6 高斯投影及其计算

nullnull第六章 高斯投影 及其计算大地测量学基础null第一节 地图投影概念和正形投影性质大地测量学基础一、地图投影及其变形 （一）几何投影及其变形 几何投影——又叫透视投影，有中心投影、平行投影、垂直投影等。 数学投影——是数学的投影，建立椭球面大地坐标（B、L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系。   给定不同的具体条件，得出不同种类的投影。null第一节 地图投影概念和正形投影性质大地测量学基础null第一节 地图投影概念和正形投影性质大地测量学基础null第一节 地图投影概念和正形投影性质（二）投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。 （三）投影长度比与变形指标 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆： 大地测量学基础null第一节 地图投影概念和正形投影性质（四）地图投影的分类 等角投影——投影后角度不变，保持小范围内图形相似。 等面积投影——用于某些专地图，投影后面积不变。 平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。 圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学投影。 圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切，按数字投影。 正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。 斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。 大地测量学基础复习与回顾复习与回顾大地问题解算：正解、反解 勒让德级数 高斯平均引数公式 贝塞尔大地问题解算 地图投影 投影变形 投影长度比 地图投影分类null第一节 地图投影概念和正形投影性质二、正形投影特性 正形投影是使椭球面上的微小图形投影后保持形状相似的一种投影。 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。大地测量学基础null第一节 地图投影概念和正形投影性质三、正形投影的一般条件大地测量学基础null第一节 地图投影概念和正形投影性质大地测量学基础正形投影的必要和充分条件， 柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件 null第一节 地图投影概念和正形投影性质三、正形投影的一般条件 其推证步骤为： 1、从长度比表达式出发 ，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关系式； 2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数； 3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G； 4、根据长度比m与方向A无关，a=b，得E=G； 5、由E=G、F=0得主要条件。大地测量学基础null第一节 地图投影概念和正形投影性质三、正形投影一般公式 根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。大地测量学基础又:所以null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系一、高斯投影的基本概念 大地测量学基础null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系一、高斯投影的基本概念 高斯投影的条件 （1）投影后角度不产生变形，满足正形投影； （2）中央子午线投影后是一条直线； （3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1。 高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线愈远，长度变形愈大。大地测量学基础null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系二、高斯投影的长度比和长度变形 1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m 式中： 2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m 式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。大地测量学基础null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系二、高斯投影的长度比和长度变形 3、长度变形m-1与横坐标y的关系大地测量学基础null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种。 大地测量学基础null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系三、高斯投影的分带 6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式： LN=6N-3 3°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式： Ln=3n 6°带与3°带带号之间的关系为大地测量学基础null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系四、高斯投影计算内容 1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解各点高斯平面坐标（x，y）：先在椭球面上解算球面三角形，推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯平面坐标。（计算工作量大） 2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。大地测量学基础null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系四、高斯投影计算内容 第二种方法的具体推算内容如下: 1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1） 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12； T12=A12-γ+δ12 式中，γ为子午线收敛角，δ12为方向改正。 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12： D12=S12+△S 式中△S为距离改正。 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计算，推求各控制点的平面直角坐标。大地测量学基础null第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系 高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。 大地测量学基础null第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）大地测量学基础null第三节 高斯投影坐标计算一、由（B，L）计算（x，y）－－正算 式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长 为计算点P点与中央子午线 的经差。大地测量学基础null第三节 高斯投影坐标计算大地测量学基础设，，在高斯投影分带中，经差一般仅为或，为一微小量 求出各阶导数null第三节 高斯投影坐标计算一、由（B，L）计算（x，y）－－正算 推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式 x+iy=f（q+il）以及高斯投影的条件推导正算公式，可以将一般公式在q处展为il 的台劳级数。 3、根据中央子午线长度比 m=1，有 4、由   求各阶导数 5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。大地测量学基础null第三节 高斯投影坐标计算二、由（x，y）计算（B，L）－－反算 大地测量学基础null第三节 高斯投影坐标计算反算推证过程： 1、将正形投影公式写成反函数形式 2、在f点（Bf，0）将上式展为iy的台劳级数 f点的坐标为（x+i0）对应大地坐标为（Bf，0） 3、对于f点，F（x）=q，即(F(x))f=qf ，qf为f点等量纬度。 4、求各阶导数并代回上式得： 5、将q、qf变为B-Bf 由B=φ（q）在qf处展为台劳级数，由等量纬度q与B的微分公式求得各系数，得B的计算公式和l的计算公式。 大地测量学基础null第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面一、平面子午线收敛角的计算 1、由大地坐标计算平面子午线收敛角γ 大地测量学基础null第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面一、平面子午线收敛角的计算 2、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角γ 大地测量学基础null第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面二、方向改正计算大地测量学基础null第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面大地测量学基础null第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面大地测量学基础代入得null第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面二、方向改正计算 方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正δ。 适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式 上式的计算精度为0.1″。大地测量学基础null第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面三、距离改正计算 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。大地测量学基础null第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面三、距离改正计算 投影长度比公式：的计算公式， 上式即为大地线长度S归算到高斯平面上直线距离D的计算公式，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归算又可再略去 项。 大地测量学基础null第五节 高斯投影坐标换带计算以下情况需要进行坐标换带计算： （1）当控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带，为了能在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的坐标换算到同一个投影带内。 （2）在分带子午线附近地区测图或进行测量时，往往需要用到另一带内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。 （3）当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形，常要求采用3°带、1.5°带或任意带投影，而国家控制点成果通常只有6°带坐标，这时就产生了6°带与3°带（或1.5°带、任意带）之间的相互坐标换算问题。大地测量学基础null第五节 高斯投影坐标换带计算同一坐标系统不同投影带之间的坐标换算 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；大地测量学基础null第五节 高斯投影坐标换带计算计算程序如下： 首先将某投影带内已知点的平面坐标（x1, y1），按高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大地坐标（B, L）；然后根据纬度和所需换算的投影带的中央子午线经度L0，计算该点在新投影带内的经差l，再按高斯投影坐标正算公式计算该点在新投影带内的高斯平面坐标（x2, y2）。至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。 以具体实例进行讲解 大地测量学基础null第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 通用横轴墨卡托投影(Universal Transverse Mercator Projection)取其前面三个英文单词的大写字母而称UTM投影。从几何意义上讲，UTM投影属于横轴等角割椭圆柱投影，高斯克吕格投影为横轴等角切椭圆柱投影，两者非常相似。满足等角条件和中央子午线投影后成为直线，并为纵坐标轴，只是在通用横轴墨卡托投影中，中央子午线投影长度比不再等于1，而是等于0.9996，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为＝0.9996的高斯投影。该投影由美国军事测绘局1938年提出，1945年开始采用。已被许多国家、地区采用作为大地测量和地形图的投影基础。大地测量学基础null第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介大地测量学基础null第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相一致，使圆锥面与椭球面的一条纬线(纬度)相切，按照正形投影的一般条件和兰勃脱投影的特殊条件，将椭球面上的纬线投影到圆锥面上成为同心圆，子午线投影到圆锥面上成为从圆心发出的辐射直线，然后沿圆锥面某条母线(—般为中央子午线)，将圆锥面切开而展成平面，从而实现了兰勃脱切圆锥投影。如果圆锥面与椭球面上二条纬线(纬度分别为及)相割，则称之为兰勃脱割圆锥投影。大地测量学基础null第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介大地测量学基础null第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介大地测量学基础null第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 我国新编百万分之一地图采用兰勃脱割圆锥投影，按纬差4°进行分带，自赤道由南向北将我国分成14个投影带，采取每带的中纬和边纬的长度变形绝对值相等的条件确定投影常数。 兰勃脱投影是正形正袖圆锥投影，它的长度变形 与经度无关，但随着纬差 ,即纵坐标x的增大而迅速增大，为限制长度变形，采用按纬度的分带投影，因此，这种投影适宜南北狭窄，东西延伸的国家和地区。但与高斯投影相比较，兰勃脱投影子午线收敛角有时过大，精密的方向改化和距离改化公式也较高斯投影要复杂，故目前国际上还是建议采用高斯投影。 )与经度无关，但随纬差大地测量学基础null