第29届中国数学奥林匹克

第 29届中国数学奥林匹克 江苏 南京 第一天 (2013年 12月 21日 8：00--12：30) 1、如图，在锐角 ABC 中，AB AC> ， BAC∠ 的平分线与边 BC交于点D，点 E、 F 分别在边 AB、 AC上，使得 B、C、 F 、 E四点共圆.： DEF 的外接圆圆心与 ABC 的内切圆圆心重合的充分必要条件是 BE CF BC+ = . 2、对大于 1的整数 n，定义集合 ( ) { | , , , }D n a b n ab a b a b= − = >为正整数 . 证明：对任意大于 1的整数 k，总存在 k个互不相同且大于 1的整数 1 2, , , kn n n ，使 得 21( ) ( ) ( )kD n D n D n  的元素个数不小于 2. 3、证明：存在唯一的函数 * *:f N N→ 满足 (1) (2) 1f f= = ， ( ) ( ( 1)) ( ( 1))f n f f n f n f n= − + − − ， 3,4,n =  并对每个整数 2m ≥ ，求 (2 )mf 的值. D F A B C E 第 29届中国数学奥林匹克 江苏 南京 第二天 (2013年 12月 22日 8：00--12：30) 4、对整数 1n > ，设 11 lln p p αα=  是 n的标准分解式.定义 ( )n lω = , 1( ) ln α αΩ = + + 是否对任意给定的正整数 k及正实数 ,α β ，总存在整数 1n > ，使得 ( ) ( ) n k n ω α ω + > ， ( ) ( ) n k n βΩ + < Ω ? 证明你的结论. 5、设集合 {1,2, ,100}X =  ，函数 :f X X→ 同时满足 (1)对任意 x X∈ ，都有 ( )f x x≠ (2)对 X 的任意一个 40元子集 A，都有 ( )A f A ≠ ∅ 求最小的正整数 k，使得对任意满足上述条件的函数 f ，都存在 X 的 k元子集 B，使 得 ( )B f B X= 注：对 X 的子集T ，定义 ( ) { | , ( )}f T x t T x f T= ∈ =存在 使得 6、对于非空数集 ,S T ，定义 { | , }S T s t s S t T+ = + ∈ ∈ ， 2 {2 , }S s s S= ∈ ， 设 n为正整数， ,A B均为{1,2, , }n 的非空子集.证明：存在 A B+ 的子集D，使得 2( )D D A B+ ⊆ + ，且 2 A B D n ⋅ ≥ ， 这里 X 表示有限集 X 的元素个数.