D2_4隐函数求导

null第三节二、高阶导数的运算法则 第三节一、高阶导数的概念高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动定义.定义.若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数 ,记作的导数为依次类推 ,分别记作则称例1.设求解:依次类推 ,例1.思考: 设问可得例2. 设例2. 设求解:特别有:解:规定 0 ! = 1思考:例3. 设求例4. 设例4. 设求解: 一般地 ,类似可证:二、高阶导数的运算法则规律 二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则(C为常数)莱布尼茨(Leibniz) 公式规律规律规律用数学归纳法可证例6. 例6. 求解: 设则代入莱布尼茨公式 , 得第四节第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 隐函数和参数方程求导 第二章 一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由示的函数 , 称为显函数 .例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )例1. 求由方程例1. 求由方程在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数例2. 求椭圆例2. 求椭圆在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即例3. 求例3. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导说明: 1) 对幂指函数可用对数说明:注意:求导法求导 :2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如,两边取对数两边对 x 求导又如, 又如, 对 x 求导两边取对数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,若上述参数方程中若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得记例4. 设?例4. 设, 且求已知解:练习: 书P112 题8(1)解:注意 : 例6. 设由方程例6. 设由方程确定函数求解: 方程组两边对 t 求导 , 得故内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式2. 设2. 设求提示: 分别用对数微分法求答案:3. 设3. 设由方程确定 , 解:方程两边对 x 求导,得再求导, 得②当时,故由 ① 得再代入 ② 得 求①备用题求其反函数的导数 .解:方法1方法2备用题1. 设2. 设, 求解：方程组两边同时对 t 求导, 得 2. 设第五节二、微分运算法则第五节一、微分的概念 函数的微分 第二章 一、微分的概念 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于△x 的线性主部故当 x 在取变到边长由其定义: 若函数的微分,定义: 若函数( A 为不依赖于△x 的常数)则称函数记作即定理: 函数即在点可微,定理 : 函数定理 : 函数证: “必要性” 已知则故且在点 处可导,且即微分的几何意义微分的几何意义则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记例如,例如,基本初等函数的微分公式 (见 P115~ P116表)又如,二、 微分运算法则二、 微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数例1.例1.求 解:例2. 设例2. 设求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明: 上述微分的问题就是我们在不定积分要研究的内容.注意 数学中的反问题往往出现多值性.注意:内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可微可导2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )2.2.2.已知求解:方程两边求微分, 得2.习题课 作 业作 业P123 3 (4) , (6) , (8); 习题课 P103 1(4),(6); 3(1); 10(2) P111 1 (4) ; 4 (1); 5 (1); 7 (1); 备用题1. 已知求解：因为所以备用题