最佳位置应该设置在哪里？

示 ，构造图形，将 、 、y平移至同一起点， 作出以 AB 为直 径 的 圆，动 点 C在 网上，得 m一 一 l A百1．例 5得益于将多元变量的信息置于同一图 形中，明晰其 中的关系，从而获得解题的突破．例 6的 两种证法是通过构造几何图形的面积差来实验的．当 然该题也可进行代数构造：1一Ex+(1一 )][ +(1 一y)][ +(1一 )]，展开获解．几何构造法的特点 是将抽象的不等式证 明直观化 、生动化 ，往往能化繁 为简，出奇制胜 ，还能感受数学的图形之美． 综上 ，在解决多元变量问题的过程 中，发现其背 后是方程思想 、转化思想、数形结合思想 以及类 比、构 造等数学思想方法 的应用．通过这番探讨 ，不仅能有 效提升学生的综合解题能力 ，而且可以培养学生思维 的灵活性和深刻性 ，可 以提升我们对于数学解题 的理 性认识． 1 — 0 — 2 2 。 z0 ⋯ ． 豫t题恩德脯 t—u 一0 问题的一般性 ： 设 + z+⋯+ 一M， (1)当 A1≥1 V4时 ， (1)当 ≥ 时 ， f(x1)=== 1 lz1一 l l+ 2 lz1 +⋯-4- llz1一 1 w 、 w m ¨ 州 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 妻⋯⋯～ 2013年第1-2期 (上甸 ) ＼⋯ ， +⋯+ f z0一z } = 1( 0一 z1)+ 2(zo— 2)+ ⋯ + 一1(z0 一z2{+ 3 l z1一z3 一A2 l I— 2 J+ 3 J J— 3 J+⋯+A J l—z I — 2( 2一 1)+ 3(z3-- x1)+ ⋯ + ( 一z1) ①设 工0< l， f(xo)一 1 f o— 1}+ 2 I o— 2 l-F,~3 J z0--x3 J +⋯+ I 0一z l — 1(z1一 zo)-4- 2(z2一 o)+ 3(z3一 z0)+ ⋯ + (z 一zo)， f(x0)一f(z1)一 1(Xl—z0)+ 2(Xl—Xo) + 3(-zl— 0)+ ⋯ + (z1-- xo) 一 ( 1+ 2+ 3+ ⋯ + )(zl—zo)> 0， 即 f(xo)>-厂(z )． ②设 z。≥z ，不妨设 z ≤z。7 0． 又‘． z。一z1≥0，．’．f(x。)一f(x1)≥0，即 f(xo) ≥f(x )． 故当 z=z 时 ，厂(z)有最小值． (2)当 1+ 2+⋯+ ^一l< M时 ，而 l+ 2+ ⋯ + ㈠ + ≥ ， f(x )一 1 Iz 一z1{+ 2 Ix 一z2 l+ 3 I 一 3 l --x^ 一1)+ (z --xo)+ ⋯ + (z -- x0)， f(x0)一f(x )一 l(z0一 )+ 2(z0一 )+⋯ + 一l(zo-- x )+ (z 一^ zo)+ ⋯ + (z 一zo) = ( 1+ 2+ ⋯ + 一1一 一 ⋯ 一 )(zo--x )． · ．· + + ⋯ + 一 < ， ． ’ ． l+ 2+ ⋯ + 女一l— 一 ⋯ 一 一 2( l+ 2 + ⋯ + 一1)一M < O． ‘． x0一z < O， ． 。 ． f(xo)一f(x女)>0，即 f(xo)>-厂(z々)． ②设 。≥ ，不妨设 z ≤ 。< 川 ，其他情况同 理可证． f(x0)一 1 l z0一z1 I+ 2 l z0一z2 l+ 3 1 zo—z3 l +⋯+ lzo—z l = 1(zo— z1)+ 2( 0一 2)+ ⋯ + (z0一 ) + +l(z什1一 o)+ ⋯ + ( 一 z0)， f(xo)一f(x^ )一 1(zo—z )+A2(z0一 女)+⋯ + (^ o-- ．z^ )+ 女+1( 女-- x0)+ ⋯ + ( 一z0) 一 ( l+ 2+ ⋯ + --i +1一 ⋯ 一 )(z0一x )^． · ． · 。+ + 。+⋯+ ≥ ，z。～z ≥o， ． 。 ． 1+ 2+ ⋯ + 一 +1一 ⋯ 一 一 2( 1+ 2 +⋯十 )一M≥0， ． 。 ．f(xo)一f(x )≥O，即 f(xo)≥f(x )． 故当 z—z 时，，(z)有最小值． 2．3 一般结论 对 >0(i一1，2，⋯， )，37 ∈R，且 zl< 2<⋯ 0 一rain{f(x1)，f(x2)，⋯，f(x ))； (2)当 1-4． 2-4． ⋯ + < 0 一max{f(x1)，f(x2)，⋯，f(x )}； (3)当 -4． 。-4． ⋯ -4． 一 0时，[f(z)] 一rain{f(x1)，f(1z ))，[ (z)] 一max{f( 】)， ，( )}． 4 结论的应用 下面我们选择两道例题进一步分析说明上述结 论如何应用 ，当然有兴趣的读者也可以从其他角度思 考解决． 例 1 (1978年 北京 市 数学竞 赛试题 )图 1是一个 工厂区的地图，一条公路(粗 线)通过这个地区，7个工厂 A1、A2、A3、A4、A5、A 6、A7分 布在这 条公路两 侧，由一些 小路(细线)与公路相连．现 在要在公路上设一个长途汽 车站，车 站 到各 工 厂 (沿 公 图 1 路 、小路走)的距离总和越小越好． (I)这个车站设在什么地方最好? (Ⅱ)如果在 P点的地方又建立一个工厂 ，并且沿 着图 1上的虚线修了一条小路，这时车站设在什么地 方最好? 解法1：(I)由于公路通过工厂区，设小路与公 路相连点分别记为B、c、D、E、F，如图1所示。车站站 点记为 z，车站到各工厂 (沿公路 、小路走)的距 离总 和记为 S，则 S===I —z1 l+ {32—372 i-4-2 I z— 3 I+ I z—z4 l +2 J — 5』 一 l z— l+ I —z2 l+ I z—z。l+l —z。J-4．j z —z4 I+ I z—z 5 l+l z—z5 1． 根据文献[2]得出的结论知，车站站点设在 D 处 ，车站到各工厂的距离总和最小． (Ⅱ)如果在 P点的地方又建立一个工厂 ，则 S===l z～ 1 f+ I —z2 l+2 l z—z3 l+ l z—z l +3I 一375 f = 1 — l 1+1 z—z2 l+1 z一．z3 1+ l 2／7一z3 1+ 1 — z4 l+l z～lz5 l十 l z—z5 l+ I z—z5 1． 一 ≮解题 思想方I芒 根据文献[2]得出的结论知，车站站点设在 D、E 处，车站到各工厂的距离总和最小． 解法 2：(1)由于公路通过工厂区，设小路与公路 相连点分别记为 B、C、D、E、F，如图 1所示．车站站点 记为 ，车站到各工厂 (沿公路、小路走)的距离 总和 记为 S，则 S— I — l-4． 』 — 。l+2 j — 。I-4． I —lz4 f+2 I — 5 f． 々 7 由于1+1<÷，而1+1+2>÷，根据上述结论 厶 厶 知：当 —z。时 ，S最小．即车站站点设在 D处，车站 到各工厂的距离总和最小． (11)如果在 P点的地方又建 立一个 工厂，则 S 一 {z— I+ l 一．Sg。l-4． 2 l z—z。l-4． I 一 } -4．3 J z—z 1． 由于1+1<4—4，而1+1+2≥ 一4，或由于1 厶 +1+1<要一4，而1+1-4．1-4．2>要一4．根据上述结 [一 厶 论知：当5t2一 。或 ．72 时，S最小．即车站站点设在 D、 E处 ，车站到各工厂的距离总和最小． 例 2 在一条公路上 ，每隔 lO0 km有个仓库 ，如 图2所示，共有五个仓库．一号仓库存有 ]0 t货物，二 号仓库存 20 t货物，五号仓库存 40 t货物，其余两个 仓库是空的．现在想把 所有 的货物放在一个仓库里 ， 如果货物运输 1 km／t需要 0．50元运输费，那么最少 要多少运费才行? 三 H 三 H 四 H 亘 图 2 解：以一号仓库为原点建立坐标轴 ，设货物距离 原点为 ．32 km，则 所花 的运 费 为 y一5 J-4．10 l 一 10OI+20lz一400I． 1 1 由于5-4．1o<-；-(5+10．4．20)，而5+1o+2o>~- × (5-4． 10-4． 20)， 根据上述结论知，当 一400时 ， ⋯=5000． 综上所述 ，将货物都运到五号仓 库，最少花费为 5000元 ． 参考文献 ： [1] 贺建勋，段雄伟．由课本一道例题引发的几点思考[J]． 中学数学教学参考：上旬，2012(9)：26—27． [2] 罗增儒．解题案例——一道 O7年高考题的完整求解与 思维测试[J]．中学数学教学参考：上半月，2007(11)： 27—3O．