薛定谔方程数值解

null计算物理计算物理http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics薛定谔方程数值解薛定谔方程数值解薛定谔方程数值解薛定谔方程 定态方程的矩阵解法 含时方程的解法 非线性薛定谔方程解法 薛定谔方程的有限元 √薛定谔方程(1/1)薛定谔方程(1/1)薛定谔方程单粒子多粒子定态薛定谔方程(势能不显含时间)一维的单粒子√定态方程的矩阵解法(1/9)定态方程的矩阵解法(1/9)实对称矩阵的对角化 定理：如果 A 是实对称矩阵，那么存在正交矩阵 R，使得√雅可比方法：基于上述定理，用一系列简单的正交矩阵 RK，逐步将 A 对角化，即选择 RK，令 取 A0 = A，使得当 K 时，AK diag(l1, l2,  , ln) 本征值： l1, l2,  , ln 本征向量：定态方程的矩阵解法(2/9)定态方程的矩阵解法(2/9)对角化 22 实对称矩阵 A√定态方程的矩阵解法(3/9)定态方程的矩阵解法(3/9)对角化 nn 实对称矩阵 A√定态方程的矩阵解法(4/9)定态方程的矩阵解法(4/9)例：计算 33 实对称矩阵 A 的本征值和本征向量A0 = A，选 p = 1, q = 2选 p = 1, q = 3第 9 次√定态方程的矩阵解法(5/9)定态方程的矩阵解法(5/9)久期方程方法例：计算实对称矩阵的本征值问久期方程和本征值本征向量√定态方程的矩阵解法(6/9)定态方程的矩阵解法(6/9)定态薛定谔方程的矩阵解法 有限差分法 例：一维无限深势阱定态薛定谔方程的差分格式差分方程的实对称矩阵和本征值问题√定态方程的矩阵解法(7/9)定态方程的矩阵解法(7/9)波函数有限差分法的步骤 将定态薛定谔方程转化为差分格式 写出差分方程的实对称矩阵，并对角化√定态方程的矩阵解法(8/9)定态方程的矩阵解法(8/9)希耳伯特空间的方法 例：一维无限深线性势阱希耳伯特空间的基矢哈密顿算符和矩阵元√定态方程的矩阵解法(9/9)定态方程的矩阵解法(9/9)步骤 选择适当的象(即基矢)，推导哈密顿矩阵元 计算哈密顿矩阵，并对角化√含时方程的解法(1/10)含时方程的解法(1/10)非本征态的时间演化 特点：初始态  系统的本征态 解法1：有限差分方法解多维扩散方程 一维含时薛定谔方程的差分格式利用 k 时的 y 值，求 k+1 时的 y 值 要求解线性方程组——隐式的√含时方程的解法(2/10)含时方程的解法(2/10)边界条件 束缚态：y = 0 非束缚态：假设初始态是束缚态， x 足够大，在 T 内，x 左右边界处的 y = 0方程组的矩阵形式：√含时方程的解法(3/10)含时方程的解法(3/10)√含时方程的解法(4/10)含时方程的解法(4/10)√含时方程的解法(5/10)含时方程的解法(5/10)例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数 Y 随时间的演化初始态(即 k = 0)：谐振子的基态由 k = 0 的差分方程组，求 k = 1 时刻的波函数 方程未知量已知量√含时方程的解法(6/10)含时方程的解法(6/10)√含时方程的解法(7/10)含时方程的解法(7/10)√含时方程的解法(8/10)含时方程的解法(8/10)由 k = 1 的差分方程组，求 k = 2 时刻的波函数 方程未知量已知量由 k = 2 的差分方程组，求 k = 3 时刻的波函数……n 维含时薛定谔方程的差分格式：Nn  Nn 的矩阵√含时方程的解法(9/10)含时方程的解法(9/10)解法2：(希耳伯特空间的方法)将初始态在基矢上展开 势能函数不含时(Q 表象，基矢是 un ) 写成矩阵形式， Y 和 H 都是矩阵当 Q = H 时，un 是哈密顿量的本征态，H 是对角阵√含时方程的解法(10/10)含时方程的解法(10/10)当 Q  H 时，un 不是哈密顿量的本征态，H 非对角例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数 Y 随时间的演化初始态：谐振子的基态基矢：无限深势阱的能量本征函数常数 cn√非线性薛定谔方程解法(1/10)非线性薛定谔方程解法(1/10)非线性薛定谔方程(Gross-Pitaevskii方程)实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解 希耳伯特空间的迭代法(定态)：非线性项线性化√非线性薛定谔方程解法(2/10)非线性薛定谔方程解法(2/10)例：求解 f = x 2 的一维 G-P 方程( 0  x  l )方程：基矢：哈密顿矩阵元√非线性薛定谔方程解法(3/10)非线性薛定谔方程解法(3/10)l = 5, a = 5√非线性薛定谔方程解法(4/10)非线性薛定谔方程解法(4/10)有限差分的迭代法(一维定态)：非线性项线性化√非线性薛定谔方程解法(5/10)非线性薛定谔方程解法(5/10)例：求解 f = x 2 的一维 G-P 方程( 0  x  l )迭代方程系数矩阵√非线性薛定谔方程解法(6/10)非线性薛定谔方程解法(6/10)有限差分法(一维含时) 二元非线性方程组的迭代法：非线性问题线性化(关键：Jocobi矩阵 J ，初值要接近解) √非线性薛定谔方程解法(7/10)非线性薛定谔方程解法(7/10)多元非线性方程组(关键：Jocobi矩阵 J ，初值接近解) √非线性薛定谔方程解法(8/10)非线性薛定谔方程解法(8/10)例：解非线性方程Jocobi矩阵初值迭代√非线性薛定谔方程解法(9/10)非线性薛定谔方程解法(9/10)有限差分法(一维含时)√非线性薛定谔方程解法(10/10)非线性薛定谔方程解法(10/10)有限差分法(一维含时)(续)√作业作业.22 用Fortran实现，要求将 |Y(x,t)|2 输出到数据文件