圆的典型题

圆的典型题 1.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。 （1） 求证：DE是⊙O的切线； （2） 作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8， （3） 求弦DG的长。 （1）(6′) ：连结OD． ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO． ∵BA=BC， ∴∠A=∠C． ∴∠ADO=∠C． ∴DO∥BC． ∵DE⊥BC ∴DO⊥DE． 又点D在⊙O 上 ∴DE是⊙O的切线 （2）(6′) 解： ∠DOF =∠A+∠ADO = 60° 在Rt⊿DOF中，OD = 4 DF = OD·sin∠DOF = 4·sin60°= 2 ∵直径AB⊥弦DG ∴DF = FG ∴DG = 2DF = 4 2.如图，⊙O是Rt 的外接圆， ，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA = PB． （1）求证：PB是⊙O的切线；（5分） （2）已知 ， ，求⊙O的半径．（5分） （1）证明：连接OB． ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA． ∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA． ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA， 即∠PAO=∠PBO …………………2分 又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°， ∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB ． …………………………………………4分 又∵OB是⊙O半径， ∴PB是⊙O的切线． …………………………………………5分 说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB． （2）解：连接OP，交AB于点D． ∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB． …………………………………7分 ∴∠PAO=∠PDA =90°． 又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA． ∴ ，∴AP2 = PO·DP． 又∵OD = BC = ，∴PO（PO–OD）=AP2． 即：PO2– PO= ，解得 PO=2． ………………9分 在Rt△APO中， ，即⊙O的半径为1． …………10分 说明：求半径时，还可证明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理． 3.如图，半径为2 的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点． (1)求证：PA·PB=PC·PD； (2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD： (3)若AB=8，CD=6，求OP的长． (1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C． ∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴ ，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分 (2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF． 又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°， ∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分 (3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理： ∴OM2＝(2 )2－42＝4，ON2＝(2 )2－32＝11 又易证四边形MONP是矩形，∴OP＝ … 4.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ▲ ， CE的长是 ▲ ． 解：(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90° 又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90° ∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1 又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A ∴∠1﹦∠2, ∴ CF﹦BF﹒ …………………4分 (2) ⊙O的半径为5 ， CE的长是 ﹒ ………4分（各2分） 5.（2010年长沙）已知：AB是⊙O的弦，D是的中点，过B 作AB的垂线交AD的延长线于C． （1）求证：AD＝DC； （2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝EC，求sinC． 证明：连BD∵∴∠A＝∠ABD∴AD＝BD …………………2分 ∵∠A+∠C＝90°，∠DBA+∠DBC＝90°∴∠C＝∠DBC∴BD＝DC ∴AD＝DC ………………………………………………………4分 （2）连接OD∵DE为⊙O切线 ∴OD⊥DE …………………………5分 ∵，OD过圆心 ∴OD⊥AB 又∵AB⊥BC ∴四边形FBED为矩形∴DE⊥BC ……………………6分 ∵BD为Rt△ABC斜边上的中线∴BD＝DC ∴BE＝EC＝DE ∴∠C＝45° …………………………………………………7分 ∴sin∠C= ………………………………………………………………8分 6.如图， 是 的直径， 为圆周上一点， ， 过点 的切线与 的延长线交于点 ． 求证：（1） ； （2） ≌ ． 证明：（1）∵ 是 的直径，∴ ，由 ，∴ 又 ，∴ ∴ ，∴ ．…… 4分 （2）在 中， ，得 ，又 ，∴ ． 由 切 于点 ，得 ． 在 和 中， ∴≌ …… 8分 7.（桂林2010）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F， FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 证明（1）连结OF ∵FH是⊙O的切线 ∴OF⊥FH ……………1分 ∵FH∥BC ， ∴OF垂直平分BC ………2分 ∴ ∴AF平分∠BAC …………3分 （2）证明：由（1）及题设条件可知 ∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD ………………6分 （3）解： 在△BFE和△AFB中 ∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F ∴△BFE∽△AFB ………………7分 ∴ ， ……………8分 ∴ ∴ ……………………9分 ∴ ∴AD= = …………………10分 8.（2010年兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC=AB； （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值. 答案（本题满分10分） 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP ∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线 （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB ∴BC=OC ∴BC=AB (3)连接MA,MB ∵点M是弧AB的中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB ∴ ∴BM2=MC·MN ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM ∵AB=4 ∴BM= ∴MC·MN=BM2=8 9.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线． ．证明：（证法一）连接 ． ∵ 是⊙O的直径， EMBED Unknown． ∵ 是 的中点， EMBED Unknown． EMBED Unknown． ∵ ． 8分 EMBED Unknown．即 ． EMBED Unknown是⊙O的切线． （证法二）连接 ．∵ ， EMBED Unknown． EMBED Unknown． ∵OC=OE．∴∠2=∠4．∴∠1=∠3． 又 ， EMBED Unknown． EMBED Unknown． 10分 EMBED Unknown是⊙O的切线． 10.（2010陕西省）如图，在RT△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE （1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC外界圆的半径 解：（1）∵ DE 垂直平分AC ∴∠DEC=90° ∴DC 为△DEC外接圆的直径 ∴DC的中点 O即为圆心 连结OE又知BE是圆O的切线 ∴∠EBO+∠BOE=90° 在RT△ABC 中 E 斜边AC 的中点 ∴BE=EC ∴∠EBC=∠C 又∵∠BOE=2∠C ∴∠C+2∠C=90° ∴∠C=30° （2）在RT△ABC中AC= ∴EC= AC= ∵∠ABC=∠DEC=90° ∴△ABC∽△DEC ∴ ∴DC= · DEC 外接圆半径为 11.（2010年天津市）已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线， 是切点， 与⊙ 交于点 . （Ⅰ）如图①，若 ， ，求 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若 为 的中点，求证直线 是⊙ 的切线. 解：（Ⅰ）∵ 是⊙ 的直径， 是切线， ∴ . 在Rt△ 中， ， ， ∴ . 由勾股定理，得 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ)如图，连接 、 ， ∵ 是⊙ 的直径， ∴ ，有 . 在Rt△ 中， 为 的中点， ∴ . ∴ . 又 ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . 即 . ∴ 直线 是⊙ 的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 12.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数． （1）证明：连接OE， ∵AB=AC且D是BC中点，∴AD⊥BC． ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA．∴∠OEA=∠DAE．∴OE∥AD． ∴OE⊥BC．∴BC是⊙O的切线． （2）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°∴∠EOB =60°． ∴∠EAO =∠EAG =30°．∴∠EFG =30°．- 13. （莱芜）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D. （1）求线段AD的长度； （2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时， 直线ED与⊙O相切？请说明理由. 解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm． 连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°． ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB． ∴，∴． 2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切． 证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线． ∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD． ∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．∴ED与⊙O相切． 14.（2010，浙江义乌） 如图，以线段 为直径的⊙ 交线段 于点 ，点 是弧AE的中点， 交 于点 ， °， ， ． （1）求 的度数； （2）求证：BC是⊙ 的切线； （3）求MD的长度． 【答案】解：（1）∵∠BOE＝60° ∴∠A ＝ ∠BOE ＝ 30° （2） 在△ABC中 ∵ ∴∠C＝60° 又∵∠A ＝30° ∴∠ABC＝90°∴ ∴BC是⊙ 的切线 （3）∵点M是弧AE的中点 ∴OM⊥AE 　　 在Rt△ABC中 ∵ ∴AB＝ ∴OA＝ ∴OD＝ EMBED Equation.DSMT4 ∴MD＝ 15.如图，AB是 的的直径，BC AB于点B，连接OC交 于点E，弦AD//OC,弦DF AB于点G。 （1）求证：点E是 的中点； （2）求证：CD是 的切线； （3）若 ， 的半径为5，求DF的长。 16.如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． ⑴求证：MN是⊙O的切线； ⑵当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长． 解：⑴证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G， ∴ …………………1分 ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°． ∴ ∴ ……2分 ∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOC＝90°．∴MN是⊙O的切线．……4分 ⑵连接OF，则OF⊥BC．…………………………………5分 由⑴知，△BOC是Rt△，∴ ∵ ∴6×8＝10×OF．∴0F＝4.8． 即⊙O的半径为4.8cm． …………………………………6分 由⑴知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°， ∴△NMC∽△BOC．　　　　　 …………………7分 ∴ ∴MN＝9.6(cm)． …………………………………8分 说明：不带单位不扣分． 17.如图， 为 的直径， 切 于 ， 于 ，交 于 ．（1）求证： 平分 ；（5分） （2）若 ， ，求 的半径．（5分） （1）证明：连接 ， 切 于 ， ． 又 ， EMBED Equation.DSMT4 又 EMBED Equation.DSMT4 ． ，即 平分 ． （2）解：过点 作 于 ， ． 又 EMBED Equation.DSMT4 四边形 为矩形． ， 在 中， ．即 的半径为2． 18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。 （1）求证：AC＝AE； （2）求△ACD外接圆的半径。 （1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴AD为直径。 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴ ，∴ ∴AC＝AE （2）解：∵AC=5，CB=12， ∴AB= ∵AE=AC=5，∴BE=AB-AE=13-5=8 ∵AD是直径，∴∠AED=∠ACB=90°∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBE…∴ ，∴ DE＝ ∴AD＝ ∴△ACD外接圆的半径为 19．(深圳市2008年)如图8，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO． （2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F， 且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝ ，求△ACF的面积． （1）证明：连接BO， 方法一：∵ AB＝AD＝AO ∴△ODB是直角三角形 ∴∠OBD＝90° 即：BD⊥BO ∴BD是⊙O的切线． 方法二：∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABD ∵AB＝AO， ∴∠ABO＝∠AOB 又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180° ∴∠OBD＝90° 即：BD⊥BO ∴BD是⊙O的切线 （2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF∴△ACF∽△BEF ∵AC是⊙O的直径 ∴∠ABC＝90° 在Rt△BFA中，cos∠BFA＝ ∴ 又∵ ＝8∴ ＝18 20.如图14，直线 经过 上的点 ，并且 ， ， 交直线 于 ，连接 ． （1）求证：直线 是 的切线； （2）试猜想 三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若 ， 的半径为3，求 的长． 解：（1）证明：如图3，连接 ． （1分） ， ， ． （2分） 是 的切线． （3分） （2） ． （4分） 是直径， ． ． 又 ， ， ． （5分） 又 ， ． （6分） ． ． （7分） （3） ， ． ， ． （8分） 设 ，则 ． 又 ， ． （9分） 解之，得 ， ． ， ． 21. 是直角三角形， ，以 为直径的 交 于点 ，点 是 边的中点，连结 ． （1）求证： 与 相切； （2）若 的半径为 ， ，求 ． （1）证明：连结 是直径 EMBED Equation.DSMT4 是 的中点 EMBED Equation.DSMT4 又 EMBED Equation.DSMT4 即 但 EMBED Equation.DSMT4 是 的切线（2） EMBED Equation.DSMT4 22.（2007浙江温州）如图，点P在 的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切 于点C，连结BC。 （1）求 的正弦值； （2）若 的半径r＝2cm，求BC的长度。 解：（1）连结OC，因为PC切 于点C， （或：在 ） (2)连结AC，由AB是直 23.（2007山东济宁)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC。 (1)求证：BE为⊙O的切线； (2)如果CD＝6，tan∠BCD＝ ，求⊙O的直径。 24、（2007福建福州）如图8，已知： 内接于 ，点 在 的延长线上， ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，求 的长． （1）证明：如图9，连结 ． ， ． ， ． ， ． 是 的切线． （2）解： ， ． 是等边三角形， ． ， ， 25、（2007山东德州）如图12， 是 的内接三角形， ， 为 中 上一点，延长 至点 ，使 ． （1）求证： ； （2）若 ，求证： ． 证明：（1）在 中， ． 在 中， ． ，（同弧上的圆周角相等）， ． ． ． 在 和 中， ． ． （2）若 ． ． ，又 26、（2007四川成都）如图， 是以 为直径的 上一点， 于点 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 是 的中点，连结 并延长与 相交于点 ，延长 与 的延长线相交于点 ． （1）求证： ； （2）求证： 是 的切线； （3）若 ，且 的半径长为 ，求 和 的长度． （1）证明： 是 的直径， 是 的切线， ． 又 ， ． 易证 ， ． ． ． 是 的中点， ． ． （2）证明：连结 ． 是 的直径， ． 在 中，由（1），知 是斜边 的中点， ． ． 又 ， ． 是 的切线， ． ， 是 的切线． （3）解：过点 作 于点 ． ， ． 由（1），知 ， ． 由已知，有 ， ，即 是等腰三角形． ， ． ， ，即 ． ， 四边形 是矩形， ． ，易证 ． ，即 ． 的半径长为 ， ． ．解得 ． ． ， ． ． 在 中， ， ，由勾股定理，得 ． ．解得 （负值舍去）． ． ［或取 的中点 ，连结 ，则 ．易证 ， ，故 ， ． 由 ，易知 ， ． 由 ，解得 ． 又在 中，由勾股定理，得 ， （舍去负值）．］ 27.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1）求证：AE与⊙O相切； （2）当BC=4,cosC= 时，求⊙O的半径. T P O D C B A 第23题图 Q M （第23题图） O A E C D B （第24题） （第23题图） A C B D E 图8 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A C B D (第21题图) E F O 1 2 O A D B E C 第24题图 H H H A B C O P 图① A B C O P D 图② 第（22）题 A B C O P D Ｃ 图9 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� B A C D E G O F 第20题图 B A C D E G O F O D C B A （第21题图） O D C B A E O B A C E M D Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ 图12 O D G C A E F B P O D G C A E F B P Ｈ PAGE 17 _1338785973.unknown _1988188342.unknown _1988188351.unknown _1988188356.unknown _1988188359.unknown _1988188361.unknown _1988188357.unknown _1988188353.unknown _1988188354.unknown _1988188352.unknown _1988188346.unknown _1988188349.unknown _1988188350.unknown _1988188347.unknown _1988188344.unknown _1988188345.unknown _1988188343.unknown _1988188329.unknown _1988188336.unknown _1988188338.unknown _1988188340.unknown _1988188337.unknown _1988188334.unknown _1988188335.unknown _1988188330.unknown _1988188325.unknown _1988188327.unknown _1988188328.unknown _1988188326.unknown _1339329441.unknown _1339329572.unknown _1988188324.unknown _1339329601.unknown _1339329514.unknown _1339329389.unknown _1339329422.unknown _1307443096.unknown _1337578332.unknown _1337664915.unknown _1337783439.unknown _1338361091.unknown _1338785953.unknown _1337837617.unknown _1338107737.unknown _1338227102.unknown _1337797110.unknown _1337665024.unknown _1337783438.unknown _1337783437.unknown _1337664978.unknown _1337578397.unknown _1337578484.unknown _1337609972.unknown _1337617109.unknown _1337609894.unknown _1337578465.unknown _1337578357.unknown _1337578368.unknown _1337578346.unknown _1337274344.unknown _1337536327.unknown _1337536966.unknown _1337537151.unknown _1337537227.unknown _1337537352.unknown _1337537388.unknown _1337537329.unknown _1337537184.unknown _1337537098.unknown _1337537136.unknown 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