资金价格、利率期限结构和国债收益率曲线

资金价格、利率期限结构和国债收益率曲线 闵晓平1， 田澎2， 吴伟3 （上海交通大学管理学院，上海 200030 1,2，中国人民银行福州中心支行，福州 350002 3） 摘要:资金价格由微观经济行为主体与宏观经济调控主体的决策共同决定；资金价格 的衡量工具是利率。利率期限结构是资金价格确定的基准。在固定时刻，市场上横 截面利率期限结构隐含于普通国债的市场交易之中。在不同时刻，利率期限结构的 动力学模型描述横截面利率期限结构的动态演化过程。因为不是对单一现金流进行 定价，国债收益率曲线一般情形下不能用来表示利率期限结构。 关键词：资金价格，利率，期限结构，国债收益率 Capital Price, the Term Structure of Interest Rates and Government Bond Yield Curve MIN Xiao-ping , TIAN Peng, Wu Wei ( School of Management, Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200030, China, People's Bank of China Fuzhou Central Sub-branch, Fuzhou 350002, China ) Abstract：Capital prices are determined by the decision of the microeconomic agents and macroeconomic policy makers. The tool for measuring capital prices is interest rate. The term structure of interest rates is the benchmark to pricing capital. At a fixed time, market cross-section term structure is implied in the government bond trade. At different time, cross-section follows stochastic process that can be explained by the dynamic term structure models. Not to price unique cash flow, generally government bond yield curve isn’t real term structure of interest rates. Key words: capital price, interest rate, term structure, government bond yield 利率期限结构是经济金融领域的核心概念，它实质是不同期限的资金价格，反 映不同期限资金的供求关系。在市场化利率制度下，利率期限结构的研究对经济金 融理论和金融市场运作均具有重大意义。在西方成熟市场经济国家，利率期限结构 获得了系统、深入的研究。相对而言，我国在利率期限结构上的研究是伴随着利率 市场化改革的逐步推进而不断升温的。然而，到目前为止，我国在利率期限结构的 1闵晓平，男， 1974年 7月生，汉族，江西省南昌市人，上海交通大学管理学院 2002级春博士生，主要研究利 率期限结构，固定收益证券。通讯地址：上海市华山路 1954号上海交通大学 112信箱；邮政编码：200030；联 系电话： 13671659601；电子信箱： mxptiger@sjtu.edu.cn 。 2 田 澎，男， 1958年 7月生，汉族，辽宁省沈阳市人，上海交通大学管理学院管理科学与工程系主任，博士， 教授，博士生导师 。 3 吴 伟，男，1973年 6月生，汉族，福建省三明市人，中国人民银行福州中心支行，研究方向：宏观经济金融 分析。 1 ____________________________________________________________________________________________www.paper.edu.cn 研究还刚处于初始阶段，对利率期限结构的认识还比较模糊。本文将从资金价格的 角度说明利率期限结构的本质，从横截面利率期限结构和利率期限结构动力学模型 两个方面完整系统地论述利率期限结构，并对利率期限结构和国债收益率曲线进行 区分。 一、 资金价格及其计量 在经济金融理论中，资金价格由微观经济行为主体与宏观经济调控主体的决策 共同决定；资金价格的衡量工具是利率。按已得利息是否进入计算以后利息本金的 原则，利率采用单利和复利两种计息方式表示。虽然实践中期限在一年及以内的资 金价格常用单利计算[1]，理论上，复利计息方式表示的利率才能客观反映资金价格的 经济意义。复利计息方式表示的利率常采用年、半年、季度和月等时间单位为复利 计算期，并用年百分比利率（Annual Percent Rate）报价。如果复利计算期恰好为一 年，那么年百分比利率为年有效利率4（Annual Effective Rate）；否则，按照等价原 则5，年百分比利率与年有效利率存在以下关系： 11 0 −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += n n r R （1） 式中，R表示年有效利率； 表示年百分比利率；n表示计息频率，0r n = 年复利计算期。 式（1）中，如果复利计算期趋于无穷小，计息频率趋于无穷大，年百分比利率则为 年连续复利（Annualized Continuous Compounding）计息方式表示，此时年有效利率 为： （2） 10 −= reR 式（2）隐含一个基本假设：一年内任意时刻的瞬时资金价格是常数。这个假设显然 与现实资金价格的运动规律相差太远。 为客观反映资金价格的运动规律，经济理论中将瞬时资金价格表示为积累函数 的单位变化率： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ds std stds stda sta stf , , 1, , 1, δδ −== （3） 4 年有效利率与费雪效应中的年实际利率是截然不同的两个概念。年有效利率是单位资金在一年内实际获得的利 息。而年实际利率是指名义年利率扣除通货膨胀因素影响后的利率。 5 等价原则是指相同的初始资金在相同的时间跨度内产生相同的积累值，相同的未来资金在相同的时间跨度内产 生相同的贴现值。 2 中国科技论文在线____________________________________________________________________________________________www.paper.edu.cn 式中， t 表示当前时刻； s表示未来时刻 ；)( ts > ( )stf , 表示当前时刻 t 计算的未来 时刻 s的瞬时资金价格； 为积累函数，表示当前时刻( sta , ) t 的单位资金在未来时刻 s的积累值，满足 ( ) 1, =tta ； ( st, )δ 为贴现函数，表示实现未来时刻 s积累值为单位 资金的目标在当前时刻 t 需投入的初始资金，是积累函数的逆函数，满足： ( ) 1, =ttδ 。 求解微分方程（3），获得积累函数和贴现函数： （4） ( ) ( ) ( )∫== − st duutfeststa ,1 ,, δ 假设一年内任意时刻的瞬时资金价格是常数 ，一年末的积累函数为： f （5） ( ) fetta =+1, 依据等价原则，一年末的积累函数与年有效利率存在下述关系： ( ) ( Rtta += )+ 11, （6） 式（2），（5）和（6）说明：时间单位为年时6，瞬时资金价格采用年连续复利方式 表示。 综上所述，资金价格无论采用何种方式来表示，积累函数（或贴现函数）是资 金价格的本质反映。要获得经济中的资金价格信息，就必须获得积累函数（或贴现 函数）信息。在现实经济金融系统中，能够有效传递贴现函数信息的场所是债券市 场。在债券市场，债券是发行人在发行时承诺在未来若干时刻以某种既定方式给持 有人支付现金流的金融工具。经济意义上，债券是持有人与发行人为进行资金交易 而签订的金融契约，债券的交易价格即为资金价格。一般来说，货币的时间价值， 债券发行人的信用，债券的流动性，债券嵌入的或有要求权，通货膨胀和汇率等经 济因素的不确定性是影响债券价格主要因素。债券市场的风险因而也集中表现为利 率风险，信用风险，流动性风险，期权风险7和市场风险。含有不同风险的债券的交 易价格对应含不同风险溢价的资金价格。显然，在所有的资金价格中，不含风险溢 价的货币时间价值是资金价格确定的基准。在经济实践中，由于市场摩擦和不完全 性，货币时间价值反映为利率期限结构。 二、 利率期限结构 6时间 t是连续变量，当时间单位为年时，小于一年的时间跨度表现为小数，如一天为 1 1 365 366 ⎛⎜⎝ ⎠或 ⎞⎟年。 7 因期权执行而给投资人带来的风险。 3 中国科技论文在线____________________________________________________________________________________________www.paper.edu.cn 利率期限结构是指无违约风险（信用风险）的贴现债券（一般为国债，下同） 的到期收益率与贴现债券的剩余到期期限的关系[2][3]；可以由贴现函数（Discount Function）、零息票收益曲线（Zero-coupon Yield Curve）或远期瞬时利率曲线 （Instantaneous Forward Rate Curve）确定[4]。假定贴现债券的债券面值为单位货币（下 同），在时刻 t（以年为时间单位，下同）观察到的贴现债券的价格 ( , )B t T 可表示为： ( , )( )( , ) R t T T tB t T e− −= 0( )t t T≤ ≤ （7） 式中， 为当前时刻；T为贴现债券到期时刻；0t ( , )R t T 为以年连续复利计息方式表示 的贴现债券的到期收益率。那么，贴现函数—— ( ),t sδ 是指未来时刻s（相对于时刻t 而言，下同）支付单位货币的贴现债券在时刻t的价格 ( , )B t s ，满足 。零息 票收益曲线 ( ),t tδ =1 ) ) 8—— 是指未来时刻s到期的贴现债券在时刻 t的到期收益率( ,sr t s ( ,R t s 。远期瞬时利率—— ( , )f t s 是指时刻t获得的未来任意时刻s的边际回报率 (Marginal Rate of Return)。在时刻 ，市场上横截面利率期限结构隐含于普通债券t 9（一 般为国债，下同）的市场交易之中（ 0t t= 时，为当前横截面利率期限结构）。在不 同时刻 t，横截面利率期限结构发生演化。描述这种演化的模型为利率期限结构的动 力学模型（Dynamic Term Structure Model）。 （一）横截面利率期限结构 在某一时刻 t，假设市场上存在任意到期期限的贴现债券，贴现函数可由贴现债 券的市场交易价格确定。那么通过持有 1 单位在未来时刻u到期的贴现债券的多头 （空头）和持有 ( )( ) , , t u t s δ δ 单位在未来时刻 到期的贴现债券的空头（多头）的组合投资 方式，市场套利力量将保证未来时段 s ( ),s u 内的远期利率（年连续复利计息方式，下 同）： ( ) ( )( ) ,1, , ln , t u f t s u u s t s δ δ ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ( )0t t s u≤ ≤ ≤ （8） 8 零息票收益率就是即期利率（Spot Rate），零息票收益曲线也常被称为即期利率曲线（Spot Rate curve）。 9 普通债券是指不含任何隐含期权的债券。 4 中国科技论文在线____________________________________________________________________________________________www.paper.edu.cn 当未来时段 ( 的时间跨度趋于无穷小极限时，远期利率的极限值为远期瞬时利率 （年连续复利计息方式，下同）： ),s u ( ) ( ) ( ) ds std st stf , , 1, δδ −= ( )0t t s≤ ≤ （9） 公式（7），（8）和（9）联合推出，零息票收益率（年连续复利计息方式，下同） 是远期瞬时利率的平均值： ( ) ( ) 1, , s s t r t s f t v dv s t = − ∫ （10） 对式（10）进行微分，零息票收益率与远期瞬时利率之间在时间轴上的数学关系类 似于平均成本与边际成本之间在产量轴上的数学关系: ( ) ( ) ( ) ( ) ds stdr tsstrstf ss , ,, −+= （11） 式（9）和（10）说明，贴现函数，零息票收益曲线和远期瞬时利率曲线三者存在一 一对应关系，均可用来表示时刻 t的横截面利率期限结构。 在债券市场上，贴现债券的到期期限一般较短（不超过 1 年）且在时间上不连 续，市场无法直接提供横截面利率期限结构。理论和实践上一般采用数据拟合技术， 利用市场上普通债券的交易数据来间接估计获得市场隐含的横截面利率期限结构。 具体理论和程序为：在一个无交易成本的完全市场，在满足无套利原则的前提下， 市场上普通债券在时刻 t的理论价格可由时刻 t的横截面利率期限结构确定： （12） ( ) 1 , iK i ij j P C t Tδ∧ = =∑ ij i 式中， 为债券 i的理论价格； 为债券 i在未来时刻 支付的第 j次现金流； 为 债券 i的现金流支付次数。通过选择包含若干未知参数的合理函数形式来表述横截面 利率期限结构，国债的理论价格通过公式（12）表示为上述未知参数的函数。然而， 在有摩擦和不完全的债券市场，理论价格和市场交易价格之间存在一个误差项： iˆP ijC ijT iK ˆi iP P ε= + （13） 式中， 为债券 i的市场交易价格；iP iε 为债券 i的误差项。最小化国债样本的误差平 方和： ( ) ( )( )1 1 1 1ˆ ˆ ˆarg min , , , , TN N N NP P P P diag w P P P Pθ − − − −L L ˆ （14） 5 中国科技论文在线____________________________________________________________________________________________www.paper.edu.cn 式中，N为用于估计的债券样本数； ( )wdiag 为处理价格误差的异方差性而设置的权 重对角矩阵；求解未知参数，实现间接估计市场隐含的横截面利率期限结构的目标。 （二）利率期限结构的动力学模型 相对于任何时刻 t，普通债券在未来时刻 ( )s s t> 发生的现金流是确定的，因而 利用 t时刻获得的横截面利率期限结构就可以实现普通债券的定价。而对于利率衍生 产品，相对于任何时刻 ，未来时刻t ( )s s t> 发生的现金流是不确定的，因而只有利 用能描述不同时刻 的横截面利率期限结构演化的利率期限结构的动力学模 型，才能实现利率衍生产品的无套利均衡定价。利率期限结构的动力学模型一般有 均衡模型（Equilibrium Model）和套利模型（Arbitrage Model）两大类 ( )t>s s [5]。 均衡模型也被称为状态变量模型（State Variable Model），即通过若干个状态变 量的动力学过程来确定利率期限结构的动力学过程[6]： ( ) ( ), ,t t tdX t X dt t X dWµ σ= + , t （15） 式中， tX 为 维状态变量向量；n ( ), tt Xµ 为 n维漂移系数向量； 为 维扩 散系数矩阵； 为原测度P下的 维布朗运动； ( ), tt Xσ n n× tdW n ,�� 为内积运算。按状态变量数目 的不同，均衡模型可分为单因子模型（Single-Factor Model）和多因子模型（Multi-Factor Model）两类。在不同期限的零息票收益率完全相关的假设下，单因子模型一般采用 短期利率（Short-Term Rate）为状态变量10，并用其动力学过程来描述利率期限结构 的动力学过程[7][8]： （16） ( ) ( ), ,t t tdr t r dt t r dWµ σ= + t 实证研究发现，单因子模型基本上不能反映市场上的利率期限结构及其演化过程[9]。 在单因子模型的基础上，多因子模型将短期利率的波动率和短期利率的期望值等扩 充为状态变量[10][11][12]。相对而言，多因子模型能够说明不同期限的零息票收益率之 间的相关关系，能更为真实地反映市场横截面利率期限结构及其演化过程[13]。然而， 随着因子的增加，多因子模型在标准衍生产品定价运用中的数值复杂性导致了严重 的计算问题。当均衡模型推导的利率期限结构与当前横截面利率期限结构不一致时， 这个问题尤其突出。 10 短期利率实际为时间跨度非常短的零息票债券到期收益率 ( ),sr t s ，当时间跨度无限小时，则为一个特别的远期 瞬时利率 ( ),f t t ( )0t t s< ≤ < +∞ 。 6 中国科技论文在线____________________________________________________________________________________________www.paper.edu.cn 为了规避多因子模型的数值复杂性，套利模型将当前横截面利率期限结构作为 模型的初始输入。理论上，这类模型建立在贴现债券的价格在“风险中性”测度Q下 是鞅的假设基础之上[14][15]： ( ) ( )ln , , ,t td B t T rdt t T dWσ ∧= + （17） 式中， 为贴现债券价格的 维波动性向量；( ,t Tσ ) n tdW∧ 为“风险中性”测度Q下的 维布朗运动。通过对远期瞬时利率的波动性进行限制 n 11，式（17）表示的非马尔可夫 模型可以发展为马尔可夫模型，从而大大提高了套利模型的实践应用性[16]。套利模 型除了可与当前横截面利率期限结构保持协调外，还可以与标准衍生产品的市场价 格相一致[17[18]]。因为直接将利率型产品的市场价格作为模型输入，套利模型能比均 衡模型更适用于利率衍生产品定价。但必须指出的是，到目前为止，学术界和金融 实务界还未对利率期限结构动力学模型达成共识，新的利率期限结构动力学模型不 断被提出[19]。 三、 国债收益率曲线 国债收益率曲线（Government Bond Yield Curve）刻画国债到期收益率与相应国 债剩余到期期限之间的关系。债券的到期收益率是债券的内部回报率（Internal Rate of Return），是使该债券的未来现金流支付的贴现值等于债券价格的贴现率。国债收益 率与国债的价格一一对应： （18） ( ) 1 1 i ij K T i ij j P C y − = = +∑ 式中， 为债券的到期收益率。依据无套利定价原则，在无摩擦的完全市场上，债 券的价格由零息票收益率曲线唯一确定： y ( )( ) 1 1 , iji TK i ij ij j P C R t T − = = +∑ （19） 式中， ( , ij )R t T 为当前时刻 获得的对应期限为t ijT t− 的零息票收益率。式（18）和（19） 说明，到期收益率本质上是不同期限的零息票收益率的加权平均，加权平均的权重 是债券现金流支付的函数。因此，除非对国债的现金流支付进行限制，国债收益率 曲线将随国债现金流支付的变化而变化12。 11 远期瞬时利率的波动性是贴现债券价格的波动性的微分。 12 平价债券（Par Bond）的现金流支付因债券的价格等于面值而受到限制，平价债券收益率曲线与零息票收益率 曲线一一对应，可以用来表示利率期限结构。 7 中国科技论文在线____________________________________________________________________________________________www.paper.edu.cn 数学上容易证明，如果不同期限的零息票收益率相同，也就是说零息票收益率 曲线是平行于时间轴的水平线，那么到期收益率曲线等同于零息票收益率曲线；如 果零息票收益率曲线是单调上升型曲线，那么到期收益率曲线位于零息票收益率曲 线的下方；相反，如果零息票收益率曲线是单调下降型曲线，那么到期收益率曲线 位于零息票收益率曲线的上方。因而，国债收益率曲线在大多数情形下不是利率期 限结构的衡量[20]。一般情形下，国债收益率曲线只能反映用于计算这些到期收益率 时所采用的国债的收益情况，而不能用于其它国债的定价。到期收益计算中再投资 收益率不变的隐含假设决定了国债收益率曲线只能在零息票收益率曲线是水平型的 情形下才可用于其它国债的定价。在其它情形下，只有对单一现金流进行贴现的零 息票收益率曲线（利率期限结构）才能实现国债的无套利定价。 四、结论 在经济中，资金价格由微观经济行为主体与宏观经济调控主体的决策共同决定； 资金价格的衡量工具是利率。在所有的资金价格中，不含风险溢价的货币时间价值 是资金价格确定的基准。在经济实践中，由于市场摩擦和不完全，货币时间价值反 映为利率期限结构。利率期限结构反映国债市场无违约风险的贴现债券的到期收益 率与贴现债券的剩余到期期限的关系；可以由贴现函数、零息票收益曲线或远期瞬 时利率曲线确定。在固定时刻，市场上横截面利率期限结构隐含于普通国债的市场 交易之中。在不同时刻，利率期限结构的动力学模型描述横截面利率期限结构的动 态演化过程。因为不是对单一现金流进行定价，国债收益率曲线只能反映用于计算 这些到期收益率时所采用的国债的收益情况，而不能用于其它国债的定价。一般情 形下，只有利率期限结构才能实现对利率型产品的无套利定价。 参 考 文 献 [1] 中国人民银行文件，银发[2004]116号，中国人民银行关于全国银行间债券市场债 券到期收益率计算有关事项的通知。 [2] Sundaresan, S. 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