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Karhunen_Lo_ve变换的几种特例

2013-12-16 2页 pdf 2MB 21阅读

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Karhunen_Lo_ve变换的几种特例
第 �� �年 � 月 电 子 学 报 八� � � � � � � � � � �� � � �� �� 八 � � � � �� � � � 饰 � � � ! � � �� � � � � 一� �乙� �变换的几种特例 �“ � � � 。 � � � 。�。� � � � � � � 于 �卜。 �。� �。� 。� 一��石� � � 「。� 、子� � � 王 中 德“ �昆明物理研究所 � 【提要】 本文考虑 了一阶马尔柯夫过程的 � �� ��� , 。 � 一� � ��� 变换 �� � 飞一 � 的两种特殊情况 , 川 明了当相关系数 � 一争 ��� 寸, 一阶马尔柯夫过程的 � � 退化为第 � 种离散 � ��� 。 变换 �� � ‘� 一 � � , 当 � 兮 一 � 时 , 一阶马尔柯夫过程的 � � � 退化为第亚种离散 � �� �变换 �� �� 一 亚� 。 � � � � �� � 卜� � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� � �� ‘ � � � � � ’� � �� � ‘�� � � � � � � � ���� � � � � � � � � 一 � � 乙� � �� 己 『� � ��, � �� 工� � � �� � 正�� � � � � � � � 人� � � �、 � � 一〕� � � � � � � �� � � � � � ! �� ���� � � � � � ���� � , ��� � � � � � � ��� ��一� � 感� � � � 。 。 � �� � 一刀 � � �� � � 、 � � �� � � � � 、�� �� � 舀�� � � � � �� �� � � � � � 峥 � , � ��� � � ���� � � � �� � 丑 � � ���� � �� 仁 � � �� � ���� �� � �� �� � �� � , � , 一 � � , 前 言 入, �一 � � � 一 � � � � � 公 。 � � “ � � � � � � � � � � 一 � � ‘� 。变换 �� � ‘� �可使平稳随机系 列的协方差矩阵对角化 , 因而它是统计意义上的最 佳变换 〔‘, 。 然而 , 由于 � � � 不具有快速算 法 , 人 们都在寻找一种既能快速运算 , 又能实现 正 交 变 换〔么一 �� 的信号及图象处理的方法 。 其中最引人注目 的是离散 、� � � � � �变换�� � � � � � 〕。 � �� � �� 证明� 。 � 当相关系数� � �时 , 一阶马尔柯夫过程的 � �� 退 化为� � � �� , 解释了 � � � 用于信号压缩和编码方 面的优良性能的原因 。 本文把 � ��� � � 的结果推广 到另外两种特例, 并证 明 � � � 时 , � � � 退 化 为 � �� 一 � � 当 �、 一 �日寸, � �’�退化为� � � 一五。 式中旬 二为超越 方程 � � 宜� �� 曰 � � 一 〔�一 � � � � �� 臼 � � � 臼 一 � � � � �� � � 八� � � � 的正根 。 当 � 一 卜一时 , � �、 � � �证明 了〔� 〕 伊。 � 一 , � 。 。 � 、一卜,� �了� 、 � � �兀一�一�一�了�� 其中 人。 厂 � � 艺 , � � 二 � �或 � � � � � � , ,‘牛 � �或 � 半� � 二、 一阶马尔柯夫过程的��下 一阶马尔柯失过程的协方差矩阵为 尺 � 〔� � , 一 � 、〕, 爪 , � 二 � , � , ⋯ , � � � � 式中�为随机系列相邻两元素之间的相关系数 。 当� 为偶数时 , � � �和� � � � � 导出了一阶马尔柯夫过程 的K L T 矩阵元素 甲二 。与本征值入。 的表达式分别为: C 二 , , 表 示 D C r 矩阵 C 的元素。 C ! a r ke 还证明 了 C R C 一’中除最左上方的一个元素为N 外 , 其余元素 均为0 , 即C R C 一‘ = d 1 a g ( N , 0 , 0 , ⋯0) 。 当p * 0时 , 或 (4)为tan(N 曰 ) + ta :1公 = 0 , 满足 此式的N 个正根为 田 。 = m 二八N + l) , ,, : = l , 2 , ⋯ , N ( 7 ) 这时由式(3 )知所有的本征值入。均为 1。 这样 , 将式 (7) 代入式(2) 中, 得 p * 。时的K L T 矩阵元素为 / 夕 \ . f / N + l \甲二 · “气下而万) “’” L 田 二戈n-- -了一 / 1 2 . 。: , ; 二 岁 m l才 = ‘ l se 下万, ee 下 ~ 5 In ~;:- , 一: 一V 柑 十 l 八 + l 十二1二2 ( 2 ) 水 1 9 8 4 年 l 月收到 , 呀;水 W a n g Z h o rlg 一 d e 5 i e s ) . 同年 7 月定稿 。 ( K 一1121211 11 9 I n s t i! l〕t c o f l少11 ) , · 第 3 期 K “r h u n e n 一 L o e v e 变换的几种特例 119 爪 · n = l , 2 , ⋯ , N ( 8 ) 这正 是 D ST 一工的矩阵元素〔目 。 上述结果表明, 当 p * O时 , 一阶马尔柯夫过程的 K L T 退化为D ST - I 。 p 。 一 l时的K L’r 。“ 用 一 p 代替式(1) 中的 p , 可得 一新的矩阵 , 记为R 一 二 [ ( 一 P) 牌 ” {〕。 很易证 明R与R 一之间有如下关系: R _ 二 D R D ( 9 ) 式中D为对角矩阵 , 其主对角线上的元素由 】和 一 l 交替组成: D = d 1ag(l, 一 l , l , 一 1 .⋯) ( 10) 作者已证明‘“, , D C T 矩阵中 C阵与D ST 一亚 矩 阵 退化为 D ST 一亚。 这时 , S , R S r 的所有元 素 中, 除最右下方那个元素为N 外 , 其余各元素均为 0o 结论 虽然在一般情况下 , 一阶马尔柯失过程 K L T 不能由简单的谐波三角变换表示 出 来 , 因而 K L T 一般不具有像 F F T 那样的运算速度。 然而, 在几种特殊情况下 , K L T 则退化为D C T (P ‘1)、 D S T 一 I ( p * 0 )或D ST 一 亚(p 、 一 l ) 。对于这几种三 角变换 , 都有效率很高的快速算法可资利用 〔7 , “〕。 因而 , 我们可以根据随机序列相关系数的取值 , 在 上述三种三角变换中选取一种 , 作 为 K L T 的一种 近似 。 参 ‘考 文 献 S , 二了贵卜二‘· ( m (一合)命)} fn, n 二 l , 2 , ⋯ , N 之间有如下关系 S , = i C D ( 川 式 中为反对角单位矩阵 , 其中O 由式(1。) 、 人二由式 (6)给出。 通过式(9)、 ( 1 1 ) 得到 ‘: R 一 5 1 ’ 二 了C D R 一D C 一 , 了= Ic R C 一, 不 ( 12) 上式表明 , D C T 对R 的作用 , 除了在行和列的计数 顺序上均需颠倒一下外 , 与D ST 一 亚对R 一 的作用是 完全一样的。 由于 p、 1时的R _与 p * 一 1时的 R 是 一样的 , 于是便可真接应用 C larke 的结果得出 以 下结论: 当p * 一 1时 , 一阶马尔柯夫过程 的 K LT 〔l〕 P . V . W iotZ: P ro e. IE E E , V o l . 6 0 , p P . 8 0 0 一820 , 1 9 7 2 . 〔2〕 N . A hm ed T . N ataralan , K . R . R a o : I E F E T r a n s . , V o l . C 一 2 3 , p p . 9 0 一 9 3 , 1 9 7 4 . 〔3 〕 R . J. C lark。心 P ro o . I E E , P t . F , V o l . 1 2 8 P P . 3 5 9 一360 , 1 0 8 1 . 〔4 〕 W . D . R ay , R . M . D r i v e r : I E E E . T r a n s . , V o l . I T 一 1 6 , P P . 6 6 3一668 , 1 9 7 0 . 〔5 〕A . K . Jain: IE E E T ran , . , V o l , C O M 一 2魂, P P . 1 0 2 3 一1029 , 1 9 7 6 . 〔6 〕W ang Z hongde: 1E E E T ran , , V o l A S S P - 3 0 , P P . 8 1 4 一815 , 1 9 8 2 . 〔7〕W ang 艺h o n g d e : I E E E ’r r a n s . , V o l . C O M - 3 1 , P P . 1 2 1 一123 , 1 9 8 3 . 〔8 〕 W ang Z ho ngd e: F ast algorithm : for th e d ise-rete W transform and for the diserete F ourier transform , I E E E T r a n , . , V o l . A s s P 一 3 2 , N o . 3 , 1 9 8 4 . 一 曰 - 一- - - . . 伪纽, 嘴* 卜口. 心, . . ~ 一一一侧 更 正 启 事 , . 本刊1984年第 6期第79~ 81 页中“R ob us t检测的二十年”一文的参考文献请作如下更正: 〔13〕应改为 “ C . T . C h e n , 5 . A . K a s s a m : P r o e . x g t h A n n . A l l e r t o n C o n f . o n C o m : n , C o n t r . 。 n d C o m p u t i n g , p p . 5 8 6 ~ 5 9 5 , 1 9 8 1 ; 并请把原列文献序号从〔13〕~ 〔254〕, 依项改为〔14〕~ 〔155〕0 2 . 作者要求对他们的载于本刊1985年第 l期的“鳍线设计的经验公式”中的三处错误作如下更正: 页 号 }行 或 图 号 图 1 (b) 原 (错) 为 yo+ d y。 + d / 2一了- } 2 图 2 (e) 竺过旦2 y 。 + d / 2 2 倒第 2 行 ⋯由式 (20 )求得⋯ ⋯由式 (21 )求得⋯ (下转第62 页)
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