单纯形

null实验初步 Experimental design实验设计初步 Experimental design陈际达 重庆大学化学化工学院Simplex OptimizationSimplex Optimizationnull传统实验设计方法 正交设计(Orthogonal experimental design) 均匀设计(Uniform experimental design) 单因素实验设计(One-factor experimental design ) 单纯性实验设计 基本单纯形法 (Basic Simplex,1962 Spendley) 改进单纯形法 (Modified Basic Simplex,1965 Nelder) 加权形心法(Weighted Centroid Simplex, Routh) 控制加权形心法 (Controlled Weighted Centroid Simplex)null单纯性实验设计优点 计算简便 不受因素数限制 不受水平范围限制 逐步调优 非线性动态调优 单纯性实验设计不足 需要数字化的目标 存在退化现象 存在往复现象 难以交互作用基本单纯形法基本单纯形法 这里指的单纯形是指多维空间的凸多边形，其顶点的数目比空间的维数多一。例如：二维空间的单纯形是一个三角形；n维空间的单纯形是有n+1个顶点的凸多边形。其中，空间的维数就是我们实验设计中要考虑的因素数 双因素单纯形优化 初始单纯形的构成 设某二因素优化实验，取A(a1,a2)为试验初始点。由于双因素优化的单纯性是一个三角形，因此，还必须有另外两个顶点才能够进行优化实验null 设其余两点分别为B、C，其取值(坐标)有多种方式获得。此处采用等边三角形计算法，即设三角形的边长为a(亦称为步长)，通过计算获得B、C的坐标 由假设条件知：AB、AC、BC间距均为a,若果B点的坐标为：B=(a1+p, a2+q) 根据等边三角形的特点，可以获得另外一个顶点： C =(a1+q, a2+p) null根据假设，有如下方程组null求解上述方程组，可以获得p, q的特殊解null 注：对于q>p>0等其他情况均可以获得求解，只是构成的初始单纯形不同而已，后面有专门介绍初始单纯形构造方法 优化过程及规则 优化过程 实验并获得对应于A、B、C条件的响应值 剔除坏点并获得坏点的反射点D(新点) 由(新点)D点与剩余点构成新单纯形 比较新单纯形的响应值，再剔除坏点寻找新点 如此重复，至获得满意的优化结果 基本单纯形优化规则null 规则1：去掉最坏点，以其反射点为新试验点。当新试验点为新单纯形中的最坏点时，采用规则2 规则2：去掉次坏点，以其反射点为新试验点。如果某试验点经n(单纯形顶点数)次单纯形后仍然保留，则采用规则3 规则3：重复实验、停止优化、缩短步长 重复实验：经n次试验尚未淘汰的点，可能是好点（最优化条件），也可能是假象（不稳定的好点、或试验结果错误）。此时，需要重复实验，如果结果不好，就应该淘汰该点 停止优化：如果重复实验结果仍然很好，且已经达到满意的优化目标，则停止优化进程 缩短步长：如果重复实验结果仍然很好，但未达到满意的优化目标，则缩短步长重新优化null新点计算 计算形心点(centroid point)O 形心点的坐标可由剔除坏点后的剩余点求得 计算新点 举例 设初始单纯形ABC，其中A为坏点，则null多因素单纯形优化 初始单纯形的构成 设有n个因素n+1个顶点构成的n维空间的单纯性，有一个初始点A=(a1,a2,,an)步长为a，则其余各点的计算与二维空间相似N,p,q关系值N,p,q关系值null 单纯形的优化过程 单纯形的优化过程中，坏点的剔除、形心点、新点的计算方法，优化规则均与双因素单纯形优化法相同 特殊方法 直角单纯形法 初始单纯形的构成 广义的直角单纯形的顶点（n因素优化） null 直角单纯形的特点 可以对不同量纲的因素进行优化 不需要共同的步长 双水平单纯形法 因素主次判断 上述的正规和直角单纯形方法，可以帮助我们获得优化实验条件，但没有考察各因素对目标的定量影响能力（正交试验设计可以获得定量影响能力——因素的主次） 其实，采用双水平单纯形设计，也可以获得各因素对目标的定量影响 设每一个因素有两个水平，每一个因素用xij示，其中，i表示第i因素，j表示第j水平，用xi表示第i因素的平均值nullnull按初始单纯形条件实验，获得响应值并进行如下计算null 利用表格数据，可以列出如下的方程组 利用上述方程组，很容易获得各因素的单位响应，各因素的单位响应值即为各因素对实验的定量响应（例题：page189-192） 单纯形的优化 单纯形的优化过程中，坏点的剔除、形心点、新点的计算方法，优化规则均与双因素单纯形优化法相同改进单纯形改进单纯形改进单纯形的基本原理 基本单纯形局限 固定步长难以获得高速度与高精度 改进单纯形原理 通过引入“反射系数α”调整反射距离，使调优过程加速 新点坐标计算null 调优过程及规则 反射点计算及优化 首先按基本单纯形法优化初始单纯形，计算α=1时的反射点，并实验获得结果 判断调优模式 扩大模式 如果反射点的响应值是新单纯形中的最好点，说明优化方向正确，可进一步沿该方向搜寻。此时，取α1(称为扩大) 如果扩大的结果优于反射结果，则扩大成功，可继续扩大，直至获得最大，并进行下一步调优 如果扩大的结果不如反射结果，则扩大失败，仍然采用反射点做下一步调优null 收缩模式 如果反射点的响应值是新单纯形中的最坏点，但是比剔除点的响应值好。此时，取0α1(称为收缩)，并进行下一步调优 内收缩模式 如果反射点的响应值是新单纯形中的最坏点，并且，比剔除点的响应值更坏。此时，取 -1α 0 (称为内收缩)，并进行下一步调优 内整体收缩模式 如果反射方向所有点的响应值都比剔除点的响应值更坏。此时，选择初始单纯形中最好点为起始点，使其他点到起始点的距离调整为原来的一半(步长减半) ，重新开始单纯形优化 null调优过程 改进单纯形调优过程图示加权形心法加权形心法加权形心的基本原理 改进单纯形局限 调优搜寻方向固定为反射方向，而该方向不一定是最佳搜寻方向，使优化速率降低 加权形心法的原理 通过引入“加权系数”调整优化点搜寻方向，使调优过程加速[加权形心点替代反射点] 新点坐标计算公式null控制加权形心法控制加权形心法控制加权形心的基本原理 加权形心法局限 加权形心法使优化点的搜索方向接近最大梯度方向，但是，在某些情况下，搜寻方向过于接近于响应值大的点，使得在垂直于该方向的搜寻能力降低，发生单纯形退化，反而使优化速度下 控制加权形心法的原理 通过引入“参数”调整并控制优化点搜寻方向，避免单纯形的退化 控制参数的计算 由加权形心点到反射点距离与最好点到反射点距离的比值，可以求得控制参数null 控制加权形心点坐标 通过经验参数的选择，控制加权形心点的坐标。实验发现，当经验参数=0.3时，不但可以避免单纯形退化，还可以获得比较好的优化速率 null 新点坐标计算公式 由上述的系列改进过程可见，单纯形的新点坐标可以采用不同方式获得，其最终目的是获得快速优化实验之目的。另一方面，采用不同的方法获得的“坐标参数”，有可能在试验中不能实现，此时需要根据实际情况进行调节，并在后续优化过程中，采用实际使用的参数计算新单纯形坐标。例如：某实验优化中，计算的新点需要压力20MPa，但实际条件只允许5MPa，则以5MPa的条件进行实验，并用于计算新的单纯形（而不能采用20MPa用于新单纯形计算。单纯形优化法的参数选择单纯形优化法的参数选择影响因素的选择 由于单纯形法不受因素数的限制，可以尽量多地考虑实验因素。但是，所选择的因素应当是体系中独立的变量（不能将非独立因素也引入体系） 例如：某实验涉及A、B两物质，在考虑因素数时，考虑了： A、B两物质的总量； A/B(A和B的比率)；A物质量；B物质量。显然，这四个因素不独立，因为，只要知道A物质量和两者的比例，就可以计算出AB物质总量及B物质量null 确定因素后，需要根据试验允许条件、其他参考文献、相关专业知识等，确定各个因素的上下限，并根据试验的要求、允许误差等设置适宜的因素步长，进行优化实验 初始单纯形的构成 初始单纯形的构成方法很多，本节之前曾介绍过等边长法、广义直角三角形法等，但不太适宜于实际使用，以下介绍一些可行的方法 Long系数法 D.E.Long 提出了一种系数表构成初始单纯形的方法。采用表格中的系数与选择的因素步长之乘积，然后与初始点坐标求和即可nullnull 例题：设初始点(10，0.5，2.5)，步长分别为2.0，0.6，0.8，试按Long系数法计算初始单纯形null 该方法具有简便易行的特点，但是，不能保证初始单纯形中包含了比较理想的实验条件，即不能充分利用专业知识和前期研究结果 例如：上述例子中，专业知识和前期结果预测人为：第一因素优化范围应该为10-20，而系数表给出的范围太小了 均匀设计表法 均匀设计表具有一定的优化能力，用均匀设计表构成初始单纯形可以对整个选定范围进行优化，在一定程度上可以促进优化过程的进行，确保优化结果可靠 均匀设计表的选择，可以根据因素数选择均匀表，结合使用表确定采用的列nullU5(54)均匀设计表及其使用表nullU7(76)均匀设计表及其使用表null 例题：设初始点(10，0.5，2.5)，步长分别为2.0，0.6，0.8，试按U5(54)设计初始单纯形 根据均匀表及对应的应用表，可以选用1，2，4 列设计初始单纯形如下null单纯形的收敛 在优化实验过程中，需要考察实验结果是否达到了优化要求，这种考察在统计学上成为收敛 曾经提及：对于n因素的单纯形，如果有一个点，经过n+1次单纯形仍让未被淘汰，一般可以在此点收敛。当考虑实验过程存在统计误差时，设实验结果的标准偏差为，则达到下述条件，可以停止进一步优化