集合的势_可数集与不可数集

可数集集合的势、可数集与不第二节. 集合元素的个数素个数本节主要研究集合的元 . .不就行了嘛还需要研究吗？数一数 数的方法确定个数，但对于有限集，可以用数 最简单的无限集对无限集，怎么数？以 中的元素是无法数的，，即的数是谁我们根本清楚 )1,0( 后面紧挨着数对而言但对于无限集 xx ),1,0(,)1,0(  .,1 还是可以数的即后面紧挨着的是数 Nnn  },,,2,1{  nN  .精力也数不完为例，我们花上毕生的 而且我们知道 确定无限集由此看来用数数的方法是不可数的即 .)1,0( .的元素个数是完全行不通 .的本质特性两个集合元素个数相等 座位集之间的关系引出下面以教室中学生集与 那么下面的无限集”就是无穷“ . },,,2,1{  nN  ? ，还是不同的，是相同的它们的元素个数都是 小？怎样区分？大，哪个哪个  数本不用数，它的元素个也许你会说，无限集根 )( 都可以解决这一节讲完后，这些问 },,,2,1,0{  nA ,Q )1,0( 之间可以与元素个数相等与两个集合 BABA  .建立一一对应 集合的势.1 ,: 11 BAf  若存在 ，相等，记为基数势与对等，或称与则称 BABABA ~)( .. nAnABA  ，则为为有限集，且元素个数若或 为二集，设定义 BA,.1.2.1 .~},,,,5,4,3{.1 NAnA 则设例  NAf :：令 2)(  nnfn .~ NA故的一一对应，到是则 NAf 这是身的某一真子集对等此例说明：无限集与自 . .定义，也可以作为无限集的无限集的一个本质特征 .3},,{,3},,{ 的势为知集如：由 cbacba  . 2)( 的严格单调函数 到值域定义域 是此处 NA xxf  .2例    ,2,,,,2,1 NnnAnN  设  则,,,,,2,2,1,1,0  nnZ  .~~ AZN 令先证证明： .~).1( AN ANf : nnfn 2)(  的一一对应，到是则 ANf .~ AN故 .~).2( ZN再证 ZNf :令 )(nfn 其中 ，)( 12,1 2, )( Nm mnm mnm nf        .~, ZNZNf 故的一一对应到是则 .3例 ),,()1,0(:).1( baf 令证明： ),0( a ),1( b o x y 的一一对应，到是则 ),()1,0( baf ).,(~)1,0( ba故 .到值域的一一对应严格单调函数是定义域 ).,(~),(~)1,0( ba证明： xabaxfx )()(  作线性函的严格单调函数 到值域是定义域：要 .),( )1,0( ba f 由两点式：数即可. , 010 ab ab x ay       .)( xabay 得 ，则令 xxg tan)(  ).,(~) 2 , 2 ().2(   再证 ).,() 2 , 2 (: 11    g ).,(~) 2 , 2 (   故 是任意：设定理 CBA ,,1.2.1 .ABBA  ，或记为 ，的势，记为的势小于，则称，且若 BABABABA  .AB 或 ;~:).1( AA反身性三集，则 ;~;~:).2( ABBA 则对称性 ,~~:).3( CBBA ，传递性 ，有且对若对拼合原则    ,~,:).4( BAI ，，    BBAA  的势，的势不超过则称 BA,~1.2.1 0 BBA 续：若定义 ;~CA则 A  A B  B  11  11 .~     BA II  则 ;;:).6( BABABA  则，伯恩斯坦定理 ;;:).5( CACBBA  则，传递性 . ,,:).7( 其一三者必居其一，且仅居 ，是任意二集，则三歧性 BABABABA  .)6( BABABA  ，：下面只证 ，有，分析：由 BABA  ,: 0 11 BBAf   ,: 0 11 AABg   则如图记 ,01 AAA  B A 0A 0B 3B2B1B 3A2A1A ,01 AA 即 ),( 11 AfB  ),( 12 BgA  ),( 22 AfB  ,0 11 AAB  由于 ，所以 012 )( ABgA  ,21 AA 即 ,21 BB 此时必有 ,)( 2 1 1 xyfx   于是使得 ,)(,)(,, 212211 yxfyxfAxAx  则否则，若 ,21 BBy   .21 矛盾这与 AA f ff gg .}{},{ 互不相交nn BA ,: 0 11 BBAf   ,: 0 11 AABg   ),(),( 1 nnnn AfBBgA   ),(),( 2212 AfBBgA  令 ),(, 1101 AfBAAA  ，所以，证明：由于 BABA  ),,2,1(~ nAB nn由 .~ 11 n n n n AB     及拼合原则得 )()( 11 i i i i BBBB      从而 .A)()(~ 1 0 1 i i i i AAA       且),(,, mnBBAA mnmn  则 0A B n n A  1  n n B  1  g 1A .无限集，即可数集下面研究一类最简单的 可数集.2 };,2,,4,2{.2};,,,2,1{.1  nAnN  ）（）（ .,~ aNAANA 为可数集，记为则称若 ，是任意集合，设定义 },,,2,1{.2.2.1  nNA  .:2.2.1 的元素可排成无穷序列为可数集定理 AA  }.,,,,2,2,1,1,0{.3  nnZ ）（ 可数，知”由证明：“ A .}),(,),2(),1({ 即是无穷序列形式于是  nfffA ANf  11: )(nfn 下列集合皆为可数集：例 .4 )~~2( ZAN：由例 地排成了无穷序列，一般上面三个集合的元素都 .,. nan 总有对任何正整数由此定义知 .为可数集的一一对应，从而到是则 ANAf nafa nn )( 设的元素可排成无穷序列”由“ .A 令},,,,,{ 21  naaaA NAf : .:3.2.1 aAA 为无限集定理 .},,{ 00210 aAAAAaaaA n  ，故，可数集，，  仍为无限集；且为无限集知，由证明 }{,: 11 aAAaA  ；仍为无限集，且于是 ,}{},{ 2112 aaAaAa  :.},,{ 121 令，，同理   nn aaaAa .00 aAAAA  ，则分析：若存在可数集 .集是无限集中势最小者此定理告诉我们：可数 .:4.2.1 0都是可数集的任何无限子集可数集定理 AA .3.2.1: 00 aAA 知为无限集，所以由定理由于证明 ., 000 aAAAaAA  故，所以又可数集 .3.2.1 数集为至多可数集：称空集、有限集、可定义 即是有： 性质，先下面研究可数集的运算 .介绍希尔伯特旅馆 可数集；有限个可数集的并集是 是可数集；有限集与可数集的并集 .可数集可数个可数集的并集是 是可数集；可数集与可数集的并集 .00 aAaA  ，则若能证,0AAa 分析：显然 个集是可特别地，如果其中有一仍为至多可数集. .证明并的情形，分两种情况 有：上面的情形综合起来即 集的交、并、差：至多可数个至多可数定理 5.2.1 .,那么并集必然是可数集可数 .，只需对并的情形证明对交、差运算显然成立 可数集；有限个可数集的并集是).3( 是可数集；有限集与可数集的并集).1( .).4( 可数集可数个可数集的并集是 是可数集；可数集与可数集的并集).2( ）（ aan  ）（ aaa  ）（ ana  ）（ aaa  并的情况具体化就是： .},,,,,,,,{ 2121 可数 nm aaabbbBA  .},,,,,,,{ 2211 可数 nn bababaBA  ,.1 BAo 若 },,,,,{ 21  naaaAA 为无限集，且设 ,},,,{ 21 时当 mbbbB  ,},,,,{ 21 时当  nbbbB  可数，由至多可数，，由于 ABABAB 00   .1 0 可数知， ABAB o   ，且则令  ABABB 00 , ., 都为有限集，结论成立若 BA .,.1 至多可数集至多可数集）证明：（ BABA  ,.2 BAo 若 B 0BA  A .)(.2 1 可数可数）（ i i i ANiA     设，若 ),,(.1 NjijiAA ji o        },,,,,{ },,,,,{ },,,,,{ },,,,,{ 321 33332313 22322212 11312111 nnnnnn n n n aaaaA aaaaA aaaaA aaaaA     .},,,,,,,{ 312213211211 1 可数于是  aaaaaaAi i    ，设有若  ji o AAjiNji ,,,.2 ,,122 AAB  )6(,, 1 1  i n i nn AAB    . 11 可数知 i i i i BA       ）（可数，且，则 2),,( 1  iBBNjijiBB iji  ,11 AB  . 1 0 可数可数时，仍然有且有一个 i i i AA    o1至多可数，由 ）至多可数，（当注意：由上面证明知， NiAi  ..5 可数有理数集例 Q .可数 . 1 可数从而 i i AQ      ),}(,,, 3 , 2 , 1 { Ni i n iii Ai  证明：设 可数，则 iA 可数，，即  QQQ ~ }0{  QQQ所以 .的开区间之集至多可数证明：直线上互不相交 记）存在有理数）且对 .,(,,( barAba ab abrbafba ）） ,(,(  .至多可数于是A .),(,( ）ba 区间之集，则是直线上互不相交的开证明：设A ,QB则 有）对 ,),(,,( Aba   },,({ AbarrB abab  ） .至多可数即B 的一一对应，到是则 ABf BAf :令 .6例 ），结论记住（这是习题 .10 1r 2 r .. 的结果这是一个令人难以置信分布的整数一样多 的有理数与数轴上稀疏这说明数轴上处处稠密 .QZNQ~Z~N 皆可数、、，即注意： 各自、所确定，且、两个相互独立的元素 mnmn .取遍一个可数集 的元素是由可数？集合 ANmnmnA },),({  ., 可数一个可数集，则而每个记号独自地跑遍定 A 个记号所决中每一个元素均由：设定理 nA6.2.1 .},{,1 1111 可数，结论成立时当 aIIxaAn x  ，则证明：设 },,2,1,,{ 21 niaIIxaA iiixxx n   可数；},,2,1,,{ 21 kiaIIxaA iiixxx k   即时结论成立设 ,kn  ,1时当  kn . 1 可数可数，从而由归纳假设知， j j j AAA     记对每一个 ,1 )1(    k k j Ix },,,,,{ )1()1(2 )1( 11     k n kk k xxxI设 },,,2,1,,{ )1( 21 kiaIIxaA iiixxxxj kjk     .).1.(7 点全体是可数集平面上坐标为有理数的例 次整系数多项式全体，对任意正整数 nn).2( }.0,,,,,{ 210 2 210  nn n nn aZaaaaxaxaxaaA  所决定，、由两个记号 yx ）中元素（则 yxQ ,2},,,{).1.( 2 QyxyxQ  ）（设证明： .6.2.1 2可数知，由定理 Q ,Qyx 各自跑遍可数集、且 故跑遍可数集 ,Z 所确定，个记号由 naaaan ,,,,1 210  n nn xaxaxaaxP   2 210)( 且每个记号各自 .},,,,)({ 210 可数ZaaaaxPA nnn   ，对任意正整数n).2( .可数 .).1.(8 1 可数整系数多项式全体例 n n AA     .)2( 的根）全体可数代数数（整系数多项式 .16).1.( 1 可数可数，从而）知（由例证明： n n n AAA     个，所以每一个整系次方程的根至多由于 nn).2( 至多可数而代数数全体为可数个 .aB 故,aNB 所以 又即至多可数从而代数数全体 .. aBB  ，n n BBNnnxxN    1 },0{  知整系由是至多可数集数多项式的根所成之集 )1(. 数多项式全体可数， 集的并集， .的全体是可数集 .9例 为半为心，有理数平面上以有理点证明： ryx ),(. 知，则由定理径的园为 6.2.1),,,( ryxO .可数 },,),,({ QryxryxOA  有理数为半径的园平面上以有理点为心， 集的性质：通过上面讨论知道可数 小的集；可数集是无限集中势最.2 ;.1 列的集都是可数集凡是能排成一个无穷序 可数集；可数集的无限子集仍是.3 ..6 是可数集；可数集个可数集的并集 而每个记个记号所决定集合的每个元素由 ,.7 n 不可数集.3 .集，则此集可数号独自地跑遍一个可数 ？这中的无限集皆是可数集可数？即在全集从而 RR .限集是存在的个结论不对，不可数无 是否也可数？那么无理点集数轴上也处处稠密 QR, 密稠密，而且无理点在有理点在数轴上处处稠 可数集；有限个可数集的并集是.5 并集是可数集；可数集与至多可数集的.4 .)1,0.(10 是不可数无限集例 }.,,,,{)1,0( 21  naaa 可数，设若证明：用反证法 )1,0(. 用十进制小数表示为      ， ， ， nnnnn n n aaaa aaaa aaaa 21 222212 112111 .0 .0 .0    ),( 1,2 1,1 Nn a a b nn nn n       记 .)1,0()1,0( 不可数矛盾，故这与 b ），（ 1,0,.0 21   nbbbb ., nabNn  有则对 }.,,,,{ 21  naaab即 .,)1,0()1,0( acc  则是不可数无限集，记 .)1,0(),1,0(~ cAcAA 势集，有是则称若 ..11 cR 证明：例 ) 2 tan()(    xxfx ),()1,0(: Rf证明：令 内，是定义在则 )1,0(f 的严格单调函数，值域为 ),(  的一一对应，到是从而 Rf )1,0( .cR 故 .],(),[],[),.()1(.12 cbabababa 证明：例 ),()1,0(:).1( baf 令证明： xabaxfx )()(  的一一对应，故到是则 ),()1,0( baf .),( cba  所以又 ),,(],[),(  baba ,),(],[),( cbabac  .],[ cba 即 .],(),[ cbaba 同理可证 ).1,0(~)},(,),({,,).2( dcxbkxyyxLRbk 对 Ldcf ),(:).2( 令 ),()( bkxxxfx  .),(),( cdcLLdcf 的一一对应，故到是则 .势集段、直线都是此例说明平面上任一线 c .)1,0()1,0(.13 2 cRR n 证明：例 ,.0 21  nbbby  ， nnbababayxf 2211.0),(  且则 ),1,0(A ,)1,0()1,0(: 11 Af   .)1,0()1,0()1,0( cA  设),1,0()1,0(),(  yx ,.0 21  naaax  令 )},1,0()1,0(),(),({  yxyxfA记 于是 .)1,0()1,0( c故 又 ,)1,0()1,0()1,0( c所以 ),1,0(~)1,0(}5.0{)1,0()1,0(  .)1,0()1,0().1( c先证证明： .)1,0( )1,0()1,0( 的关系与 尝试建立  10 1 5.0 令再证： .).2( 2 cR  )), 2 tan(), 2 (tan(),(      yxyx  .cRn 同理可证 .)1,0()1,0(2 cR  211)1,0()1,0(: Rg   则 ：他当时写信给戴德金说三年后他证明了 .211 RR   中的点多，但中的点比康托曾试图证明是一样多 RR2. 面上的点与空间中的点这说明直线上的点、平 ”直不能相信它“我看到了它，但我简 . ， 21121121 .0),,,,( aaaxxxf n  );1,0(~}),1,0(),,,,({).1(.14 21 NnxxxxB nn  证例 ).1,0(~}),,(),,,,({).2( 21 NnxxxxE nn    令 ).1(证明：只证      ， ， ， nnnnn n n aaax aaax aaax 21 222212 112111 .0 .0 .0    ，)1,0(: 11   ABf则 又于是 .)1,0( cAB  ,)}1,0(),1.0,,1.0,1.0,({ 11 cxxB   .cB 故 则记 },),,,,(),,,,({ 2121 BxxxxxxfA nn   记,),,,,( 21 Bxxx n   )(;).1(7.2.1 cnccc 势集势集的并集为任意有限个：定理 ).().3( )(;).2( cccccc caccc   势集势集的并集为势个 势集势集的并集为可数个 .cA 故 不相交的情形证明：证明：仅就任意二集互 ),,,2,1().1( nicAi 设 ],,1~ iiAi （则 于是 ],,0(],1~ 11 niiAA n i i n i   （ .,,0(~.2 1 cBAB i i    故）同理）（  势集的运算性质：下面研究c )1,0(: 11 If )( f ，有于是对 I 从而 .cA I      ),1,0()1,0()}1,0()),(({~   yyfA II      )},1,0()),(({~ yyfA  则设 ),,().3( cIIcA   故 10 1 )(f ,8.2.1 个记号所决定中每一个元素均由：设定理 nA .势集为势集，则一个而每个记号独自地跑遍 cAc ，则证明：设 },,2,1,,{ 21 nicAAxaA iiixxx n   )( iii xfx  ),(: 11  ii Af ))(,),(),(( 221121 nnxxx xfxfxfa n  nRAg  11:令 .cRA n 则 的两个运算性质：最后，我们给出无限集 .11 nRAnA  个记号确定，尝试建立中元素由由于 为无限集，证明：由于A ，使且在可数子集 AA 0 由于即 .~)( 00 AABA  ，)]([)()( 00 ABAAAABABA   .至多可数AB 而 ， )]([)( 00 ABAAA  ， 00)( AAA  .)(~)]([)( 0000 AAAAABAAABA   .)0 可数（ ABA  所以 为至多可数集，则为无限集，：设定理 BA9.2.1 .~ ABA 大势集）（大势集并小势集等于 为至多可数集，所以B ,0 AAaA  可数集分析： )]([)( 00 ABAAA   )( ABABA   .)(~ 00 AAAA   为无限集，为至多可数集，：设定理 BAB 10.2.1 .~ ABA则 也为至多所以 BA 知：为无限集，由定理又 9.2.1BA )( BABAA ）（  为至多可数集，证明：由于B 可数集， .).2( 势集是，则可数集 cACRA nR n 是势集；无理数集例 c).1.(15 .).1( cQRcRaQ  ，知，由证明： .,).2( cARACcRaA n R n n  ，知由 .~ BA 大势集）（大势集减小势集等于 ;).1( can  集合势的运算规律： ;).2( aan  ;).3( ana  ;).4( aaa  ;).6( cca  ;).7( cnc  ;).8( cac  ;).9( ccc  ;,,).10( ABAaBaA   .,,).11( ABAaBaBA  )(吞并原则或“大吃小” ;).5( ccn  .16例 令取解： ),1,0(}, 1 ,, 3 1 , 2 1 {.   n A ].1,0[)1,0(: 11 f, )1,0(, , 2 1 , 1 2 1 ,0 )(                Axx Nn n x n x xf 则 .]1,0[)1,0( 之间的一一对应与作出 建立记分析：找可数集 },1,0{),1,0( ABA  .]01[)1,0(,11 作恒等映射在 BABA   .2015131211941 、、、、、页：作业 ],,[],[)(13 0 baxbaxf 单增，在题提示：设 ).0()0()( 000  xfxfxxf 间断，则在若 );()0()0()( 0000 xfxfxfxxf 连续，则在若 ))0(),0(( 000  xfxfx，存在区间对每一个间断点 }],[))0(),0(({B 000 baxxfxf  间断点 )10( 题结论利用 与即间断点集A与之对应， .B至多可数对等，只需证