3高数3-2

null第二节第二节二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 函数的求导法则 思路:思路:( 构造性定义 )求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了 两个重要极限初等函数求导问题本节内容一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理null证(3)证(1)、(2)略.nullnull推论null注意:分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.例题分析例题分析例1解例2解null例3解同理可得null例4解同理可得null已推导的基本公式:null说明: 类似可得null例6解null二、反函数的求导法则 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调、可导, 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例1. 求反三角函数及指数函数的导数.例1. 求反三角函数及指数函数的导数.解: 1) 设则类似可求得利用, 则2) 设2) 设则小结:null思考题:null三、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经有限次四则运算的结果的导数，但是像等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如 何求它们的导数?先看两个引例．null 仔细分析知:引例1:null引例2:?注意到事实上null——这就是链式法则null在点 x 可导,定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,证:在点 u 可导,故故有即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如,关键:1.搞清复合结构,注意中间变量;2.链式法则——“由外向里，逐层求导”.null例2解例3解null练习1解例4解练习2练习３. 设练习３. 设求解:思考: 若存在 , 如何求的导数?练习４: 设null例5解null例6解:练习5例7:求下列导数:例7:求下列导数:解: (1)(2)(3)说明: 类似可得例8. 设例8. 设解:记则(反双曲正弦)的反函数四、初等函数的求导问题 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数2. 有限次四则运算的求导法则2. 有限次四则运算的求导法则( C为常数 )3. 复合函数求导法则4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数例9. 例9. 求解:练习6.设解:求例10. 例10. 求解:关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导例11. 设例11. 设求解:五、内容小结五、内容小结求导公式及求导法则注意: 1)2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .1.思考与练习对吗?2. 设2. 设其中在因故正确解法:时, 下列做法是否正确?在求处连续,3. 求下列函数的导数3. 求下列函数的导数解: (1)(2)或4. 设4. 设求解: 1 利用导数定义.方法2 利用求导公式.备用题 1. 设备用题 1. 设解：2 . 设解:求null思考题幂函数在其定义域内（ ）.null思考题解答正确地选择是（3）例在定义域内处处可导，null练 习 题nullnullnull