2高数2-3、2-4

null第三、四节第三、四节二、 无穷大 一、 无穷小 无穷小、无穷大 极限运算法则四、小结与思考三 、 极限 运算法则一、无穷小(Infinite Small)一、无穷小(Infinite Small)当1. 定义1: 若时 , 函数则称函数例如 :函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小 .时为无穷小.null再如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.null2、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性null意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数 　　 和仍是无穷小.null注意: 无穷多个无穷小的代数和未必 　　　是无穷小.null推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷 小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小．定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.二、 无穷大(Infinite Large)二、 无穷大(Infinite Large)定义2 . 若任给 M > 0 ,一切满足不等式的 x , 总有则称函数当时为无穷大, 使对若在定义中将 ①式改为①则记作(正数 X ) ,记作总存在null注意:（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.null不是无穷大．无界，null证无穷小与无穷大的关系:无穷小与无穷大的关系:若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理4. 在自变量的同一变化过程中,Note:三、极限运算法则三、极限运算法则定理5:证由无穷小运算法则,得nullnull推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，定理6 ：若定理6 ：若则有Hint: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由 直接得出结论 。求极限方法举例求极限方法举例解null小结:null解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得null解(消去零因子法)null解(无穷小因子分出法)“ 抓大头”null小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.null解先变形再求极限.null解null解左右极限存在且相等,null定理7: 设且 x 满足时,又则有Note: 若定理中则类似可得复合函数的极限运算法则例8. 求例8. 求解: 令已知∴ 原式 =null例9解四、小结与思考四、小结与思考a、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.b、几点注意:1、无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3） 无界变量未必是无穷大.null2、极限的四则运算法则及其推论;3、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. f.根式有理化求极限4、复合函数的极限运算法则null思考题null思考题解答不能保证.思考及练习思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答: 不存在 .否则由利用极限四则运算法则可知存在 ,与已知条件矛盾.解:原式2.问3. 求3. 求解法 1 原式 =解法 2 令则原式 =4. 试确定常数 a 使4. 试确定常数 a 使解 :令则故因此null思考题 1:思考题2: 设思考题2: 设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故null无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.null练 习 题1nullnull练1null练 习 题2nullnullnull