≤b，x∈R}， 左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≤x＜b，x∈R}； （－∞，b]＝{x│x≤b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≥a，x∈R}； 点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用Ua表示； 点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为Na. 6.集合之间的运算 （1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B. A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A. 例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B. 解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}. 例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≤2}，求：A∪B. 解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}. （2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B. A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A 例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}， 求：A∩B. 解：A∩B＝{2，4}. 例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≤3}，求：A∩B. 解：A∩B＝{x│1＜x≤3}. （3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A－B. A－B＝{x│x∈A但xB}. 例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B. 解：A－B＝{1，3}. 7.一些逻辑符号 p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果pq，qp同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作pq. 1.2　函数的概念与图形 1.2.1 函数的概念 1.定义 设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x∈D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D. 也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0∈D时，称f（x0）为函数在点x0处的函数值.数集D叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数W＝{y│y＝f（x），x∈D}称为函数的值域. 例1.已知：， 求：y的定义域、值域. 解：令1－x2≥0，解得：－1≤x≤1, 所以定义域为[－1，1]. 因为0≤1－x2≤1，所以0≤≤1， 所以值域为[0，1]. 例2.已知：， 求：y的定义域、值域. 解：根据题意，得， 解得－1＜x＜1，所以定义域为（－1，1）， 因为 0＜≤1，从而， 所以值域为[1，＋∞）. 2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域. 约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化. 例3.判断下列两个函数是否相等， （1）y＝x＋3； （2）. 例4.求函数的定义域. 解：根据题意，得 解得:2≤x＜3或3＜x＜5， 所以定义域为[2，3）∪（3，5）. 3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法. 1.2.2 函数的图形 1.函数图形的概念 函数y＝f（x），x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}. 常见的几个幂函数的图形： 2.函数的性质 （1）有界性 函数f（x），x∈D，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有的x都有不等式m≤f（x）≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则称无界. 　 例5.判断下面函数在其定义域是否有界， （1）y=sinx， （2）. （2）单调性 设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调增加，称f（x）是D上的单调增加函数，称D是函数f（x）的单调增加区间. 设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调减少，称f（x）是D上的单调减少函数，称D是函数f（x）的单调减少区间. 例6.求y＝ x2的单调性. 解：任取x1＜x2＜0， x12－x22＝（x1－x2）（x1＋x2）＞0, 所以y＝x2在（－∞，0）上单调减少. 同理可得：y＝ x2在（0，＋∞）上单调增加. 例7.求y ＝sinx的单调性. 解： y＝sinx的图像如图， y=sinx在（2kπ－，2kπ＋）上单调增加， 在（2kπ＋，2kπ＋）上单调减少. （3）奇偶性 设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有 f（﹣x）＝f（x）， 称 f（x） 为偶函数； 设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有 f（﹣x）＝﹣f（x）， 称 f（x） 为奇函数. 例8.判断下面函数的奇偶性 （1） （2） 解：（1） 因为，所以定义域为R. 所以f（x）为奇函数. （2） 因为ax－a-x≠0，故x ≠0， 所以定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 所以f（x）为奇函数. （4）幂函数的性质 形如y＝xα的函数为幂函数，其中α为任意常数. 性质： 对任意实数α，曲线y＝xα都通过平面上的点（1，1）； α＞0时，y＝xα在（0，+∞）单调增加； α＜0时，y＝xα在（0，+∞）单调减少； α为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）； α为偶数时，y＝xα为偶函数； α为奇数时，y＝ xα为奇函数； α为负整数时，幂函数的定义域是 （－∞，0）∪（0，+∞）. 幂函数y＝xα（α是常数）的图形： 1.2.3 分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形： 例10.画出下面分段函数的图形： 例11.求下面分段函数定义域并画出图形. 1.3　三角函数、指数函数、对数函数 … … (剩余部分略) 完整免费版请访问—— www.xw-note.cn 1.4 函数运算 1.4.1函数的四则运算 定义1.10 设函数f（x），g（x）都在D上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下： （1）加法运算 （f＋g）（x）＝f（x）＋g（x），x∈D . （2）数乘运算 （kf）（x）＝kf（x），x∈D. （3）乘法运算 （fg）（x）＝f（x）g（x），x∈D . （4） 除法运算 g（x）≠0， x∈D. 其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值. 例1. 已知f（x）=ln（1＋x），g（x）=1－cosx，求 . 解 因为函数f（x）=ln（1＋x）的定义域为（－1，+∞），函数g（x）=1－cosx 的定义域为（－∞，+∞），且当x=2 kπ（k为整数）时，g（x）=0，所以， ，x∈（－1， +∞）\{2kπ}（k为整数） 1.4.2复合函数 如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为Df和Dg ，值域分别是 Zf 和Zg.. 当ZgDf 时，对于任意x∈Dg,都有唯一的g（x）∈ZgDf,，从而有唯一的f（g（x））∈Zf与x∈Dg对应，这样就确定了一个从Dg到Zf的函数，此函数称为 f和g的复合函数，记作 重点是学会函数的分解与复合。 例2. 分解下列复合函数 （1） ；（2） 。 解：（1）y=arcsinu，y=av， （2）y=sin2u，u=lnv，v=x3+1 例3.求下列复合函数的表达式和定义域 （1）f（x）=lgx，g（x）=2x （2）f（x）=arcsinx， 解：（1）f（g（x））=lg2x=xlg2，定义域为R， （2） ， 令 解得：1≤x≤2， 所以定义域为[1,2]. 例4. 求下列复合函数的表达式 （1） 设，求 。 解：令x－1=t，则x=t+1， 则f（t）=（t+1）3－1=t3+3t2+3t, 所以f（x） =x3+3x2+3x. （2） 设 ，求 。 解：x+1=t,则x=t－1， 当0≤t－1≤1，即1≤t≤2时，g（t）=（t－1）2=t2－2t+1， 当1f（x） 　（D） f（f（x））>f（x） 答案：B 解析：令f（x）>0，得x∈R， 所以f（f（x））=f（x）. （4）已知 若f（g（x））=lnx,则g（x）=（　）. （A） （B） （C） （D） 答案：B 解析：令x－1=t，则x=t+1， 则 所以 所以 1.4.3初等函数 1.基本初等函数 常见的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，称为基本初等函数 2.初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的函数，称为初等函数。 1.5经济学中的常用函数 1.5.1需求函数与供给函数 1.需求函数 商品需求量Q与其价格P之间的函数关系Q＝Q（P）称为需求函数.一般地，需求函数是一个单调递减函数. 常见的几种需求函数模型如下： （1）线性需求函数：Q＝a－bP，其中a，b是非负常数. （2）二次曲线需求函数：Q＝a－bP－cP2，其中a,b,c 是非负常数. （3）指数需求函数：Q＝Ae－bp，其中A，b是非负常数. 2.供给函数 商品供给量S与其价格P之间的函数关系S＝S（P）称为供给函数.一般地，供给函数是一个单调递增函数. 常见的几种供给函数模型如下： （1）线性供给函数：S＝a＋bP，其中a，b是非负常数. （2）二次曲线供给函数：S＝a＋bP＋cP2，其中a，b，c是非负常数. （3）指数供给函数：S＝AebP，其中A，b是非负常数. 当供给量与需求量相等，即 时，这时的价格 称为均衡价格；这时的商品数量 称为均衡数量. 例1.已知某种商品的需求量Q和供给量S与其价格P满足的关系式分别为Q2－20Q－P＋99＝0和3S2＋P－123＝0，求该商品的市场均衡价格和均衡数量. 解：令Q＝S，由Q2－20Q－P＋99＝0与3S2＋P－123＝0，得 由3S2＋P－123＝0与 ，解得S＝－1（舍去）和S＝6. 当S＝6时，解得P＝15.故均衡价格为15，均衡数量为6. 1.5.2成本函数 一般地，总成本C可分为两部分，分别是固定成本C1和可变成本C2.C1是一个与产品数量无关的常数，C2与产品的数量q有关，是q的函数，记作C2（q）.所以， 总成本C（q）＝固定成本＋可变成本＝C1＋C2（q）. 平均成本指的是总成本与产品数量之比 记作 . 常见的成本函数模型是： （1）线性成本函数：C（q）＝C1＋cq,其中c是单位产品的可变成本. （2）二次成本函数：C（q）＝C1＋bp＋cq2. 例2.已知某产品的总成本函数为 求生产50件该产品时的总成本与平均成本. 解：所求总成本为 平均成本为 1.5.3收益函数与利润函数 1.收益函数 收益指的是出售商品得到的总收入，等于出售单价与售出总量的乘积，即 总收益函数R＝R（q）＝qP（q）， 其中R表示收益，q表示售出的商品总量，P（q）是商品的单价与售出量的关系，是该商品的价格函数. 平均收益函数为 2.利润函数 在供需平衡时，某种产品获得的总利润等于出售该产品获得的总收益与生产该产品付出的总成本之差，即 总利润函数＝L＝L（q）＝R（q）－C（q）， 其中，L表示总利润，q表示产品数量. 平均利润函数为 当L＝L（q）＝ R（q）－C（q）>0时，是有盈余生产； 当L＝L（q）＝ R（q）－C（q）<0时，是亏损生产； 当L＝L（q）＝ R（q）－C（q）＝0时，是无盈余生产，无盈余生产时的产量q0称为无盈亏点. 例3. 已知生产某商品的总成本为C（q）＝20＋2q＋ q2（万元）.若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产20件该商品时的总利润和平均利润. 解：总利润为 L（q）＝ R（q）－C（q）＝ 20q－（20＋2q＋ q2）＝18q－ q2－20， 所求总利润为L（20）＝140（万元）；平均利润为 第二章　极限和连续 2.1　函数极限的概念 2.1.1函数在 时的极限 1. 函数在一点的极限 … … (剩余部分略) 完整免费版请访问—— www.xw-note.cn 前　言 《高等数学一》共6章 第一章　函数 1.主要是对高中知识的复习； 2.为今后知识打下良好的基础； 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章　极限和连续 主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础； 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章　导数与微分 主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章　微分中值定理和导数的应用 主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题； 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章　一元函数积分学 主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念； 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章　多元函数微积分 主要是学习多元函数的微积分的计算； 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章　函数 1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式. （1）求根公式： 当△＞0时，方程有两个不同的实根： 当△＝0时，方程有一个二重实根： 当△＜0时，方程有一对共轭复根： （2）根与系数的关系（韦达定理）： （3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下. 对称轴 顶点坐标　 例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？ 结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根. 解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得 解得 2.二元一次方程组 两个未知量x，y满足的形如 INCLUDEPICTURE "H:\\zikao365\\class\\jichu\\public\\gdsxy\\打包\\gdsxy0101\\kcjy\\0101\\79DEBA52958CE9D7AFF01A109915C662.gif" \* MERGEFORMATINET 的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解； 当时，方程组无解； 当时，方程组有无穷多解. 例2.已知方程组 INCLUDEPICTURE "H:\\zikao365\\class\\jichu\\public\\gdsxy\\打包\\gdsxy0101\\kcjy\\0101\\7CBBF0B517B62A00A7902622399F6646.gif" \* MERGEFORMATINET （1）若方程组有无穷多解，求a的值； （2）当a＝6时，求方程组的解. 解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a＝4. （2）当a＝6是，原方程组变为, 解得 3.不等式 （1）一元二次不等式 考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知： 当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}； 当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}. 用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≤0. 例3.解不等式x2－5x＋6≥0. 解：令x2－5x＋6＝0, （x－2）（x－3）＝0, 得x＝2或x=3, ∴ 解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）. 例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0. 解：令x2＋（1－a）x－a＝0, （x－a）（x＋1）＝0, 得x＝a或x＝－1, ①若a＜－1，解集为（a，－1）, ②如a＝－1，解集为Φ, ③若a＞－1，解集为（－1，a）. （2）绝对值不等式 不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a； 不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式： （1）│2x－3│≤5 （2）│3x－1│≥7 解：（1）原不等式等价于－5≤2x－3≤5 解得：－1≤x≤4. 所以解集为[－1，4]. （2）原不等式等价于3x－1≤－7或3x－1≥7， 3x－1≤－7的解集为x≤－2， 3x－1≥7的解集为x≥, 所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）. 例6.解不等式│x2－2x－5│＜3. 解：原不等式等价于 x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞）， x2－2x－5＜3的解集为（－2，4）， 所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）. 4.数列 （1）等差数列：相邻两项的差为定值，即an＋1－an＝d，d称为公差. 通项公式：an＝a1＋（n－1）d 前n项和公式： 当m＋n＝k＋l时，am＋an＝ak＋al 特别地有 例7.设{an}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12. 解：因为 2＋11＝3＋10＝13 所以a2＋a11＝a3＋a10＝32, 又因为 6＋7＝13，所以a6＋a7＝32, S12＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192. （2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比. 通项公式：an＝a1qn-1 前n项和公式： 当m＋n＝k＋l时，aman＝akal 特别地有 例8.设{an}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值. 解： 所以q＝±2 a10＝a5·q5＝48×（±2）5＝±1536 因为2＋6＝3＋5＝8 所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576. 1.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念 集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类： N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系 元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B. 例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？ 解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2. 所以C＝{1，2}，从而A＝C. 4.空集 不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集. 例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ 5.集合的表示方法：列举法，描述法 一般的，有限集用列举法，无限集用描述法 闭区间：[a，b]＝{x│a≤x≤b，x∈R}； 开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}； 半开半闭区间： 左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≤b，x∈R}， 左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≤x＜b，x∈R}； （－∞，b]＝{x│x≤b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≥a，x∈R}； 点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用Ua表示； 点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为Na. 6.集合之间的运算 （1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B. A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A. 例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B. 解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，1