二次函数的实际应用 有答案

第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问 二次函数的实际应用——最大(小)值问题 知识要点： 二次函数的一般式 ( )化成顶点式 ，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 即当 时，函数有最小值，并且当 ， ； 当 时，函数有最大值，并且当 ， ． 如果自变量的取值范围是 ，如果顶点在自变量的取值范围 内，则当 ， ，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内 随 的增大而增大，则当 时， ，当 时， ； 如果在此范围内 随 的增大而减小，则当 时， ，当 时， ． [例1]：求下列二次函数的最值： （1）求函数 的最值． 解： 当 时， 有最小值 ，无最大值． （2）求函数 的最值． 解： ∵ ，对称轴为 ∴当 ． [例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 解：设涨价（或降价）为每件 元，利润为 元， 为涨价时的利润， 为降价时的利润 则： 当 ，即：定价为65元时， （元） 当 ，即：定价为57.5元时， （元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大． [练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高 元，利润为 元， 则： 当 ， （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润． 2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有 人 ，营业额为 元， 则： 当 ， （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额． x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … [例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 (元)与产品的日销售量 (件)之间的关系如下： 若日销售量 是销售价 的一次函数． ⑴求出日销售量 (件)与销售价 (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 解：⑴设一次函数表达式为 ．则 HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn" EMBED Equation.DSMT4 解得 ，即一次函数表达式为 ． ⑵ 设每件产品的销售价应定为 元，所获销售利润为 元 当 ， （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量 (千克)与销售单价 (元) ( ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出 与 的函数关系式； ⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 的范围(直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b由图象可知， ， 即一次函数表达式为 ． ⑵ ∵ ∴P有最大值．当 时， （元） （或通过配方， ，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元． ⑶∵ ∴31≤x≤34或36≤x≤39． 作业布置： 1．二次函数 ，当x=_-1，_时，y有最_小_值，这个值是 ． 2．某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)． 3．不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是 ，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”) 解： ∵ ，要使 ，只有 ∴ 4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 4.5米 ． 解：当 时， ， 或 （不合题意，舍去） 5．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t- HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn" EMBED Equation.DSMT4 gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m． 解： 当 时， ，所以，最高点距离地面 (米)． 6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S= V2确定；雨天行驶时，这一公式为S= V2．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米． 7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元． 解：设每件价格降价 元，利润为 元， 则： 当 ， （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润． 8．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ． 解：设 ，将点A 代入，得 令 ，得 ， ，∴ (米) 9．在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据： 销售价x（元/千克） … 25 24 23 22 … 销售量y（千克） … 2000 2500 3000 3500 … （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？ 解：（1）由图象可知，y是x的一次函数， 设y=kx+b， ∵点（25，2000），（24，2500）在图象上， ∴ ， ∴y=-500x+14500． （2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500) =-500(x-21)2+32000 ∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500， 当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元． 10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元． (1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式； (2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式． (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x, (2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元, 死蟹的销售额为200x元. ∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000. (3)设总利润为W元 则：W=Q－1000×30－400x=－10x2+500x =－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250. 当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润． 11．为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ． (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解： 当 ， （元） (1) 与 之间的的函数关系式为； (2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) ， （不合题意，舍去） 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元． 12．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为 (吨)时，所需的全部费用 (万元）与 满足关系式 ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价 ， （万元）均与 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用） （1）成果表明，在甲地生产并销售 吨时， ，请你用含 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润 （万元）与 之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售 吨时， （ 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定 的值； （3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？ 解：（1）甲地当年的年销售额为 万元； ． （2）在乙地区生产并销售时， 年利润 ． 由 ，解得 或 ． 经检验， 不合题意，舍去， ． （3）在乙地区生产并销售时，年利润 ， 将 代入上式，得 （万元）；将 代入 ， 得 （万元）． ， 应选乙地． 二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题 [例1]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动． （1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t为何值时s最小，最小值时多少？ 答案： [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何才能使花圃的面积最大？ 解：设花圃的宽为 米，面积为 平方米 则长为： (米) 则： ∵ ∴ ∵ ，∴ 与 的二次函数的顶点不在自变量 的范围内，而当 内， 随 的增大而减小， ∴当 时， (平方米) 答：可设计成宽 米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． [例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y， 则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4） 易知CN=4-x，EM=4-y．过点B作BH⊥PN于点H 则有△AFB∽△BHP ∴ ，即 ，∴ ， ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值 随 的增大而增大， 对于 来说，当x=4时， ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． [例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH． (1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由； (2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH是正方形． 图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE=CF =CG． ∴△CEF是等腰直角三角形 因此四边形EFGH是正方形．　 (2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元 那么：y= x ×30+ ×0.4×(0.4-x)×20+[0.16- x - ×0.4×(0.4-x)×10] 当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1． 答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省． 作业布置： 1．某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 (单位：米)与小球运动时间 (单位：秒)的函数关系式是 ，那么小球运动中的最大高度 4.9米 ． 2．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米． 提示：利用对称性，答案：2080． 3．如图所示，在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为( D ) A． m B．6 m C．15 m D． m 解：AB=x m，AD= ，长方形的面积为y m2 ∵AD∥BC ∴△MAD∽△MBN ∴ ，即 ， , 当 时， 有最大值． 4．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．如图，铅球运动员掷铅球的高度 (m)与水平距离 (m)之间的函数关系式是： ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A．6 m B．12 m C．8 m D．10m 解：令 ，则： （图5） （图6） （图7） 6．某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直， 如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是( B ) A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m 解：顶点为 ，设 ，将点 代入， 令 ，得： ，所以OB=3 7．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（ B ）A．4.6m B．4.5m C．4m D．3.5m 8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)． (1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解： ∵ ∴ ∵二次函数的顶点不在自变量 的范围内， 而当 内， 随 的增大而减小， ∴当 时， (平方米) 答：当 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米． 9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米． (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？ (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 解：(1)∵长为x米，则宽为 米，设面积为 平方米． ∴当 时， (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有 道篱笆，则宽为 米，设面积为 平方米． 则： ∴当 时， (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的 值与中间有多少道隔墙无关． 10．如图，矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式． 解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90° .∴△ABP∽△PCQ. ∴ ． 11．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x ∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵ ，∴ 当x=2.5时，S有最大值12.5 12．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米． 答案：如图所示建立直角坐标系 则：设 将点 ， 代入， ，解得 顶点 ，最低点距地面0.5米． 13．小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得 自变量 的取值范围是 （2）∵ ，∴ 有最大值 当 时， 答：当 为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米． 14．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与投资量 成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润 与投资量 成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元) （1）分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设 = ,由图12-①所示，函数 = 的图像过（1，2），所以2= ， 故利润 关于投资量 的函数关系式是 = ； 因为该抛物线的顶点是原点，所以设 = ，由图12-②所示，函数 = 的图像过（2，2），所以 ， 故利润 关于投资量 的函数关系式是 ； （2）设这位专业户投入种植花卉 万元（ ），则投入种植树木( )万元，他获得的利润是 万元，根据题意，得 = + = = ∵ ∴当 时， 的最小值是14； ∴他至少获得14万元的利润．因为 ， 所以在对称轴 的右侧， 随 的增大而增大 所以，当 时， 的最大值为32． 15．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； （3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由． 解：（1）设正方形的边长为 cm，则 ．即 ． 解得 （不合题意，舍去）， ． 剪去的正方形的边长为1cm． （2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为 cm，盒子的侧面积为 cm2，则 与 的函数关系式为： ．即 ．改写为 ． 当 时， ．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2． （3）有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为 cm，盒子的侧面积为 cm2．若按图1所示的方法剪折，则 与 的函数关系式为： 即 ． 当 时， ． 若按图2所示的方法剪折，则 与 的函数关系式为： ． 即 ． 当 时， ． 比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为 cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为 cm2． 16．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱 的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由． 解：（1）根据题目条件， 的坐标分别是 ． 设抛物线的解析式为 ， 将 的坐标代入 ，得 解得 ． 所以抛物线的表达式是 ． （2）可设 ，于是 从而支柱 的长度是 米． （3）设 是隔离带的宽， 是三辆车的宽度和，则 点坐标是 ． 过 点作 垂直 交抛物线于 ， 则 ． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．